2 Методика обучения учащихся математическому моделированию при изучении уравнений и неравенств в основной школе (стр. 2 )

По мнению ученых , , Дж. Б. Мангейма и других моделирование – это процесс исследования объекта (явления, процесса) с помощью заменителей. Моделирование является многофункциональным, то есть оно используется самым разным образом для различных целей и на различных уровнях этапа исследования или преобразования. В связи с этим многовековая практика использования моделирования породила обилие форм и типов моделей.

Разнообразие классификации типов моделирования на разных основаниях (способ воспроизведения построения (); средство построения (); характер объектов, воспроизводимых в моделях () и другие) связано с тем, что этот метод позволяет учитывать как единство содержания научных знаний, так и их различие.

Отмечается, что математическое моделирование имеет ряд особенностей, позволяющие расширять пределы его возможностей (, , и др.). Наиболее важные из них: 1) наличие символики, оперирование специальными знаками, обладающими большой общностью, применяемых для описания многих процессов; 2) строгость и точность суждений в доказательстве свойств математических моделей, исключающие многозначность трактовок; 3) изоморфизм (гомоморфизм) объекта исследования, определяющий специфику форм связей моделей с практикой; 4) поэтапное выполнение; 5) обнаруженные при оценке изучаемых объектов многочисленные математические закономерности выражены в разных видах математических моделей.

Математические модели условно разбиваются на группы: алгебраические, геометрические, модели математического анализа, модели теории вероятности и математической статистики, модели вычислительной математики, модели математического программирования. Построенная нами классификация показывает связи между математическими методами, которые проявляются при решении задач. Причина такого многообразия математических моделей заключается в том, что они служат инструментом изысканий и объектом приложений научных знаний в процессе их постоянного совершенствования.

Строгость и точность суждений, абстрактный характер, структурная четкость математических моделей используется в педагогических исследованиях (, , и др.). Большая сложность, взаимосвязанность, многофакторность и сильная изменчивость педагогических объектов определяется спецификой этой науки. Но при применении средств моделирования выделяются цель, основные условия исследования, факторы, определяющие воздействие на выбранную цель исследования. Отказ от многих несущественных взаимосвязей упрощает структуру педагогического явления.

Развитие методики обучения учащихся деятельности по математическому моделированию осуществляется по четырем направлениям.

Первое характеризуется идеей практической направленности школьного курса математики, одним из способов осуществления которой является формирование у школьников представлений о поэтапности осуществления деятельности при математическом моделировании (, , и др.). При этом основным средством служат сюжетные задачи, раскрывающих этапы процесса осуществления математического моделирования.

Второе направление характеризуется использованием метода математического моделирования в преподавании смежных дисциплин (, , и др.).

Третье направление объединяет научные исследования по проблеме использования метода моделирования как средства обучения (, и др.).

В четверном направлении в научных исследованиях моделирование рассматривается как содержание и как способ познания (, Е. Лященко, , и др.).

Анализ исследований по проблеме обучения математическому моделированию показывает, что доказана возможность усвоения учащимися понятий «модель», «моделирование» (, , и др.); выделены основные элементы процесса математического моделирования и сделан анализ его операционного состава (); определено содержание (новые понятия и решение прикладных задач), на котором обучаются учащиеся построению математических моделей (, , ); установлена взаимосвязь неэквивалентных моделей одного и того же понятия и эффективность усвоения этого понятия (И. Мешкова); раскрыты функции моделирования в обучении: познавательная, интегрирующая, иллюстративная, эвристическая, синтезирующая и другие (); найдены методические пути обучения школьников умению строить математическую модель (, , ), определена структура математического моделирования (, , ). Однако внутренняя структура обучения математическому моделированию еще недостаточно раскрыта. Наше исследование направлено на раскрытие внутренней структуры обучения учащихся методу математического моделирования при изучении уравнений и неравенств в основной школе.

В основе разработанной методики обучения математическому моделированию при изучении метода уравнений и неравенств лежат мотивационный, содержательный, операционный, результативный компоненты.

Мотивационный компонент выступает в качестве источника активности учебной деятельности, как исходный компонент он составляет базу для развития операционного и состоит из целей и мотивов.

Реализация содержательного компонента направлена на усвоение учащимися знаний метода математического моделирования, осознание их свойств; знаний о приложении метода и ограничениях этого метода, составляющее гносеологическую сферу метода, и на формирование у учащихся базовых умений метода как деятельностной сферы.

Учащиеся усваивают систему знаний путем решения упражнений, в состав которых входят задания, предполагающие использование предметных и практических средств: 1) на подведение объекта под понятие; 2) на выделение существенных признаков в понятии; 3) на распознавание формируемого понятия; 4) на установление свойств понятия; на применение понятия; 5) на актуализацию знаний и умений, необходимых для формирования заданного понятия; 6) на усвоение текста определения понятия; 7) на практическое применение нового понятия.

