Учебно-методический комплекс (стр. 4 )

- общая схема исследования функции и построение ее графика.

Основная литература: : 1,2,3,6,7,9.

Дополнительная литература: 10,11,12,13,15.

Тема 8: Неопределенный интеграл.

Тезисы лекции:

- первообразная (определение, основное свойство, признак постоянства, правила нахождения первообразной);

- неопределенный интеграл, его свойства; таблица интегралов;

- основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, разложение, замена переменной (подстановка), интегрирование по частям;

- интегрирование рациональных функций (полиномы, рациональные дроби); интегрирование иррациональностей (квадратичные иррациональности, дробно-линейная подстановка, тригонометрическая подстановка, интегрирование дифференциального бинома) и выражений, содержащих тригонометрические функции (универсальная тригонометрическая подстановка, интегралы типа , использование тригонометрических преобразований);

- «Берущиеся» и «неберущиеся» интегралы (таблица неопределенных интегралов , интеграл Пуассона, интегральный логарифм, интегралы Френеля, интегральные синус и косинус, интегральная показательная функция).

Основная литература: 1,3,6,9.

Дополнительная литература: 10,11,13.

Тема 9: Определенный интеграл

Тезисы лекции:

- задачи, приводящие к понятию определенного интеграла; интегральная сумма;

- понятие определенного интеграла, его свойства; определенный интеграл как функция верхнего предела;

- геометрический и физический смысл определенного интеграла;

- формула Ньютона Лейбница;

- применение (геометрическое) определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур; вычисление объемов тел и длин дуг кривых;

- механические приложения определенного интеграла (работа переменной силы, путь, пройденный телом, давление жидкости на вертикальную пластинку, вычисление статических моментов и координат центра тяжести)

- несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций;

- приближенное вычисление определенного интеграла (формулы прямоугольников, трапеций, парабол (Симпсона)).

Основная литература: 1,2,3,7,8,9.

Дополнительная литература: 10-12.

Тема 10: Функции нескольких переменных.

Тезисы лекции:

- определение функции нескольких переменных;

- предел и непрерывность;

- частные производные и дифференциал функции; производная по направлению, градиент;

- касательная плоскость и нормаль к поверхности;

- экстремум функции нескольких переменных; наибольшее и наименьшее значения функции; условный экстремум, метод Лагранжа.

Основная литература: 1,2,3,7,9.

Дополнительная литература: 10-15.

Тема 11: Дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Тезисы лекции:

- основные понятия дифференциальных уравнений;

- решение уравнение, задача Коши; общее и частное решения;

- дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными;

- однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка;

- линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка (метод И. Бернулли, метод Лагранжа, уравнение Я. Бернулли);

- уравнение в полных дифференциалах, интегрирующий множитель, уравнения Лагранжа и Клеро;

- дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка;

- линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами: однородные и неоднородные.

Основная литература: 1,2,3,6,9.

Дополнительная литература: 10-14.

Тема 12: Ряды. Числовые ряды.

Тезисы лекции:

- числовые ряды; сходимость и сумма ряда, ряд геометрической прогрессий;

- необходимое условие сходимости; гармонический ряд;

- ряды с положительными членами; достаточные признаки сходимости (сравнения рядов, признак Даламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак Коши);

- знакочередующиеся ряды; теорема Лейбница;

- знакопеременные ряды (общий достаточный признак); абсолютная и условная сходимость числовых рядов;

- степенные ряды: основные понятия, сходимость степенных рядов, разложение функций в степенные ряды (ряды Тейлора и Маклорена), некоторые приложения степенных рядов.

Основная литература: 1,2,3,6,9.

Дополнительная литература: 10-15.

Тема 13: Элементы теории вероятностей.

Тезисы лекции:

- предмет теории вероятностей, классификация событий, пространство элементарных событий, алгебра событий;

- понятие случайного события, относительные частоты, закон устойчивости относительных частот;

- классическое и геометрическое определение вероятности, понятие об аксиоматическом построении теории вероятностей;

- методы исчисления вероятностей;

- схема Бернулли;

- дискретные и непрерывные случайные величины, функция их распределения и свойства, математическое ожидание и дисперсия случайной величины;

- нормальное распределение и его свойства;

- числовые характеристики;

Основная литература: 1,3-6,8,.

Дополнительная литература: 13-15.

Тема 14.Элементы математической статистики.

