Змішані задачі (стр. 2 )

80. Довести, що якщо і незалежні, те і також незалежні.

81. У коло вписаний квадрат. Яка імовірність того, що:

а) крапка, кинута навмання в коло, виявиться усередині квадрата;

б) з п’яти крапок, кинутих навмання в коло, одна виявиться усередині квадрата і по одній крапці потрапить у кожен сегмент?

Передбачається, що імовірність улучення крапки на яку-небудь частину кола пропорційна її площі.

82. На відрізок довжиною навмання кинуто п’ять крапок. Імовірність улучення крапки на яку-небудь частину відрізка залежить тільки від довжини цієї частини і пропорційна їй. Яка імовірність того, що дві крапки виявилися від крапки на відстані, меншій а три крапки — на відстані, більшій ?

83. Ведеться стрілянина по мішені, що має зони I, II, III, IV. Імовірність влучення у відповідні зони: Яка імовірність при десятьох пострілах одержати в зону I два влучення, у зону ІІ — три влучення, у зону III — чотири влучення й у зону ІV — одне влучення?

84. У кімнаті п’ять зовсім однакових урн. З них у двох урнах по 2 білі і 2 чорні кулі, у двох урнах по 1 білій і 2 чорні кулі, а в одній урні 2 білі і 1 чорна куля.

а) Дві людини по черзі входять у кімнату, виймають кулю з однієї урни (будь-якої) і кладуть її назад. Обчислити імовірність того, що в обох вийнята куля була білого кольору.

б) Людина підходить до однієї з урн, виймає кулю, кладе її назад, перемішує кулі і знову виймає кулю. Яка імовірність того, що обидва рази була вийнята біла куля?

85. Імовірність події Знайти:

а) найімовірніше число появи події при 10 спробах;

б) імовірність

86. Монету кидають 10 разів. Знайти імовірність того, що:

а) герб випаде десять разів;

б) після дев’яти випадань герба він випаде й у десятий раз.

87. В урні 3 білі і 7 чорних куль. Одну кулю вийняли і відклали убік. Яка імовірність того, що вийнята після цієї куля виявиться білою, якщо:

а) у перший раз була вийнята біла куля;

б) у перший раз була вийнята чорна куля;

в) невідомо, якого кольору куля була вийнята в перший раз?

88. У механізм, що збирається, входять дві однакові шестірні. Технічні умови порушуються, якщо обидві вони виявляються з відхиленнями по товщині зуба в позитивну сторону від середнього розміру (заїдання). У збирача є 10 шестірень, з яких 3 із плюсовим відхиленням, а 7 з мінусовим. Визначити імовірність порушення технічних умов при випадковому виборі двох шестірень.

89. Серед екзаменаційних білетів, що залишилися для трьох студентів один «гарний» і два «поганих». Чи залежить імовірність розкриття «гарного» квитка від черговості розкриття їх студентами?

90. Двоє по черзі виймають кулю з урни і повертають її назад. Вигравшим вважається той, хто перший вийме білу кулю. Знайти імовірність виграшу для кожного з них, якщо виймання куль може бути продовжене як завгодно довго і якщо в урні:

а) одна біла і одна чорна куля;

б) білих і чорних куль.

91. З урни, що містить 3 білі і 4 чорні кулі, двоє по черзі навмання виймають по одній кулі. Кулі назад не повертають. Яка імовірність для кожного учасника першим вийняти білу кулю?

92. По однієї і тій самій мішені роблять по одному пострілу з дистанцій у 600, 500 і 300 м. Імовірність влучення для кожної дистанції відповідно дорівнює: 0,1; 0,2; 0,4. Визначити імовірність не менш двох влучень у мішень.

93. Телефонний номер складається з 5 цифр, кожна з яких може мати 10 значень. Визначити імовірність того, що:

а) випадковий набір номера збігається з даним номером;

б) усі цифри номера випадкового набору різні.

94. Контролер перевіряє узяті випадково вироби з партії, що містить, як зазначено відправником, виробів 1-го сорту і виробів 2-го сорту. Вказівка про розподіл складу партії не піддається сумніву. Перевірка перших виробів визначила, що всі вони 2-го сорту. Яка імовірність того, що з наступних двох виробів, що перевіряються, принаймні один також виявиться 2-го сорту?

