Математическая модель каротажного бронированного кабеля (стр. 2 )

Реальная кабельная линия.

Реальный каротажный кабель существенно отличается от идеального. При сохранении общей теории однородных длинных линий это требует уточнения электрических параметров кабеля.

Активное сопротивление линии передачи сигналов кабеля состоит из суммы сопротивлений прямого и обратного проводников. Для одножильного (ОБК) и многожильного бронированного кабеля (МБК) с однопроводной линией передачи информации (МБК-1п, броня в качестве обратного проводника) сопротивление постоянному току определяется, в основном, сопротивлением токопроводящей жилы (ТПЖ): длиной и конструкцией жилы, диаметром и материалом проволок жилы и температурой окружающей среды. Сопротивление обратного проводника (брони) много меньше величины сопротивления жил и его значением можно пренебречь. Для двухпроводной линии передачи (МБК-2п) полное сопротивление складывается из сопротивления двух ТПЖ.

Жилы каротажных кабелей – скрутка из нескольких проволок. Со временем переходное сопротивление между проволоками возрастает (окисление поверхности) и сопротивление жилы может увеличиваться на 10-15%. При работе в скважинах с температурой до 1500С на забое сопротивление жил кабеля может увеличиваться на 20-30%. Нормальным явлением можно считать изменение сопротивления жил кабелей в процессе каротажа в пределах до 10%. Соответственно, пределом dR » 0.1 может ограничиваться и точность математической модели активного сопротивления жил кабеля.

Активное сопротивление кабелей на высоких частотах пропорционально корню квадратному из частоты. Это определяется поверхностным эффектом - вытеснением тока к поверхности проводов, которое возрастает с увеличением частоты, и взаимодействием полей проволок кабеля. Зависимость сопротивления от частоты дополнительно осложняется влиянием скрутки проволок. Методы расчетов электрических параметров многопроволочных проводников каротажных кабелей отсутствуют. По данным работ /3,5/ частотная зависимость полного активного сопротивления жил каротажного кабеля может быть аппроксимирована следующими формулами:

R(f) = R×[1+П(f)×P(f)], П(f) = 0.0078×r×, P(f) = 1-exp(-a×f×10-4). (8)

где: П(f) - коэффициент поверхностного эффекта, P(f) - поправочный коэффициент на конструкцию жилы и кабеля, r - радиус жилы в мм, a - частотная постоянная кабеля порядка (0.1-0.3) для ОБК, ~(0.3¸0.5) для МБК-1п, ~(0.5¸0.8) для МБК-2п, и приближается к 1 для коаксиальных видеолиний.

Проводимость изоляции жил кабеля и электромагнитные потери. Проводимость изоляции жил кабеля G определяется уравнением (7) и на частотах до 1 МГц не имеет значения, т. к. сопротивление изоляции Rи в условиях эксплуатации не менее 10 МОм/км, а параметр d не более 0.0005. Однако, как уже отмечалось, в бронированном каротажном кабеле имеют место существенные электромагнитные потери, точное количественное значение которых предусмотреть практически невозможно. Влияние этих потерь на расчеты коэффициентов затухания сигнала эквивалентно потерям на поляризацию изоляции кабеля (частотно зависимая потеря энергии) и много больше их по значениям. По данным работ /4,6/ затухания сигнала в каротажных кабелях может быть предложена для использования формула аппроксимации эквивалентной проводимости кабеля:

G = 2pf×C×h/R(f), (9)

где значение h порядка 12-14 для одножильных и 10-13 для многожильных кабелей.

Емкость токопроводящих жил определяется конструкцией кабеля и зависит от материала и толщины изоляции ТПЖ. Для одножильных кабелей емкость ТПЖ (в мкФ/км) может оцениваться по уравнению: С = e/(18×ln(D/d)), где e - диэлектрическая проницаемость изоляции, D – внешний диаметр жилы по изоляции, d – диаметр токопроводника жилы. Значение емкости, как правило, находится в диапазоне 0.1-0.12 мкФ/км. Емкость между жилой и броней в многожильных кабелях имеет примерно такие же значения для однотипных по конструкции жил, а емкость жила-жила в 1.6-1.8 раз меньше. Зависимость емкостей жил от частоты практического значения не имеет. При повышении температуры емкость жил несколько уменьшается за счет уменьшения диэлектрической проницаемости изоляции, а при повышении давления – увеличивается. В скважинных условиях эти процессы компенсируют друг друга и изменение емкости незначительно.