Тезисы лекции:

- генеральная совокупность и выборка, вариационный ряд, гистограмма и эмпирическая функция распределения, выборочная средняя и дисперсия;

- статистические оценки генеральной средней и доли, погрешность оценки, доверительная вероятность и доверительный интервал, определение необходимого объема выборки;

- понятие о критериях согласия, проверка статистических гипотез; дисперсионный анализ; корреляционный анализ; регрессионный анализ;

- временные ряды; модели временных рядов и их составляющие.

Основная литература: 1,4-6,8.

Дополнительная литература: 13,15.

2.3 Планы практических (семинарских) занятий.

Тема1: Матрицы и определители.

Контрольные вопросы:

1) Что называется матрицей?

2) Какая матрица называется: квадратной, нулевой, вектором-столбцом, треугольной, вектором-строкой, присоединенной, диагональной, невырожденной, единичной, ступенчатой?

3) Перечислите операции, которые можно производить над матрицами.

4) Чем отличается операция умножения матриц от операции умножения чисел? Когда умножение матрицы А на матрицу В определено?

5) Что такое транспонирование матрицы?

6) Что называется определителем матрицы?

7) Как возвести матрицу в степень?

8) Как определяется размер матрицы?

9) Какие матрицы называются равными?

10) Как вычислить определитель 3-го порядка?

11) Что называется минором элемента аij матрицы n-го порядка?

12) Что называется алгебраическим дополнением элемента аij матрицы n-го порядка?

13) Сформулируйте теорему Лапласа. Какое значение она имеет для вычисления определителей?

14) Сформулируйте основные свойства определителей.

15) Какая матрица называется обратной? Сформулируйте необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы.

16) Каков алгоритм вычисления обратной матрицы?

17) Что такое ранг матрицы?

18) Какие преобразования матрицы называются элементарными? Что происходит с рангом матрицы при элементарных преобразованиях?

19) Что называется линейной комбинацией строк матрицы?

20) Какие строки матрицы называются линейно-зависимыми; линейно-независимыми?

21) Сформулируйте теорему о ранге матрицы.

Решение задач (здесь и далее необходимое учебное обеспечение практических занятий выделяется косыми чертами, номер источника приводится по разделу 1.5 настоящей программы): №№ 1.15 – 1.29 /С. 36-37/1/.

Тема 2: Системы линейных уравнений.

Контрольные вопросы:

1) Что называется решением системы m линейных уравнений с n переменными?

2) Какая система уравнений называется совместной, несовместной?

3) Когда совместная система уравнений называется определенной; неопределенной?

4) В каком случае две системы уравнений называются

равносильными?

5) Какой вид имеет система m линейных уравнений с n неизвестными, записанная в матричной форме?

6) Как решить систему линейных уравнений, используя метод обратной матрицы?

7) Сформулируйте теорему Крамера.

8) В чем заключается метод Гаусса решения систем линейных уравнений?

9) Каковы достоинства метода Гаусса?

10) Какая матрица называется расширенной матрицей системы линейных уравнений?

11) Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.

12) Какое решение системы линейных уравнений называется базисным?

13) Когда система m линейных уравнений с n переменными называется однородной?

14) Какими свойствами обладают решения системы линейных однородных уравнений?

15) Что такое фундаментальная система решений системы линейных однородных уравнений?

16) Какой вид имеет общее решение системы линейных однородных уравнений?

Решение задач: №№ 2.11 – 2.28 /С.60-62/1/

Тема 3: Элементы векторной алгебры и матричного анализа.

Контрольные вопросы:

1) Что называется вектором?

2) Что называется длиной и направлением вектора?

3) Какой вектор называется нулевым? Имеет ли он направление?

4) Как называется угол между двумя векторами?

5) Какой вектор называется суммой двух данных векторов? Сформулируйте правило треугольника сложения двух векторов.

6) В чем состоит правило многоугольника сложения нескольких векторов? Какой вектор называется разностью двух векторов?

7) Что называется произведением вектора на число?

8) Какие два вектора называются коллинеарными?

9) Что называется скалярным произведением двух векторов?

10) Как найти угол между векторами, используя скалярное произведение?

11) Дайте определение n-мерного вектора.

12) Что такое векторное пространство?

13) Что называется линейной комбинацией векторов?

14) Дайте определение линейной зависимости и линейной

независимости векторов линейного пространства.

15) Как определяется размерность линейного пространства?

16) Что называют базисом линейного пространства?

17) Сформулируйте теорему о единственности представления вектора линейного пространства.

18) Сформулируйте теорему о размерности и базисе пространства.

19) Какое пространство называется евклидовым?

