Змішані задачі (стр. 3 )

а) найбільш ймовірне число студентів, що народилися 1 січня;

б) імовірність того, що знайдуться три студенти, що мають той самий день народження.

135. Яка імовірність того, що в товаристві з 500 чоловік А людей народилися в день нового року?

136. Монету кинули разів. Знайти:

а) імовірність того, що число випадань герба дорівнює числу випадань цифри;

б) чому дорівнює

137. В урні знаходяться кулі: 3 білі, 2 чорні і 1 червона. Випадково вийняли шість разів по одній кулі і щораз повернули їх назад. Знайти імовірність того, що біла куля була вийнята два рази, чорна — один раз і червона — три рази.

138. Ведуть стрілянину по мішені, що має зони і Імовірність влучення в зони відповідно дорівнює: Яка імовірність при десяти пострілах одержати в зону два влучення, у зону три влучення, у зону чотири влучення й у зону одне влучення?

139. За період часу випадково і незалежно одна від одної з’являється точок. Середнє число точок, що з’являється за одиницю часу, Знайти:

а) імовірність появи рівно точок за проміжок часу

б) межа цієї імовірності при

140. Контролер з партії в 1000 штук виробів робить безповоротну вибірку кількістю 50 штук. Знайти імовірність того, що у вибірці не виявиться дефектних виробів, якщо у всій партії 4 дефектні вироби.

141. Імовірність випуску свердла підвищеної крихкості (брак) дорівнює 0,015. Свердла укладають у коробки по 100 штук. Знайти імовірність того, що:

а) у коробці не виявиться бракованих свердлів;

б) число бракованих свердлів буде не більш трьох.

142. Робітниця обслуговує 800 веретен. Імовірність обриву пряжі на кожнім з веретен протягом деякого проміжку часу I дорівнює 0,005. Знайти:

а) найбільш ймовірне число обривів;

б) імовірність того, що протягом проміжку часу відбудеться не більш 10 обривів.

143. Автомат обробляє 2 деталі в хвилину. За зміну в його продукції виявляється 38 деталей, що виходять по своїм розмірам за контрольні границі. Визначити імовірність влучення за межі контрольних границь не менш 2 деталей з 5, узятих на пробу. Передбачається можливим використовувати закон Пуассона.

144. Щорічно в Москві народжується в середньому 122500 дітей. Імовірність народження хлопчика дорівнює 0,51. Знайти імовірність того, що число хлопчиків, що народяться в Москві в поточному році, перевищить число дівчаток не менш чим на 1500.

145. У страховій спілці застраховано 1000 осіб одного віку й однієї соціальної групи. Імовірність смерті протягом року для кожної особи дорівнює 0,006. Кожен застрахований вносить 1 січня 12 руб. страхових і у випадку смерті його родичі одержують від спілки 1000 руб. Чому дорівнює імовірність того, що суспільство потерпить збиток?

146. У Москві народжується щодня в середньому 335 дітей, тобто в рік близько 122500 дітей. Імовірність народження хлопчика дорівнює 0,5. Знайти імовірність того, що:

а) число хлопчиків, що народяться в поточному році, відхилиться від свого найімовірнішого значення не більше ніж на 1000.

б) те ж, не більше ніж на 200;

в) у поточному році хлопчиків і дівчаток народиться порівну.

147. З урни, що містить рівну кількість білих і чорних куль, було вийнято 5011 білих і 4989 чорні кулі (кулі повертали назад). Яка імовірність того, що:

а) такий результат експерименту можливий;

б) при повторенні експерименту не буде отримано більше за абсолютною величиною відхилення числа вийнятих білих куль від їх найімовірнішого числа?

148. Довжина голки в досліді Бюффона дорівнює відстані між рівнобіжними прямими. Скільки разів голку необхідно кинути, щоб імовірність того, що буде обчислено з погрішністю, що не перевищує 0,001, дорівнювала: а) 0,5; б) 0,9999?