Особенность системы упражнений по изучению объекта метода, заключается в том, что в него входят задания: 1) на применение свойств объекта для получения новых свойств, на установление количественных отношений между объектами или на получение способа построения объектов; 2) на отыскание другого способа доказательства свойства понятия; 3) на вычисление, доказательство или на построение, которые приводят учащихся к осознанию свойств понятия; 4) на актуализацию изученных свойств понятия.

Система упражнений на усвоение правил содержит задания: 1) на выполнение отдельных операций над понятиями, входящих в правило; 2) на актуализацию умений, необходимых для выполнения правил преобразования свойств объекта; 3) на применение правил в изученных и неизвестных условиях.

Системы упражнений, удовлетворяющие выше указанным требованиям, направлены на формирование у учащихся частных умений по применению метода математического моделирования.

Общие умения применения метода математического моделирования (обозначить отношения и зависимости между характеристиками задачи средствами математического моделирования; составить математическую модель с применением систем единиц измерения величин; использовать графические представления для описания и анализа зависимостей между характеристиками задачи; преобразовать математическую модель на основе ее свойств; применить способ решения математической модели; проверить ответ и перевести его на язык задачи) формируются при решении специально подобранных задач.

Для достижения поставленной цели проводимого нами исследования была разработана система задач по некоторым темам курса алгебры основной школы для формирования у учащихся умений деятельностной сферы метода уравнений и неравенств, которые возможны на основе знаний из области приложения метода и об особенностях его использования, входящих в гносеологическую сферу метода.

Изучение метода математического моделирования состоит из несколько стадий: принятие метода; усвоение метода; закрепление умений применять метод; применение метода; использование метода в широком круге задач.

Каждая стадия развивается согласно теории поэтапного формирования умственных действий, разработанной и . Согласно теории для каждого этапа были определены формируемые умения и типы упражнений. Мотивационный этап реализуется при анализе мотивационного компонента, создающего соответствующие потребности в изучении данного метода математики, убеждения учащихся в необходимости его изучения. Ориентировочный этап реализуется путем специально подобранных заданий, в процессе выполнения которых усваивается новый материал по математическому методу. Материализованный этап осуществляется путем организации выполнения учащимися упражнений с применением наглядных пособий.

Упражнения систематизированы по блокам. Блок I включает задания на составление математической модели по заданной схеме условия задачи; блок II – задания на выделение основных и введение дополнительных неизвестных с использованием обозначений; блок III – задания на закрепление умений осуществить перевод основных отношений, рассматриваемых в учебных алгебраических задачах; на ориентировку правильного выбора математического аппарата для решения задачи; блок IV – задания на составление и решение математической модели различных явлений (например, в виде уравнений и неравенств или их систем, или в виде функций), способствующие пониманию сути деятельности моделирования; блоки V-VI – задания на верное истолкование полученного решения, понимание значения и роли графической интерпретации полученных математических моделей.

В разработанных упражнениях требуется построить схемы по условию задачи; выбрать и обозначить неизвестные; записать зависимости между величинами в форме алгебраического выражения, используя подходящие обозначения, преобразовывая искомые или данные, заменяя термины их определениями; составить математические модели в виде уравнений (неравенств) и их систем или других алгебраических выражений, используя свойства данных в условиях объектов, выделяя в задаче данные и искомые, проверяя все ли данные использованы; применить различные способы решения (разложение на множители, подстановка и др.); найти ответ; проверить ответ по смыслу задачи; проверить ответ по основной математической модели; использовать графическое представление для описания и анализа зависимостей между характеристиками задачи. Все элементы действий, осуществляемые на каждом стадии, отрабатываются внеречевой и внутриречевой форме организации деятельности по изучению материала.

Задания составлены таким образом, чтобы учебное содержание, предусмотренное программой обучения, оставалось без изменений, а преобразовывались данные, вопрос задачи, структура подачи материала.

Приведем примеры таких заданий.

Блок I. Составьте уравнение по заданной схеме (рисунок 1).

Варианты ответа: 1) 46/(v+2)+34/(v-2)=80/v; 2) 46/(v-2)+34/(v+2)=80/v; 3) 46/(v-2)-34/(v+2)=80/v.

Рисунок 1 – Схема для составления уравнения

Блок II. Дана задача № 000 (из учебника для 8 класса общеобразовательной школы «Алгебра» – Алматы: Изд-во «Мектеп», 2008. – С. 131): Члены школьного кружка натуралистов отправились на катере для сбора лекарственных трав. Проплыв вниз по течению реки 35 км, они сделали трехчасовую стоянку, после чего вернулись назад. Определите скорость катера в стоячей воде, если на все путешествие ушло 7 ч, а скорость течения реки равна 3 км/ч. Вопрос: если обозначить через v скорость катера в стоячей воде, то чему равно время, затраченное школьниками на путь по течению реки? Варианты ответа: 1) 35/( v +3); 2) 35*( v +3); 3) 35/( v +3)+3.