20) Дайте определение нормы вектора в евклидовом пространстве.

21) Когда два вектора называются ортогональными?

22) Какой базис называется ортонормированным?

23) Дайте определение линейного оператора.

24) Сформулируйте теорему о зависимости между матрицами оператора в разных базисах.

25) Дайте определение собственного вектора и собственного значения линейного оператора.

26) Сформулируйте теорему о о матрице оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов.

27) Что такое квадратичная форма? каноническая форма?

28) Сформулируйте критерий Сильвестра.

Решение задач: №№ 3.14 – 3.35 /С. 93-94/1/.

Тема 4: Элементы аналитической геометрии.

Контрольные вопросы:

1) Дайте определение уравнения линии на плоскости.

2) Какими способами можно задать прямую на плоскости?

3) Как записывается уравнение прямой, проходящей через две данные точки?

4) Какое уравнение называется уравнением прямой в отрезках?

5) Как записывается уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении?

6) Какое уравнение называется общим уравнением прямой?

7) Какая прямая, заданная общим уравнением, проходит через начало координат?

8) Как записывается уравнение прямой с угловым коэффициентом?

9) Как вычисляется угол между прямыми, заданными уравнениями с угловым коэффициентом?

10) Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами.

11) Как находится расстояние от точки до прямой?

12) Что называется окружностью?

13) Какой вид имеет общее уравнение окружности? Какое уравнение окружности называется нормальным?

14) Что называется эллипсом?

15) Какой вид имеет каноническое уравнение эллипса?

16) Какие точки плоскости называются фокусами эллипса? Сколько фокусов у эллипса? Как называется расстояние между фокусами?

17) Какие точки эллипса называются его вершинами?

18) Что называется эксцентриситетом эллипса?

19) Что называется гиперболой?

20) Какие точки плоскости называются фокусами гиперболы?

21) Какой вид имеет каноническое уравнение гиперболы?

22) Какие прямые называются асимптотами гиперболы?

23) Что называется параболой?

24) Какая точка плоскости называется фокусом параболы? Что называется директрисой параболы?

25) Что называется вершиной параболы?

26) Почему окружность, гипербола, эллипс и парабола называются кривыми второго порядка?

Решение задач: №№ 4.14 – 4.32 /С. 121-122/1/.

Тема 5: Введение в анализ.

Контрольные вопросы:

1) Что такое функция?

2) Какие способы задания функции вы знаете?

3) Что такое область определения функции; область

значений функции?

4) Перечислите основные свойства функций.

5) Какие основные элементарные функции вы знаете?

6) Что значит, что функция задана явно; неявно?

7) Какая функция называется обратной?

8) Что такое суперпозиция функций?

9) Дайте определение числовой последовательности?

10) Что такое предел числовой последовательности?

11) В чем заключается геометрический смысл предела числовой последовательности?

12) Дайте определение предела функции в бесконечности; предела функции в точке.

13) Какая функция называется бесконечно малой величиной; бесконечно большой величиной?

14) Перечислите основные свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин. Какова связь между этими величинами?

15) Сформулируйте основные теоремы о пределах.

16) Какие замечательные пределы вы знаете?

17) Дайте определение непрерывности функции в точке.

18) Перечислите свойства функций, непрерывных в точке.

19) Какая функция называется непрерывной на промежутке?

20) Сформулируйте свойства функций непрерывных на отрезке.

Решение задач: №№ 5.8 – 5.22 /С. 140/1/; №№ 6.15 – 6.41 С.

174-175/1/.

Тема 6: Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Контрольные вопросы:

1) Сформулируйте определение производной функции. В чем заключается геометрический и физический смысл производной?

2) Что значит, что функция дифференцируема в точке; на промежутке?

3) Как связаны между собой понятия непрерывности и

дифференцируемости функции?

4) Сформулируйте основные правила дифференцирования.

5) Таблица производных основных элементарных функций.

6) Сформулируйте теорему о производной сложной функции.

7) Сформулируйте теорему о производной обратной функции.

8) Как найти производную функции, заданной неявно?

9) Дайте определение производной n-го порядка.

10) Сформулируйте определение дифференциала функции.

В чем заключается геометрический смысл дифференциала функции?

11) Перечислите основные свойства дифференциала функции. Таблица дифференциалов.

12) Сформулируйте теорему об инвариантности формы первого

дифференциала.

13) как применяется дифференциал в приближенных вычислениях?

14) Сформулируйте определение дифференциала n-го порядка.

Решение задач: № 7.20 – 7.53 /С. 206-208/1/; № 9.6 – 9.13 /

С.250/1/.

Тема 7: Приложение производной.

Контрольные вопросы:

1) Сформулируйте теоремы для дифференцируемых функций:

а) теорему Ферма; б) теорему Ролля; в) теорему Лагранжа.

2) Сформулируйте правило Лопиталя.

3) Сформулируйте условие монотонности функции.

4) Какая точка называется точкой максимума (минимума) функции?

5) Что такое экстремум функции?

6) Сформулируйте необходимое условие экстремума.

7) Какие точки называются стационарными?

8) Как исследовать функцию на экстремум, применяя первое достаточное условие экстремума?

9) Как исследовать функцию на экстремум, используя второе д достаточное условие экстремума?

10)Как найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке?

11) Дайте определение функции выпуклой вверх; выпуклой вниз.

12) Сформулируйте достаточные условия выпуклости и вогнутости.

13) Какая точка графика функции называется точкой перегиба?

14) Сформулируйте необходимое и достаточное условие

существования точек перегиба.

15) Приведите схему нахождения точек перегиба.

16) Что такое асимптота графика функции?

17) Сформулируйте условия существования асимптот.

18) Приведите общую схему исследования функций и построения их графиков.

Решение задач: №№ 8.19 – 8.53 /С. 242-243/1/.

Тема8: Неопределенный интеграл.

Контрольные вопросы:

1) Дайте определение первообразной функции.

2) Что называется неопределенным интегралом?

3) Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.

4) Таблица основных неопределенных интегралов.

5) Охарактеризуйте следующие методы интегрирования:

а) непосредственное интегрирование;

б) интегрирование подведением под знак дифференциала;

в) интегрирование по частям; д) метод подстановки

6) По какой схеме проводится интегрирование:

а) рациональных дробей; б) выражений, содержащих иррациональности; в) тригонометрических функций.

Решение задач: №№ 10.29 – 10.70 /С. 280-282/1/.

Тема9: Определенный интеграл.

Контрольные вопросы:

1) Что такое интегральная сумма функции y=f(x) на данном промежутке?

2) Дайте определение определенного интеграла.

3) В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

4) Сформулируйте условие интегрируемости функций.

5) Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.

6) Связь между определенным и неопределенным интегралами. Формула Ньютона-Лейбница.

7) По какой формуле проводится интегрирование по частям определенном интеграле?

8) Сформулируйте правило замены переменной в определенном интеграле.

9) Приведите формулы для вычисления: а) площадей плоских фигур; б) объемов тел вращения.

10) Сформулируйте определение несобственного интеграла

с бесконечным пределом интегрирования. Схема вычисления такого интеграла.

11) Сформулируйте определение несобственного интеграла от неограниченной функции и схему его вычисления.

Решение задач: №№ 11.25 – 11.62 /С. 323-324/1/.

Тема10: Функции нескольких переменных.

Контрольные вопросы:

1) Дайте определение функции нескольких переменных?

2) Что такое график функции двух переменных?

3) Что такое линия уровня?

4) Дайте определение предела функции двух переменных в точке (х0,у0).

5) Какая функция от двух переменных называется непрерывной в точке (х0, у0)?

6) Дайте определение частной производной функции нескольких переменных.

7) Сформулируйте правило вычисления частных производных.

8) Сформулируйте определение дифференциала функции нескольких переменных.

9) Что такое производная по направлению?

10) Что такое градиент?

11) Какая точка называется точкой максимума (минимума) функции двух переменных?

12) Сформулируйте необходимый признак экстремума функции двух переменных.

13) Сформулируйте достаточное условие экстремума функции двух переменных.

14) Приведите схему исследования функции двух переменных на экстремум.

15) Как найти наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных?

16) Какая точка называется точкой условного экстремума?

17) В чем заключается сущность метода множителей Лагранжа?

Решение задач: №№ 15.23 – 15.34 /С. 435-436/1/.

Тема11: Дифференциальные уравнения

Контрольные вопросы:

1) Какие уравнения называются дифференциальными?

2) Как определяется порядок дифференциального уравнения?

3) Что называется решением дифференциального уравнения? Какое решение называется общим; частным?

4) Сформулируйте теорему о существовании и единственности частного решения дифференциального уравнения 1-го порядка.

5) В чем заключается геометрический смысл дифференциального уравнения и его частного и общего решений?

6) Приведите основные типы уравнений 1-го порядка:

а) с разделяющимися переменными; б) однородные;

в) линейные.