95. Одна з граней тетраедра пофарбована в три кольори, кожна з інших тільки в один з цих кольорів, причому однаково пофарбованих граней немає. Чи незалежні події і що складаються в тому, що обрана навмання грань має у своєму фарбуванні відповідно той чи інший колір?

96. В одній урні 2 білі і 3 чорні кулі, в інші 1 куля біла і 1 чорна. З першої урни в другу і назад перекладають одну кулю, взята навмання. Визначити імовірність того, що:

а) склад куль у відношенні кольору не зміниться;

б) у першій урні збільшиться число білих куль;

в) у другій урні збільшиться число білих куль.

Розв’язати цю задачу в загальному випадку, якщо в першій урні білих і чорних куль, а в другій білих і чорних куль.

97. Маємо п’ять урн: дві урни по 2 білі і 1 чорній кулі, одна урна з 10 чорними кулями і дві урни по 3 білих і 4 чорні кулі. Випадково вибирають урну і з неї виймають кулю. Знайти імовірність того, що вийнята куля виявиться білою.

98. З урни, що містить 3 білі і 2 чорні кулі, переклали 2 кулі в урну, що містить 4 білі і 4 чорні кулі. Обчислити імовірність вийняти білу кулю з другої урни.

99. Імовірність влучити в ціль дорівнює 0,01. Скільки потрібно зробити пострілів, щоб мати хоча б одне влучення:

а) з імовірністю не менше 0,5;

б) з імовірністю не менше 0,9?

100. Імовірність того, що супротивник, що замаскувався, знаходиться на обстрілюваній ділянці дорівнює 0,3; імовірність улучення дорівнює 0,2. Для поразки супротивника досить одного влучення. Яка імовірність поразки:

а) при 2 пострілах;

б) при 10 пострілах?

101. Студент, розшукуючи спеціальну книгу, вирішив обійти три бібліотеки. Однаково імовірно, є чи ні у фонді чергової бібліотеки потрібна книга, а також видана вона чи ні. Що імовірніше: дістане студент книгу чи ні?

102. Мисливці одночасно побачили лисицю й одночасно вистрілили в неї. Нехай кожний з мисливців на такій відстані звичайно в одному випадку з трьох попадає в лисицю й убиває її. Яка імовірність того, що лисиця буде убита:

а) якщо мисливців 2;

б) якщо мисливців?

103. В урні дві кулі: одна біла і одна чорна. Одну кулю виймають необмежене число разів і повертають назад. Знайти імовірність вийняти білу кулю, якщо після кожної невдалої спроби в урну додають ще одну чорну кулю.

104. При страхуванні життя користаються для розрахунку таблицями смертності, що дають розподіл по роках смертних випадків для визначеної групи осіб одного віку. Наприклад, скорочена таблиця вимирання групи в 100 тисяч чоловік така:

Вік	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
Число що доживають		96061	89685	82277	72795	58942	37977	13987	1273	4

Припускаючи, що в кожнім десятилітті число смертей по роках однакове, відповісти на наступні питання:

а) яка імовірність того, що студент доживе до 60 років, якщо йому 20 років;

б) яка імовірність того, що чоловік і дружина будуть живі через 25 років, якщо чоловіку 30 років, а дружині 25 років?

105. У деяких сільських місцевостях Росії існувало колись гадання. Дівчина затискає в руці шість травинок так, щоб кінці травинок стирчали зверху і знизу. Подруга зв’язує ці травинки попарно між собою зверху і знизу окремо. Якщо при цьому всі шість травинок виявляються зв’язаними в одне кільце, то це має означати, що дівчина в поточному році вийде заміж. Яка імовірність того, що травинки при зав’язуванні випадково утворять кільце?

106. Знайти імовірність того, що верстат, що працює в момент не зупиниться до моменту якщо відомо, що:

а) ця імовірність залежить лише від величини проміжку часу

б) імовірність того, що верстат зупиниться за проміжок часу пропорційна з точністю до нескінченно малих вищих порядків відносно

в) події, що полягають у зупинці верстата в непересічні проміжки часу, незалежні між собою.