Блок III. Составьте математическую модель задачи: Найдите два числа, если одно из них на 7 больше другого, а их произведение равно 198. (задача № 1 самостоятельной работы № 11, вариант 1 из учебного пособия для 8 класса «Алгебра. Дидактические материалы» – Алматы: Изд-во «Мектеп», 2005.– С.21).

Варианты ответа: 1) Основное неизвестное – это первое большее число.

Ответ:

2) Основное неизвестное – это второе меньшее число.

Ответ:

3) Основное неизвестное – это первое большее число. Ограничение: оба числа положительные.

Ответ:

Блок IV. Задана задача: Два тела, движущиеся в разные стороны по окружности длиной 64 метров с постоянными скоростями, встречаются каждые 4 секунды. При движении в одну сторону первое тело догоняет второе каждые 32 секунды. Чему равны линейные скорости этих тел?

Вставьте пропущенный текст или числовое значение выражения в решение задачи. Решение. Первый этап: вводим обозначения.  Обозначим скорости первого и второго тел через х м/с и у м/с соответственно. В задаче ничего специально не оговорено, значит, движение по окружности можно считать равномерным и повороты без затраты времени. Скорость обоих тел постоянно по времени. Длина окружности S и скорости тел х, у  и время t1 встречи тел, движущихся в разные стороны, связаны соотношением S=(x+y)t1, где t1=4 секунды.  S, скорости тел х, у и время встречи тел, движущихся в одну сторону, связано соотношением  S=_____*t2, где t2=32 секунды. Тогда по условию задачи получаем следующую систему уравнений:

(1).

Второй этап: решение модели.

(2).

Сократив первое уравнение на 4, а второе — на 32 в системе (1), используя свойства пропорции, получим систему двух линейных уравнений системы (2). Сложим почленно правые и левые части первого и второго уравнений системы (2) и получим _____, откуда x=9, а из первого уравнения находим, что 9+у=16, откуда y=_____ м/с.

Третий этап: перевод ответа на язык задачи. Через х м/с и у м/с соответственно обозначены скорости первого и второго тел. Получаем, что х=9 м/с – это скорость первого тела,  а скорость второго тела равна _______м/с.

Ответ: 9 м/с – это линейная скорость первого тела, ____ м/с – это линейная скорость второго тела.

Блоки V. Задана задача. Расстояние 96 км первый поезд проходит на 40 минут быстрее, чем второй поезд. Скорость первого поезда на 12 км/час больше, чем скорость второго поезда. Найдите скорости каждого поезда. Ответ задачи: 36 и 48. Что означают эти цифры?

Варианты ответа:и 48 – это скорости первого и второго поездов;и 48 – это корни квадратного уравнения, составленного при решении задачи;и 48 – это решение системы линейных уравнений, составленной при решении задачи.

Блок VI. Задача № 000 (Сборник задач по математике / , , - М. Просвещение, 1979. – С. 150). Сторона прямоугольника равна 12 см. Какой должна быть другая сторона, чтобы периметр прямоугольника был больше площади?

Рассмотрите графики зависимостей периметра и площади от искомой стороны прямоугольника (рисунок 2), укажите, что означают основные элементы 1 и 2:

Рисунок 2 – Графики зависимостей периметра и площади от искомой стороны прямоугольника

Варианты ответа: 1) 1 – при х=2 значение площади прямоугольника равно 24 см2, а его периметр равен 28 см, 2 – это график зависимости площади прямоугольника от искомой стороны; 2) 1 – точка, при которой площадь и периметр прямоугольника равны между собой, 2 – это график изменения периметра прямоугольника; 3) 1 – при х=2 значение площади прямоугольника равно 24 см2, а его периметр равен 24 см, 2 – это график зависимости периметра прямоугольника от искомой стороны.

Результативный компонент реализуется при условии включения учащихся в деятельность по обсуждению показателей сформированности требуемых умений и навыков по математическому моделированию, критериев оценки решенных задач, по анализу выполненного задания (с определением рационального и нерационального способа решения).

По результатам теоретического исследования проблемы и изучения текущей практики преподавания была разработана технология проведения занятий по изучению уравнений и неравенств в основной школе (темы «Квадратное уравнение», «Числовые неравенства», «Неравенства с одной переменной», «Квадратное неравенство», «Системы уравнений и неравенств») с применением электронного учебного пособия и методические рекомендации по организации учебного процесса на основе разработанного критерия определения формируемых умений.

Целями разработанной технологии обучения являются выделение особенностей методов математики; систематизация теоретических знаний по изучению уравнений и неравенств для осознанного усвоения учащимися метода математического моделирования и формирования у них умений решать различные содержательные задачи данным методом. Для представления особенности работы учителя мы определи состав операционного компонента процесса обучения учащихся математическому моделированию при изучении уравнений и неравенств по стадиям.

Для проверки эффективности разработанной методики обучения методу уравнений и неравенств в основной школе организован и реализован педагогический эксперимент.

В констатирующем эксперименте выявилось: восприятие учащимися сути математического моделирования, связанное с переводом отношений в рассматриваемых явлениях на язык математики, а также идеи метода математического моделирования; степень усвоения учащимися понятий «уравнение», «неравенство», «модель», которые способствуют лучшему усвоению материала; степень реализации межпредметных и внутрипредметных связей.

Констатирующим экспериментом было охвачено 1294 учащихся. Для выяснения уровня знаний по материалам из курса алгебры общеобразовательной школы были использованы специально составленные вопросы. Анализ ответов, данных на эти вопросы, показал, что большинство учащихся формально усваивают основные понятий курса алгебры.

С целью выявления уровня усвоения учащимися понятий, связанных с методом уравнений и неравенств, на основе внутипредметных и межпредметных связей и качества усвоения этих понятий было проведено анкетирование после изучения материалов тем «Приближенные вычисления» (7 класс); «Квадратное уравнение», «Неравенство» (8 класс) и «Уравнения, неравенства и их системы» (9 класс).

Анализ ответов на вопросы по материалам тем 8 класса показал, что: большинство учащихся связывают усвоение понятий «уравнение», «неравенство» только с решением задач на поиск числа, сопровождаемое чертежом на числовой оси; недостаточно имеют представлений о признаках и свойствах уравнений и неравенств, а также о графической интерпретации изучаемого объекта. Отметим, что содержание учебного материала не всегда ориентирует внимание учащихся на эти вопросы. Ответы на вопрос анкеты «Какие действия относятся к этапам процесса решения задач с использованием математического метода?» показали, что большинство учащихся мало знают об этапах, на которые разбивается процесс решения задач. Верно ответили на вопрос анкеты 2% (8 человек) учащихся 7 класса (410 человек), 1% (4 человек) учащихся 8 класса (447 человек) и 4% (17 человек) учащихся 9 класса (437 человек). Остальные выбрали неполные ответы, но верно указали учебные действия, выполняемые при решении задач на составление уравнений (неравенств): 2% (8 человек) учащихся 7 классов (410 человек), 16% (72 человека) учащихся 8 классов (447 человек), 4% (17 человек) учащихся 9 классов (437 человек).

Таким образом, в традиционном обучении учащихся методу уравнений и неравенств больше внимание уделяется передаче готовых знаний, но значительно меньше – знаниям, раскрывающих особенности применяемых методов, лежащих на их основе.

Системы упражнений по темам «Приближенные вычисления» (7 класс), «Квадратные уравнения» (8 класс), «Неравенства» (8 класс) и «Квадратные неравенства» (9 класс), «Уравнения, неравенства и их системы» (9 класс) составили основу материалов обучающего эксперимента.

Обучающий эксперимент гг. проводился на базе средних школ №№ 27, 18, 11 г. Усть-Каменогорска (Восточно-Казахстанская область) и экспериментом было охвачено 587 учащихся 7-9 классов.

Для выявления эффективности разработанной методики обучения учащихся уравнениям и неравенствам в основной школе с использованием обучающих дидактических материалов были выбраны контрольные и экспериментальные классы. В начале обучающего эксперимента проведен контрольный срез знаний и умений учащихся этих классов по ранее изученным материалам (таблица 1).

Таблица 1 – Результаты контрольного среза по выявлению знаний и умений учащихся экспериментальных и контрольных классов в начале обучающего эксперимента

Классы	Количество	Оценки
2	3	4	5
Экспериментальные	N=355	21 чел.	209 чел.	99 чел.	25 чел.
100%	6%	59%	28%	7%
Контрольные	N=349	17 чел.	199 чел.	112 чел.	21 чел.
100%	5%	57%	32%	6%

На основе данных таблицы 1 проверена нулевая гипотеза HO : P1i = P2i для всех С = 4 категорий, при альтернативе H1 : P1i ≠ P2i хотя бы для одной из С = 4 категорий, где С – категории оценок, P1i (i=1, 2, 3, 4) – вероятность выполнения работы учащимися экспериментальных классов на оценку i, P2i (i=1, 2, 3, 4) – вероятность выполнения работы учащимися контрольных классов на оценку i. По критерию χ2 Тнабл.=1,55 при Ткр.=7,815 для α = 0,05, Тнабл.< Ткр.