Индуктивность кабеля. Собственная индуктивность коаксиальных линий с увеличением частоты уменьшается вследствие поверхностного эффекта в проводах. Общая индуктивность пары жила-броня складывается из собственной индуктивности жилы и межпроводниковой индуктивности жила-броня. Для пары жила-броня из разных металлов, она может определяться с помощью уравнения, которое используется для расчетов индуктивности коаксиальных кабелей (в Гн/км):

L(f) = , (10)

Lc = , Kc =100/p (11)

Lm = b×ln(D/d), (12)

где: f - частота тока (Гц), m - магнитные проницаемости жилы и брони (медь m1=1, сталь m2=100¸120), r - удельные сопротивления (r1=17.5 Ом×мм2/км, r2=130 Ом×мм2/км), d – диаметр жилы (мм), D – внутренний диаметр брони кабеля, (мм), b – коэффициент учета конструкции кабеля (b » 2 для ОБК, b » 3 для МБК). Значение Lc/ - собственная индуктивность жил, Lm – межпроводниковая.

При сопоставлении расчетных значений индуктивности кабелей с результатами измерений индуктивности, приведенными в работах /3,4,6/, отмечено, что формулы (11-13), как правило, завышают значения индуктивностей на частотах выше 100 Гц, играющих основную роль при расчетах вторичных параметров кабеля. По-видимому, здесь играет роль тот же фактор разницы значений прямого и обратного токов в жиле и броне и конструкция брони. Двойной слой из стальных проволок с перекрестным повивом слоев не эквивалентен оплетке коаксиального кабеля. Сходимость расчетных и измеренных значений индуктивностей повышается при использовании в формулах (11-12) значения "эффективного" диаметра Dэ = k×D кабеля вместо внутреннего диаметра брони D. Величина коэффициента k находится в пределах (1-1.2) для МБК-2п, (1.2-1.4) для МБК-1п и (1.4-1.6) для ОБК. Для ОБК это практически соответствует диаметру по среднему слою брони, что объяснимо по своей физической сущности. Более точная аппроксимация экспериментальных данных может производиться дополнительным изменением коэффициента Кс в пределах ±10%.

Как следует из формулы (11), зависимость индуктивности от частоты определяется собственной индуктивностью жил. Она же определяет зависимость индуктивности от температуры (температурное изменение r). В области высоких частот индуктивность определяется, в основном, межпроводниковой индуктивностью. Индуктивности кабелей на лебедке и в скважине практически не отличаются. При намотке кабеля на лебедку его индуктивность может увеличиваться на 1-3% в зависимости от конструкции лебедки и состояния (степени окисления) поверхности брони кабеля.

Межпроводниковая индуктивность многожильных кабелей для пары жила-жила увеличивается за счет взаимной индуктивности пар и влияния соседних жил и может оцениваться по формуле аппроксимации экспериментальных данных:

Lm » b×ln((Dэ/d)+s×(2c/d)), (13)

где с – расстояние между центрами жил, s » (0.4-0.5) в зависимости от конструкции кабеля (уточняется по измерениям индуктивности на высоких частотах).

По измеренному значению индуктивности на частоте f1 частотная функция индуктивности может вычисляться по формуле:

L(f) » . (14)

Волновое сопротивление. Каротажные кабели не в полной мере удовлетворяют требованиям однородных линий. Однако это не мешает использованию выражения (2) как в теоретическом плане, так и при чисто практических расчетах с погрешностью не более 3-5%, если специфика каротажных кабелей учитывается в функциях частотного распределения первичных параметров. При этом форма зависимости волнового сопротивления от частоты остается без изменения, несколько изменяются только численные значения зависимости. Волновое сопротивление жила-броня многожильных кабелей при однотипных параметрах жил и брони практически не отличается от одножильных, а для пар жила-жила отличается только увеличением числовых значений сопротивления. Что касается фазочастотных характеристик волнового сопротивления реальных кабелей, то за счет существенного возрастания их индуктивности на низких частотах значения и начальный интервал емкостной составляющей волнового сопротивления сокращаются, а на частотах выше 10 кГц в волновом сопротивлении кабеля появляется индуктивная составляющая, которая дает ощутимый фазовый сдвиг высокочастотных составляющих сигнала.

Частотная характеристика реальной кабельной линии.

Передаточная функция (4) со всеми входящими в нее реальными частотно-зависимыми параметрами являются основной системной функцией, обобщающей все электрические параметры ТПЖ кабеля, т. е полной математической моделью кабеля в частотном диапазоне.