107. У системі 5 паралельно з’єднаних елементів. Відмова системи може відбутися тоді і тільки тоді, коли відбудеться відмова всіх її елементів. Визначити надійність всієї системи, якщо всі елементи незалежні й імовірності їхньої безвідмовної роботи

108. Два однаково влучних стрільці по черзі стріляють по мішенях: Кожний має право зробити не більше двох пострілів. Перший, що влучив у мішень, одержує приз. Знайти:

а) імовірність одержання стрільцями призу;

б) відношення ймовірностей стрільців на одержання призу, якщо імовірність улучення ;

в) це відношення, якщо число пострілів необмежене.

109. Мається п’ять урн наступного складу: дві урни по 2 білі і 3 чорні кулі, дві урни по 1 білій і 4 чорних кулі й одна урна з 4 білими і 1 чорною кулею. З однієї випадково обраної урни взяли кулю. Вона виявилася білою. Чому дорівнює імовірність того, що кулю вийняли з урни з 4 білими і 1 чорною кулею?

110. На заводі, що виготовляє болти, машини А, В и С роблять відповідно 25, 35 і 40 % усіх виробів. У їхній продукції є барк, що складає 5,4 і 2 %. Випадково обраний із продукції болт виявився дефектним. Яка імовірність того, що цей болт був виготовлений на машині А, В чи С?

111. У батареї з 10 гармат одна непристріляна. Імовірність влучення з пристріляної гармати 0,73, а з непристріляної 0,23. Зробили один постріл, що не влучив у ціль. Знайти імовірність того, що постріл зроблений з непристріляної гармати.

112. Електрична схема складається з 3 кабелів. Кожен кабель складається з трьох дротів: зеленого, жовтого і червоного. Імовірність справності кожного дроту дорівнює відмови Визначити надійність усієї схеми за умови, що схема діє, якщо справні принаймні пари зелених, пари жовтих і пари червоних дротів.

113. Електрична схема складається з трьох рівнобіжних ліній. У кожній лінії при відмовленні кабелю (подія ) захисний пристрій відключає зіпсовану лінію (подія З). Відомі імовірності безвідмовної роботи кабелю і захисного пристрою . Визначити надійність усієї схеми, якщо відмова одного кабелю не виводить з роботи всю схему.

114. Електрична схема складається з трьох паралельних ліній. У кожній лінії 3 блоки: А, В, С. Якщо відмовляє блок А, то захисний пристрій З відключає зіпсовану лінію. Якщо відмовляє блок В чи С, то лінія відключається автоматично. Схема працює, якщо справні принаймні дві лінії, а несправна лінія відключена. Відомі імовірності справності кожного блоку: і захисного пристрою Визначити надійність усієї схеми.

115. Електрична схема складається з двох ліній. У кожній лінії мається генератор і блок. При відмові генератора чи блоку відповідна лінія відключається. Схема працює, якщо працює хоча б одна лінія. Визначити надійність схеми, якщо відомі імовірності справності генератора і блоку

116. При прийманні партії з 100 виробів половину їх оглянули. Серед них виявився один бракований. Знайти імовірність того, що партія містить не більш 5 % браку, якщо всі припущення про розмір браку вважати однаково можливими.

117. Важкий крейсер зустрів три легких крейсера. Командиру важкого крейсера відомо, що палуба одного з легких крейсерів на 1/3 завалена мінами. При відкритті вогню по одному з крейсерів спостерігалося влучення в палубу, що не викликало вибуху. Яка імовірність того, що обстрілюваний крейсер був з мінами, якщо припустити, що влучення в район мін обов’язково викликає їхній вибух?

118. Дві гармати відкрили стрілянину по танку, що наближається. Стрілянину ведуть по черзі з темпом один постріл у 10 сек. Імовірність влучення в танк у першої гармати 0,4, у другої 0,5. За кожні 10 сек. імовірність влучення збільшується на 0,05. Визначити імовірність того, що:

а) першою відкриє вогонь перша гармата, якщо при третьому пострілі танк одержав першу пробоїну;

б) першою відкрила вогонь перша гармата, якщо після трьох пострілів виявлено, що танк одержав одну пробоїну, але невідомо при якому пострілі;

в) пробоїна отримана від першого знаряддя за умови б.

119. Тенісисти А, В, С и D — учасники кругового змагання (кожний грає з кожним). Імовірність того, що А виграє в В, С і D відповідно дорівнює 0,3; 0,5 і 0,7. Що імовірніше, виграє А останню гру чи програє, якщо:

а) у двох перших іграх (невідомо при грі з ким) А програє;

б) у двох перших іграх А одну партію виграв і одну програв?

