Змішані задачі (стр. 6 )

231. У генеральній сукупності з елементів міститься, крім інших, червоних і чорних предметів Випадково обирають предметів. Нехай і — числа обраних червоних і чорних предметів. Знайти сумісний розподіл, математичне очікування, дисперсію, коваріацію і коефіцієнт кореляції.

232. При випробуванні приладу імовірність вдалого результату Зроблено 4 випробування. Обчислити математичне очікування числа вдалих результатів, середнє квадратичне відхилення і математичне очікування модуля відхилення числа вдалих результатів.

233. Імовірність деякої події в кожнім з 4 дослідів дорівнює Якщо подія відбудеться всі 4 рази, випадкова величина якщо 3 рази, якщо 2 рази, якщо 1 раз, якщо подія не відбудеться, Знайти середнє значення

234. Нехай і — дві комплексні випадкові величини. Показати, що:

а) кореляційний момент

б) дисперсія

Якого виду ці формули набувають, якщо і — дійсні випадкові величини?

в) математичне очікування добутку

Коли ?

г) дисперсія добутку

235. Обчислити математичне очікування випадкових величин:

а)

б)

в)

де — однаково розподілені незалежні випадкові величини.

236. Знайти коефіцієнт кореляції двох комплексних випадкових величин і де і — постійні.

237. Довести нерівність Буняківського

де і — комплексні випадкові величини. Показати, що коефіцієнт кореляції

238. Обчислити коефіцієнт асиметрії і коефіцієнт експроцесса для випадкових величин, підлеглих:

а) рівномірному закону з нульовим середнім значенням;

б) закону, заданому рівнянням

якщо , і

якщо

239. Обчислити коефіцієнти асиметрії й ексцесу для випадкової величини, підлеглої розподілу Релея:

де

240. Випадкові величини і зв’язані функціональною залежністю причому розподіл імовірностей на відрізку рівномірно. Обчислити коефіцієнт кореляції між і і показати, що прагне до нуля, коли необмежено зростає.

241. Нехай де — незалежні випадкові величини, математичне очікування яких дорівнює нулю, і нехай Визначити коефіцієнт кореляції і коефіцієнт регресії

242. Випадкова величина де — випадкова величина, і — невипадкові величини. Відомі і Знайти математичне очікування і дисперсію випадкової величини

243. Нехай — імовірність деякої події, а — імовірність протилежної події. Скільки потрібно провести дослідів, щоб з імовірністю, більше ніж 0,9, можна було стверджувати, що статистична імовірність буде відрізнятися від менше ніж на 0,05?

244. Зроблено 14 дослідів над подією, імовірність якої Обчислити імовірність того, що відхилення частоти (статистичної імовірності) від імовірності події не перевершить 0,3.

245. Імовірність влучити в ціль Скільки потрібно зробити пострілів, щоб з імовірністю, більшою ніж 0,9, можна було стверджувати, що різниця між частотою влучення й імовірністю була менше ніж 0,01?

246. На виробництві за певних умов з загальної кількості виробів виходить 75% І-го сорту, інше ІІ-го сорту. Обчислити імовірність того, що з 200000 виробів властивості І-го сорту матимуть близько виробів.

247. Довести наступне узагальнення нерівності Чебишева: для будь-яких позитивних чисел і імовірність того, що випадкова величина одержить значення не менше ніж не перевершує (вважається, що існує), якщо:

а) — дискретна випадкова величина, що приймає ненегативні значення;

б) — безупинна випадкова величина, що приймає ненегативні значення.

248. Незалежні випадкові величини можуть з однаковою імовірністю набувати кожна лише по двох значення, відповідно рівні: або або ююю або причому де постійне Чи застосуємо до розглядаємої послідовності випадкових величин закон великих чисел?

249. У послідовності незалежних випадкових величин кожна випадкова величина може набувати значення 0 і з імовірністю, рівної відповідно:

а)

б)

Чи застосуємо до цієї послідовності випадкових величин закон великих чисел?

250. Довести, що

якщо існує де — ненегативна функція випадкової величини що приймає при значення, не менше

251. Довести, що якщо випадкова величина така, що існує ( — постійне), то

252. У послідовності незалежних випадкових величин кожна випадкова величина має кінцеве середнє значення і дисперсію. Довести, що до цієї послідовності застосуємо закон великих чисел, якщо при

(теорема Хінчина).

253. У послідовності незалежних випадкових величин кожна випадкова величина може приймати тільки два значення: і якщо точний квадрат, і і в всіх інших випадках. Обидва значення рівноможливі. Чи застосуємо до цієї послідовності випадкових величин закон великих чисел?

254. Довести, що до послідовності незалежних випадкових величин для яких

закон великих чисел застосуємо тільки тоді, коли

255. Знайти імовірність того, що випадкова величина, підлегла нормальному закону розподілу з центром розсіювання і середнім квадратичним відхиленням заключена у відрізку 5—10.

256. Обчислити імовірність того, що випадкова величина, підлегла нормальному закону розподілу, при 4 іспитах хоча б один раз виявиться у відрізку 0,5—1, якщо центр розсіювання а міра точності

257. Розсіювання влучень при стрільбі по плоскій мішені відбувається за законом Гаусса з дисперсією — по горизонталі (по осі х) і — по вертикалі (по осі у), причому розсіювання по горизонталі і вертикалі незалежне. Знайти імовірність влучення в площу, обмежену еліпсом, рівняння якого

(центр розсіювання збігається з центром еліпса).

258. Бомбардувальник, що пролетів уздовж моста довжиною 50 м і шириною 10 м, скинув бомби. Розсіювання влучень відбувається за законом Гаусса з дисперсією, що дорівнює 100 м за довжиною і 25 м за шириною. Центр розсіювання влучення (середня точка влучення) є центром моста. Вважаючи, що розсіювання бомб по довжині і ширині незалежне, знайти:

а) імовірність влучення в міст при скиданні однієї бомби;

б) імовірність руйнування моста, якщо скинуто три бомби, причому для руйнування досить одного влучення.

259. Імовірність настання деякої події у кожнім з 700 іспитів. Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити імовірність того, що число подій, що відбулися, заключене в границях від 250 до 310 включно.

260. Кожна з 50 випадкових величин має закон розподілу

xі	0	1	2
рі	0,3	0,5	0,2

Оцінити границі, у яких з імовірністю 0,9 буде заключена сума

261. По смузі укріплень супротивника скидають 100 серій бомб. При скиданні однієї серії математичне очікування числа влучень дорівнює 2, а середнє квадратичне відхилення числа влучень дорівнює 1,5. Знайти приблизно імовірність того, що при скиданні 100 серій у смугу укріплень влучить від 180 до 220 бомб.

262. Нехай — множина незалежних випадкових величин, що мають розподіл Пуассона, обумовлений рівністю де Довести, що:

а) сума має розподіл Пуассона де — постійне;

б) межа характеристичної функції випадкової величини при

підкоряється нормальному закону (що і потрібно було очікувати за теоремою Ляпунова).

263. Знайти максимальний член розподілу Пуассона

де — постійна величина.

264. Випадкова величина має закон розподілу

Знайти реалізації випадкової функції при і побудувати графіки.

265. Побудувати графіки всіляких реалізацій випадкової функції де — число балів при киданні гральної кістки, і знайти при і при

266. Нехай і — випадкові величини з двовимірною щільністю імовірності Випадкова функція Написати одномірний і двовимірний закони розподілу цієї випадкової функції.