149. Для експериментальної перевірки закону великих чисел були зроблені наступні досліди:

1) монета була кинута 4040 разів, герб випав 2048 разів (дослід Бюффона);

2) монета була кинута 12 000 разів, відносна частота випадання герба виявилася рівною 0,5016 (досвід Пирсона);

3) монета була кинута 24 000 разів, відносна частота випадання герба дорівнювала 0,5005 (досвід Пирсона).

Для кожного з цих дослідів знайти:

а) яка імовірність того, що при повторенні досліду відхилення (за абсолютною величиною) відносної частоти від імовірності не перевершить отриманого результату;

б) яка практична верхня границя можливого відхилення відносної частоти від імовірності в кожнім з дослідів, якщо вважати, що подія, імовірність появи якої дорівнює 0,9999, практично достовірна.

150. Імовірність влучити в ціль при одному пострілі Зроблено 5 000 пострілів. Знайти імовірність влучення в ціль двома і більше пострілами.

151. Скласти закон розподілення суми балів, що випали при киданні двох гральних костей.

152. Ведуть стрільбу по мішені з зонами І, ІІ і ІІІ (відлічуючи від центру). Влучення в зону І дає стрілку 3 бали, в зону ІІ — 2 бали, в зону ІІІ — 1 бал. Для стрільця імовірність влучення в зону І в зону ІІ в зону ІІІ Скласти закон розподілення суми балів, що вибивають обома стрільцями разом.

153. Точку кинули випадково в коло з радіусом Імовірність влучення точки в будь-яку область, розташовану всередині кола, що пропорційна площі цієї області. Знайти функцію розподілення положення точки в колі.

154. На окружності з радіусом 1 і з центром, розташованим в початку координат, беруть випадково точку. Імовірність взяти точки на будь-якій дузі окружності залежить лише від довжини цієї дуги і пропорційна їй. Знайти:

а) функцію розподілення;

б) щільність розподілення ймовірностей положення проекції точки на діаметр (вісь абсцис).

155. Деталі обробляються на двошпідельному автоматі. Імовірність деталі, обробленої на 1-м шпінделі, виявитися бракованою на 2-му шпінделі Через кожну годину беруть пробу з 4 деталей: 2 деталей, оброблених на 1-му шпінделі, і 2 деталей, оброблених на 2-му шпінделі.

Позначимо через число бракованих деталей з 1-го шпінделя, а через число бракованих деталей з 2-го шпінделя (вважається, що величини і незалежні). Знайти розподілення числа бракованих деталей в пробі з 4 штук. Чи буде це розподілення біноміальним?

156. Монету підкидають разів. Знайти функцію розподілення числа випадіння герба.

157. Снайпер стріляє по замаскованому супротивнику до першого влучення. Імовірність промаху при кожному пострілі дорівнює Знайти функцію розподілення числа промахів.

158. По мішені, імовірність влучення в яку дорівнює ведуть стрільбу у незмінних умовах до отримання влучень. Знайти функцію розподілення числа потрібних влучень.

159. Чи можуть наведені нижче функції бути функціями розподілення? Чому дорівнює параметр у випадку, якщо функції є функціями розподілення?

а) де

б) (закон нормального розподілення);

в) де

г) (закон Коші);

д)

е)

160. Щільність розподілення випадкової величини

Знайти:

а) сталу

б) імовірність того, що в двох незалежних спостереженнях набуде значення, що менше 1.