120. Урна містить білих і чорних куль, причому всі припущення про склад куль (усі білі; білих і чорних; усі чорні) рівноімовірні. Випадково вийнята з урни куля виявилася білою. Визначити:

а) яка склад куль в урні найбільш ймовірний;

б) імовірність усіх припущень про склад куль в урні.

121. Маємо два типи урн: 2 урни першого типу, у кожній 2 білі і 1 чорна куля, і 3 урни другого типу, у кожній 3 білі і 1 чорна куля. З однієї випадково обраної урни вийняли одну кулю, що виявилася білою. Знайти імовірність того, що вона була вийнята з урни 1-го типу.

122. Стрілянину ведуть по цілі, що розташована на ділянці причому ділянка розбита на 3 частини: Де знаходиться мета — невідомо. Але є припущення, що Імовірність враження цілі за умови, що справедлива та чи інша гіпотеза, відповідно дорівнює: де — враження цілі. Зробили постріл і відомо, що ціль уражена. Оцінити імовірність гіпотез після цього пострілу.

123. Стрілянину ведуть по ділянці Ділянка розбита на 2 частини: і Імовірність того, що ціль знаходиться в одній з частин відповідно дорівнює: Якщо ціль знаходиться на ділянці імовірність влучення в неї Якщо ціль знаходиться на ділянці імовірність влучення в неї Зробили 3 постріли, з яких два вразили ціль. Визначити імовірність того, що ціль знаходилася на ділянці

124. Знайти імовірність того, що в родині із шістьма дітьми виявиться три хлопчики і три дівчинки, вважаючи однаково ймовірним народження хлопчика і дівчинки.

125. Вироби містять 5 % браку. Яка імовірність того, що серед узятих на іспит 5 виробів:

а) не виявиться жодного бракованого;

б) буде 40% браку?

126. Тривалі спостереження над якістю продукції показали, що частка браку дорівнює р-й частині продукції, що випускається заводом. Обчислити імовірність того, що в партії, що містить виробів, кількість браку дорівнює

127. Коефіцієнт використання деякого верстатного устаткування складає 0,8. На виробничій ділянці є п’ять таких верстатів. Знайти імовірність того, що в деякий довільний момент часу в середині робочої зміни при нормальному ході виробництва тільки два з верстатів будуть працювати, і найімовірніше число працюючих верстатів і його імовірність. Побудувати графік розподілу ймовірностей числа працюючих верстатів.

128. В урні три кулі: одна біла і дві чорні. Випадково виймають п’ять разів одну кулю і щоразу знову повертають. Знайти:

а) імовірність того, що білу кулю вийняли два рази;

б) найімовірніше число появ білої кулі і його імовірність;

в) імовірність того, що число появ білої кулі менше 3.

Побудувати багатокутник розподілу числа появ білої кулі.

129. Хтось щоразу, коли йому потрібно було запалити сірник, діставав його, узявши випадково одну з двох повних коробок. Через якийсь час він виявив, що одна з них порожня (задача Банаха). Яка імовірність того, що в другій коробці в цей момент знаходилося ще сірників, якщо число сірників у непочатій коробці дорівнює

130. Батарея зробила 14 пострілів по військовому об’єкту, імовірність влучення в який дорівнює 0,2. Знайти:

а) найімовірніше число влучень і його імовірність;

б) імовірність руйнування об’єкта, якщо для цього потрібно не менш 4 улучень.

131. Що імовірніше виграти в рівносильного супротивника:

а) 3 партії з 4 чи 6 з 8;

б) не менш 3 партій з 4 чи не менш 5 з 8;

в) не більш з партій чи більше з того ж числа партій;

г) не більш з партій чи більше з того ж числа партій?

132. На телефонній станції протягом певного часу дня виникає в середньому викликів. Знайти імовірність того, що протягом проміжку часу (деяка частка години) виникне:

а) рівно викликів;

б) хоча б один виклик.

133. Двоє кидають монету правильної форми разів кожний. Знайти імовірність того, що герб у кожного з них випаде однакове число разів.

134. В одному з навчальних закладів навчаються 730 студентів. Імовірність того, що день народження випадково узятого за списком студента приходиться на визначений день року, дорівнює для кожного дня року. Знайти: