Наименование дисциплины: Дифференциальная геометрия
Направление подготовки: 010200 Математика и компьютерные науки
Квалификация (степень) выпускника: бакалавр
Форма обучения: очная
Автор: д-р физ.-мат. наук., профессор, профессор кафедры математического анализа
1. Целью преподавания дисциплины «Дифференциальная геометрия» является изложение основных методов исследования кривых на плоскости и поверхностей в пространстве с помощью математического анализа, приложений дифференциальной геометрии в математике и других науках.
2. Дисциплина входит в базовую часть цикла Б3.Б8 профессиональных дисциплин.
Дисциплина «Дифференциальная геометрия» является одним из основных курсов. Изучаемый в курсе материал является частью геометрической компоненты математического образования в высшей школе. Он подготавливает студента к изучению более серьезных спецкурсов по современной геометрии.
При чтении лекций по всем разделам программы целесообразно иллюстрировать излагаемый теоретический материал большим количеством примеров, что позволит активизировать работу слушателей в аудитории.
На практических занятиях по всем темам программы важно постоянно обращать внимание обучаемых на смысл и роль вводимых фундаментальных математических понятий, добиваться неформального соединения практических умений и навыков с излагаемыми теоретическими положениями.
3. В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:
знать основные понятия и методы классической дифференциальной геометрии;
Уметь:
решать основные задачи на исследование кривых и поверхностей; иметь опыт аналитического и численного решения теоретических и прикладных задач;
приобрести навыки работы со справочной, учебной и монографической литературой при изучении курса в объеме вузовской программы; решать основные задачи дифференциальной геометрии с использованием компьютера.
Владеть:
аппаратом дифференциальной геометрии, методами доказательства утверждений, навыками применения этого в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания.
4. Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы, 108 часов.
5. Содержание дисциплины:
№ п/п | Раздел дисциплины |
1 | Задачи курса. Программа курса. Литература. Предмет дифференциальной геометрии. Краткий исторический очерк. Связь с другими фундаментальными науками. Приложения к специальным задачам. Методика изучения курса. Формы самостоятельной работы слушателей по изучению курса. |
2 | Кривые. Cпособы задания кривой. Кривизна плоских кривых. Репер Френе, кривизна и кручение пространственных кривых, формулы Френе, натуральное уравнение кривой. Эволюта и эвольвента. |
3 | Поверхности. Способы задания поверхностей, координаты на поверхности, касательная плоскость, первая квадратичная форма поверхности, площадь поверхности, кривизна кривых на поверхности, вторая квадратичная форма и ее свойства, инварианты пары квадратичных форм; средняя и гауссова кривизна поверхности; деривационные формулы, символы Кристоффеля поверхности, геодезическая кривизна, геодезические и их свойства. |
4 | Многомерные геометрические объекты: проективное пространство, аффинная карта проективного пространства, модели проективных пространств малой размерности, метрические группы. Дифференцируемые многообразия, касательное и кокасательное расслоения, дифференциальные формы, риманова метрика. |
6. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:
а) основная литература:
1.Шикин геометрия: первое знакомство. – М.: Едиториал УРСС, 2003.
б) дополнительная литература:
1.Ефимов геометрия. – М.: Наука, 1971.
2.Погорелов геометрия. – М.: Наука, 1974.
3.Рашевский дифференциальной геометрии. – М.: Гостехиздат, 1956.
4.Розендорн по дифференциальной геометрии. -- М.: Наука, 1976.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:
Студенты имеют доступ в компьютерный класс, в котором установлена какая либо система компьютерной математики (Maple, MathCad, Mathematica и т. п.).