Рис. 2. Частотные характеристики каротажного кабеля.

На рис. 2(А) приведены функции километрического затухания b(f) близких по конструкции каротажных кабелей, вычисленные по формуле (3) с учетом реальных частотно-зависимых первичных параметров жил. Затухание реального кабеля существенно отличается от идеального, что определяется, в основном, электромагнитными потерями высокочастотной энергии. Характер частотных зависимостей на низких частотах для одно - и многожильных кабелей практически однотипный. На частотах более 10 кГц затухание одножильных кабелей несколько выше затухания многожильных, причем для последних меньшее затухание имеют пары жила-жила. Однотипность характеристик позволяет при дальнейшем анализе ограничиваться типичной средней частотной характеристикой жил, которая соответствует паре жила-броня многожильного кабеля.

На рис. 2(В) приведены графики модулей рабочих коэффициентов Kp(f) передачи сигналов по кабелю, вычисленные по формуле (4). Электромагнитные потери энергии в реальном кабеле существенно ограничивают его частотный диапазон. Неполная согласованность жил кабеля с нагрузкой по частотному диапазону проявляется в том, что не существует кабельного дискрета, который можно использовать для моделирования кабеля любой длины, как линейной системы. При таком моделировании импульсный отклик кабеля на единичный входной сигнал получается путем свертки импульсных откликов кабельных дискретов, что отображается в частотной области перемножением спектров дискретов. Однако, как это можно видеть на рис. 2(B), даже при дискрете длиной 1 км коэффициент передачи сигнала для кабеля длиной 3 км, полученный перемножением спектров трех дискретов – [K1(f)]3, существенно отличается от коэффициента передачи, вычисленного по формуле (4). Следовательно, реальный кабель определенной длины даже при оптимальном согласовании с нагрузкой (Rн = Rв) представляет собой самостоятельную систему передачи сигналов с индивидуальными частотными характеристиками.

Формула (4) не учитывает сопротивления источника сигналов, т. е. отражает коэффициент передачи сигналов с входа линии на нагрузку при задании значений сигнала на входе кабеля. Расчет коэффициента передачи с учетом сопротивления источника сигналов (задание сигнала на входе источника сигналов) выполняется по формуле (4) с уточнением значения напряжения Uo:

Uo(f) = Uc(f) Zвх(f)/(Zвх(f) + Zo), (15)

где Uc – сигнал на входе источника сигналов с внутренним сопротивлением Zo. Согласование кабеля с источником сигналов улучшает монотонность формы частотной характеристики и практически не изменяет относительную зависимость коэффициента передачи сигналов от частоты. Вместе с тем увеличивается относительная зависимость коэффициента передачи от согласования с нагрузкой. Очевидно, что только стабилизация значений сопротивления нагрузки и источника сигналов от влияния дестабилизирующих факторов гарантирует стабильность коэффициента передачи сигналов.

Передаточная функция Kp(f) позволяет дать оценку влияния изменения первичных параметров жил на амплитудно-частотную характеристику кабеля при изменениях первичных электрических параметров жил в процессе эксплуатации. Расчеты показывают, что на низких частотах степень чувствительности АЧХ кабеля порядка 0.5% на 1% изменения активного сопротивления жил, ~0.2% на 1% изменения емкости и индуктивности, и практически отсутствует при изменении электромагнитных потерь. На высоких частотах АЧХ жил практически нечувствительна к изменениям активного сопротивления и индуктивности при повышении степени чувствительности к изменениям емкости и электромагнитным потерям. Учитывая, что в процессе эксплуатации изменения емкости и электромагнитных потерь много меньше изменений активного сопротивления и индуктивности (температурных и пр.) и носят, в основном, долговременный характер (старение кабеля), особое внимание следует обратить на снижение влияния активного сопротивления и индуктивности на передачу сигналов, тем более, что это может достигаться уже рекомендованным методом: энергия сигналов должна быть минимальной в области низких частот.

Что касается устойчивости математической модели передаточных функций жил кабеля к изменению постоянных коэффициентов в расчетных формулах (частотная постоянная «а» в (8), коэффициент учета конструкции кабеля «b» в (12) и пр.), то степень чувствительности передаточных функций к их изменению на порядок ниже, что свидетельствует о достаточной точности модели (не хуже 3-5% по рекомендованным средним значениям). Исключением является коэффициент электромагнитных потерь h прямого действия, значение которого устанавливается непосредственно по передаточной функции (затуханию сигнала на высоких частотах) и приводит модель к фактическим (или паспортным) данным реального кабеля, фиксируя тем самым все возможные факторы отклонения характеристик реального кабеля от идеальной линии передачи сигналов.

Импульсный отклик кабеля.

Полной математической моделью кабеля в реальном масштабе времени, которой также обобщаются все электрические параметры жил, является импульсный отклик жил – форма сигнала на нагрузке жилы при подаче на ее вход единичного дельта-импульса. Импульсный отклик находится обратным преобразованием Фурье частотной передаточной функции кабеля h(t) Û Kp(f):

h(t) = 2Kp(f)×cos(2pft) df. (16)

При работе на частотах до 1 МГц масштаб импульсного отклика целесообразно установить в микросекундах и вычислять отклик на единичный входной импульс U×Dt = 1 (вольт×микросекунда), при этом масштаб значений импульсного отклика на микросекундной временной оси также будет измеряться в вольтах, а площадь импульсного отклика в (вольт×мкс), как и положено при прохождении импульса в пассивной линейной системе с потерями энергии, будет меньше 1.

Рис. 3. Импульсные отклики кабелей.

На рис. 3 приведен пример расчета импульсных откликов кабелей различной длины. Задержка фронта откликов показана пунктиром и соответствует расчетному времени задержки на высоких частотах. Форма импульсного отклика жилы кабеля складывается из двух примерно экспоненциальных функций: короткой "зарядной" функции, определяющей фронт отклика, и длинной "разрядной" реакции жилы. При полном согласовании модели с электрическими параметрами жилы, до начала фронта отклика не должно быть никакой реакции, что позволяет производить уточнение основных коэффициентов модели (Кс, D и h) непосредственно в процессе расчетов приведением отклика на данном временном интервале к мало значимым значениям и их обнулением (при условии, что значение обнуляемой площади отклика не превышает 1-2% его полной площади). В связи с зависимостью рабочего коэффициента передачи сигнала от длины кабеля уточнение импульсного отклика для кабелей определенной длины, если имеется необходимость в повышении точности модели, может производиться индивидуально. Появление при расчетах существенного отрицательного выброса перед фронтом импульсного отклика свидетельствует о заниженном значении коэффициентов h или эффективного диаметра D и сопровождается, как правило, занижением расчетных значений Rв относительно фактических (измеренных или среднестатистических). Ликвидацию выброса целесообразно выполнять подбором сначала коэффициента h (грубо), а затем диаметра D (точно).

Рис. 4. Форма импульсного отклика при разном согласовании с нагрузкой.

При Zo Þ 0 форма собственного импульсного отклика кабеля существенно зависит от согласования с нагрузкой. Это определяется тем, что при несогласованной нагрузке отраженная от нагрузки волна полностью отражается от источника сигнала и через утроенное время задержки снова появляется на выходе кабеля, создавая второй пик на спаде отклика, положительный при Rн < Rв или отрицательный при Rн > Rв, что можно видеть на рис. 4 в относительных единицах от максимума отклика. Это позволяет подбором нагрузки Rн > Rв использовать повторный отрицательный пик для компенсации спада импульсного отклика и уменьшать его длительность (пример на рис. 4). Оптимальное согласование достигается при значении Rн порядка (1.2-1.5)Rв в зависимости от длины кабеля (при увеличении длины кабеля этот эффект уменьшается в связи с большим затуханием отраженных волн при двойном прохождении по кабелю). Для кабелей, согласованных с источником сигнала (Zo ~ Rв), эффект несогласования с нагрузкой уменьшается практически на порядок.

Математическая модель импульсного отклика позволяет проанализировать влияние изменения первичных электрических параметров на форму импульсного отклика. Активное сопротивление жилы практически не изменяет форму отклика и несколько изменяет постоянную времени его «хвоста» за счет изменения низкочастотного состава спектра передаточной функции. Аналогично влияние и изменения индуктивности жил. Более существенно изменение амплитудных значений импульсного отклика при изменении электромагнитных потерь, относительное значение изменения которых приводит к практически такому же относительному изменению амплитуды отклика (обратному по знаку), так как пиковое значение отклика формируется высокочастотными составляющими спектра передаточной функции жил. Влияние изменения емкости жил по характеру и числовым значениям практически аналогично влиянию изменения электромагнитных потерь.