161. Випадкова величина нормально розподілена, якщо її функція розподілення

де Знайти

а) щільність цього розподілення

б) сталу

Побудувати графік

162. Функція

Визначити:

а) при якому значенні ця функція буде щільністю ймовірності випадкової величини

б) імовірність

в) імовірність того, що при 3 незалежних дослідах випадкова величина жодного разу не потрапить в інтервал

163. Функція

Визначити:

а) чи є ця функція щільністю імовірності;

б) імовірність того, що випадкова величина, що підпорядкована даному закону, при 4 незалежних дослідах рівно в два рази виявиться в інтервалі

164. Функція

Обчислити:

а) при яких значеннях ця функція може бути щільністю імовірностей;

б) імовірність якщо підпорядкована закону

в) інтегральну функцію

165. Дискретна випадкова величина з рівною ймовірністю може набуде будь-якого зі значень натурального ряду: від 0 до п. Визначити її інтегральну функцію розподілення ймовірностей.

166. Обчислити імовірність того, що точка площини, координати якої є незалежними, нормально розподіленими випадковими величинами з параметрами і знаходиться у колі, обмеженому окружністю радіусом з центром в точці

167. Показати, що для величини розподіленою по нормальному закону з параметрами і справедлива нерівність

168. Монету кидають до тих пір, доки не випаде герб. Знайти функцію розподілення числа кидків.

169. Дві незалежні випадкові величини рівномірно розподілені в прямокутнику з координатами Скласти двовимірну щільність розподілення даної системи.

170. За щільністю розподілення двомірної випадкової величини знайти щільність розподілення випадкової двомірної величини де

171. Двомірна випадкова величина розподілена по нормальному закону

Знайти щільність розподілення двомірної випадкової величини де

172. Щільність імовірності випадкової величини Знайти щільність імовірності випадкової величини якщо:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

173. Випадкова величина розподілена рівномірно в інтервалі величина — в інтервалі Знайти щільність розподілення величини

174. Розподілення помилок при вимірянні радіуса покоряється закону Гаусса з параметрами

Знайти закон розподілення помилок при обчисленні:

а) довжини дуги окружності

б) площі кола

175. Довести властивості стійкості закону Гаусса: сума незалежних випадкових величин, розподілених по закону Гаусса, також розподілена по закону Гаусса.

176. Випадкові величини і незалежні і розподілені по закону Коші:

Довести, що їх сума також розподілена по закону Коші.

177. Випадкові величини і незалежні і розподілені по закону гіперболічного секанса:

Знайти закон розподілення їх суми.

178. Стрижень довжиною розламують у випадково обраній точці. Імовірність того, що точка розлому потрапить в яку-небудь частину стрижня, пропорційна довжині цієї частини. Знайти функцію розподілення площі прямокутника, сторони якого рівні отриманих частинам стрижня.

179. Щільність розподілення двох незалежних випадкових величин Знайти щільність розподілення

а) різниці

б) добутку

в) частного

180. Сторонами прямокутника є випадково взяті відрізки, довжина кожного з яких не перевищує В інтервалі ці сторони мають рівномірне розподілення. Знайти функцію розподілення площі прямокутника.

181. Щільність розподілення пари неперервних випадкових величин і

Знайти щільність розподілення:

а) величини

б) величини

в) величини

г) пари величин

182. Випадкова величина підпорядкована закону Коші з щільністю розподілення Величина пов’язана з залежністю Знайти щільність розподілення величини

183. Скласти композицію двох законів рівномірної щільності, заданих на одному і тому самому відрізку при при

184. Система величин підпорядкована закону розподілення з щільністю Величина Знайти щільність імовірності

185. Нехай і — незалежні випадкові величини, що мають наступні щільності розподілення імовірностей:

Показати, що їх добуток має гаусовську щільність розподілення імовірностей.

186. Імовірність появи і непояви події відповідно дорівнює і Знайти закон розподілення, математичне очікування і дисперсію числа появи події в одному досліді.

187. Монету кидають до тихнув пір, поки не випаде герб. Знайти середнє значення числа кидків.

188. Знайти математичне очікування і дисперсію числа випробувань ключів для відкривання дверей, якщо до дверей підходить тільки один ключ.

189. Проводять незалежних дослідів над подією, для якої рівноможливе настання і ненастання. Знайти: