Змішані задачі (стр. 1 )

ЗМІШАНІ ЗАДАЧІ

272. Дані множина

і його підмножини

Знайти множини

273. Дані дві множини і

а)

б) 

в)

Знайти зовнішніcnm добутки

274. Показати еквівалентність множин і

а)

б)

275. Відомі події і причому Знайти і

276. Відомі події і . Знайти і якщо:

а) і

б) і

в) і

277. Які співвідношення між подіями і якщо:

а)

б) ?

278. Спростити вираз:

а)

б)

279. Довести, що для будь-яких подій і справедлива рівність

280. Показати, що

а)

б)

21. Показати, що подія

а) достовірна;

б) неможлива.

22. Чи рівносильні події і якщо:

а)

б)

в)

23. Монету підкинули два рази. Яка імовірність того, що обидва рази відкрився герб?

24. Кинули три монети. Яка імовірність того, що на двох відкриється герб, а одній цифра?

25. Кинули дві гральні кості. Яка імовірність того, що

а) на обох костях буде однакова кількість балів;

б) сума балів дорівнюватиме 7;

в) сума балів буде кратна 3 або 4?

Яка сума балів має найбільшу імовірність?

26. Маємо 6 виробів, з них 4 вироби першого ґатунку, а 2 вироби другого ґатунку. Випадково взяли 3 вироби. Обчислити імовірність того, що серед них буде лише один виріб другого ґатунку.

27. У ящику 5 кульок, з них 2 білі. Виймають зразу 4 кульки. Яка імовірність того, що серед вийнятих дві кульки білі?

28. Три однакових кульки з номерами 1, 2, 3 потрібно розкласти по лункам також з номерами 1, 2, 3. Яка імовірність того, що:

а) кульки з непарними номерам потраплять в лунки з непарними номерами;

б) номера шарів співпадуть з номерами лунок?

29. В барабані знаходяться 90 білетів з номерами 1, 2, 3, …, 90. Кожен бажаючий грати платить 1 франк і може записати один номер, два, три, чотири або п’ять. Після цього той, хто грає тягне з барабану 5 білетів (французька лотерея).

А) Якщо гравець записав один номер і цей номер виявився серед п’яти витягнутих, що виграш складає 15 франків.

б) Якщо гравець записав два номери і два цих номери виявилися серед п’яти витягнутих, що виграш дорівнює 270 франків.

в) Якщо гравець записав три номера і вони виявилися серед п’яти витягнутих, що виграш дорівнює 5500 франків.

г) Якщо гравець записав чотири номери і вони виявилися серед п’яти витягнутих, то виграш дорівнює 75000 франків.

д) Якщо гравець записав 5 номерів і всі їх витягнув, то виграш дорівнює 1 млн франків.

Обчислити імовірності виграшів.

30. Є дві однакові урни, що містять по шість кульок з номерами 1, 2, 3, 4, 5, 6. З кожної урни виймають випадково по одній кульці. Яка імовірність того, що витягнуті дві кульки утворюють комбінацію вигляду:

а) (однакові номери на витягнутих кульках);

б) (різні номери на витягнутих кульках)?

31. Монету підкидають 5 разів. Знайти імовірність того, що герб випаде хоча б три рази підряд.

32. Слово «ремонт» складається з літер розрізної азбуки. Картки з окремими літерами ретельно перемішують, після чого випадково витягають чотири з них і кладуть одну за одною в порядку витягання. Яка імовірність того, що при цьому отримуємо слово «море»?

33. Дитина граф з 10 літерами розрізної азбуки: А, А, А, Е, И, К, М, М, Т, Т. Яка імовірність того, що, випадково розташовуючи літери в ряд, вона отримає слово «математика»?

34. У шухляді знаходиться 90 придатних і 10 дефектних деталей. Знайти імовірність того, що серед 10 вийнятих із шухляди деталей немає дефектних.

35. Урна містила білих і чорних кульок. Одна кулька, колір якої невідомий, була загублена.

а) При дослідженні сполуки кульок, що залишилися в урні, перша випадково вийнята кулька виявилася білою. Яка імовірність того, що загублено білу кульку? Яка імовірність того, що загублено чорну кульку?

б) При дослідженні складу кульок, що залишилися в урні, були вийняті відразу кульок, з яких кульок виявилися білими, — чорними. Яка імовірність того, що загублено білу кульку? Яка імовірність того, що загублено чорну кульку?

36. За круглим столом сидять 5 чоловіків і 5 жінок. Яка імовірність того, що дві особи однієї статі не сидять поруч, якщо місця займаються випадково?

37. Товариство з осіб сідає за круглий стіл у випадковому порядку. З якою імовірністю два визначених обличчя виявляться поруч?

38. З партії деталей чисельністю 100 штук, у якій 30 деталей з відхиленням від номінального розміру в позитивну сторону, вибирають 3 деталі. Деталі назад не повертають. Яка імовірність того, що серед обраних деталей одна деталь із плюсовим відхиленням?

39. Контролер перевіряє з партії, що містить виробів, узяті випадково виробів. Яка імовірність того, що серед перевірених виробів виявиться рівно бракованих, якщо на всю партію їх було штук?

40. У пачці 36 екзаменаційних білетів з номерами 1, 2, 3, ..., ..., 36. Викладач випадково бере 3 квитки. Яка імовірність того, що вони з групи перших чотирьох?

41. Ліфт відправляється з сімома пасажирами і зупиняється на десятьох поверхах. Чому дорівнює імовірність того, що два пасажири не вийдуть на тому самому поверсі? (Допускається, що всі можливі способи розподілу пасажирів по потрібним їм поверхам мають однакову імовірність.)

42. Обчислити імовірність того, що всі днів народження для групи з п осіб різні.

43. Групу з хлопчиків і дівчаток поділяють на дві рівні частини. Використовуючи формулу Стирлінга, знайти імовірність того, що в кожній частині кількість хлопчиків і дівчаток однакова.

44. У три вагони трамвая входять дев’ять пасажирів. Кожен пасажир вибирає вагон випадково. Яка імовірність того, що:

а) у перший вагон сядуть три людини;

б) у кожен вагон сяде по три людини?

45. Що імовірніше, витягти з урни з кульками в один прийом парну чи непарну кількість кульок, якщо можливість захопити будь-яку групу кульок рівноможлива?

46. Дано однакових шухлядок, у які кидають випадково дробинок, так що імовірність кожної дробинки потрапити в кожну шухлядку однакова (незалежно від того, скільки дробинок уже потрапило в дану шухлядку). Яка імовірність того, що в дану шухлядку потрапить дробинок?

47. Біля театральної каси стоять у черзі людини; людей мають грошові знаки тільки п’ятигривневої вартості, а інші — тільки десятигривневої вартості. На початку продажу в касі грошей немає, кожен покупець бере тільки по одному квитку вартістю в 5 гривень. Чому дорівнює імовірність того, що жоден покупець не буде чекати решту?

48.  людей, у тому числі і розташовуються в ряд у випадковому порядку. Знайти імовірність того, що між і будуть стояти рівно людей.

49. Знайти імовірність того, що серед трьох обраних навмання цифр зустрінуться 2, 1, 0 повторень.

50. У прикомірку знаходиться пар черевиків. З них навмання вибирають черевиків Яка імовірність того, що серед обраних черевиків відсутні парні?

51. Яка імовірність того, що , де — обране випадково ціле позитивне число, буде починатися з цифри 1?

52. Довести, що імовірність того, що два взятих випадково цілі числа будуть взаємно простими, дорівнює де (задача Чебишева).

53. Подія, що складається з миттєвого сигналу, може відбутися з однаковою імовірністю в будь-які рівні проміжки часу між і Яка імовірність того, що подія відбудеться в інтервалі якщо ?

54. Розмітник наносить точку в межах кола діаметром 1 мм, причому всі положення точки в межах кола виявляються приблизно рівноімовірними. Знайти імовірність того, що крапка виявиться в межах операційного допуску ±0,2 мм по горизонталі і ±0,4 мм по вертикалі.

55.На площину, на якій на відстані 2а одна від одної накреслені паралельні прямі, випадково кинута монета радіусом Яка імовірність того, що монета не перетне жодної з прямих?

56. На паркетну підлогу випадково кидають монету діаметром Паркет має форму квадратів зі стороною Яка імовірність того, що монета не перетне жодної зі сторін квадратів паркету?

57. Яка імовірність того, що хорда, обрана випадково в колі, виявиться більше сторони правильного уписаного трикутника, якщо:

а) обмежитися лише розглядом хорд, паралельних заданому напрямку, і розуміти «випадково» у тому сенсі, що імовірність влучення крапки перетинання хорди з перпендикулярним до неї діаметром усередину деякого відрізка цього діаметра пропорційна довжині відрізка;

б) обмежитися лише розглядом хорд, що проходять через дану точку окружності, і розуміти «випадково» у тому сенсі, що імовірність влучення хорди в кут з вершиною пропорційна величині кута;

в) розглядати всілякі хорди і розуміти «випадково» в тому сенсі, що імовірність улучення середини хорди всередину якої-небудь частини кола пропорційна площі цієї частини?

58. Припускаючи, що значення рівноімовірні і єдино можливі, визначити імовірність того, що корені рівняння

а) дійсні;

б) позитивні (задача Буняківського).

59. На горизонтальній площині накреслені паралельні прямі, що знаходяться одна від одної на відстані На площину випадково кинута тонка голка довжиною причому Знайти імовірність того, що голка перетне одну з прямих.

60. На горизонтальній площині накреслені паралельні прямі, що відстоять одна від одної на відстані На площину випадково кинутий опуклий контур діаметром менше Знайти імовірність того, що контур перетне одну з рівнобіжних прямих. Периметр контуру

61. Незалежні події і мають відбутися в проміжку часу від до Моменти часу появи і — випадкові величини з рівномірними законами розподілу (імовірність події відбутися в проміжок часу від до залежить лише від довжини цього проміжку і пропорційна їй). Вважаючи події співпадаючими, якщо різниця між моментами часу їхньої появи не перевищує за абсолютною величиною знайти імовірність збігу подій і

62. Стрижень довжиною ламають на три частини, вибираючи випадково місце перелому. Імовірність того, що точка перелому потрапить на яку-небудь частину стрижня, залежить тільки від довжини цієї частини і пропорційна їй. Знайти імовірність того, що з трьох частин, що вийшли, можна скласти трикутник.

63. Знайти імовірність того, що з трьох випадково узятих відрізків, довжина кожного з який не перевершує можна скласти трикутник.

64. На кульку нанесена сітка географічних координат. Кулька кинута на площину. Яка імовірність того, що вона доторкнеться до площини точкою, що знаходиться в області:

а) між 0- і 90-м градусом східної довготи;

б) між 45- і 90-м градусом північної широти?

Передбачається, що улучення в області, що мають рівні площі, рівноімовірні.

65. У шухляді знаходяться 3 білі і 5 чорних кульок. Серед білих одна кулька із зіркою. Серед чорних також одна кулька із зіркою. Випадково виймають одну кульку. Яка імовірність того, що це буде біла кулька або кулька із зіркою?

66. У шухляді лежить 100 деталей: сталевих 65, з них 5 бракованих, і залізних 35, з них 3 бракованих. Навмання вибирають одну деталь. Яка імовірність того, що ця деталь залізна або бракована?

67. У шухляді знаходиться 10 білих і 2 чорних кулі. Одну кулю виймають, а назад повертають дві кулі того ж кольору. Визначити імовірність того, що при триразовому вийманні всі три кулі будуть білі.

68. Із шухляди, у якій 3 білих і 2 чорних кулі, двоє по черзі виймають кулю. Обчислити імовірність вийняти першою білу кулю, якщо кулі назад не повертають.

69. Імовірність того, що студент здасть перший іспит, дорівнює 0,9, імовірність здачі другого іспиту дорівнює теж 0,9, а третього — 0,8. Обчислити імовірність того, що хоча б два іспити будуть здані.

70. У першій шухляді знаходяться 2 білих і 3 чорних кулі, у другій шухляді 1 біла і 1 чорна куля, а в третій шухляді 2 білі і 2 чорні кулі. Навмання переклали одну кулю з першої шухляди в другу, із другої шухляди в третю і з третьої шухляди в першу. Обчислити імовірність того, що:

а) склад куль не змінився в жодній із шухляд;

б) склад куль змінився тільки в першій шухляді.

71. Стрілець вистрілив 3 рази по мішені, що віддаляється від його, причому імовірність влучення в ціль на початку стрілянини дорівнює 0,7, а після кожного пострілу імовірність улучення зменшується на 0,1. Обчислити:

а) імовірність влучення в мішень хоча б один раз;

б) імовірність влучення в мішень один раз і два рази промахнутися;

в) імовірність промахнутися всі три рази.

72. За деяких визначених умов імовірність збити літак супротивника з зенітної установки дорівнює 0,4. Знайти імовірність знищення ворожого літака при одночасній стрілянині з трьох однакових зенітних установок.

73. Робітник обслуговує три верстати. Імовірність того, що протягом години верстат не потребуватиме уваги робітника, дорівнює для першого верстата 0,9, для другого 0,8, для третього 0,85. Знайти імовірність того, що:

а) протягом години жоден верстат не потребуватиме уваги робітника;

б) принаймні один із трьох верстатів не потребуватиме уваги робітника протягом години.

74. Імовірність для немовляти дожити до 5 років , а імовірність дожити до 50 років Визначити імовірність того, що дитина, що досягла 5 років, доживе до 50 років.

75. На іспиті студенту пропонують 20 білетів. У кожному білеті 3 питання. Студент із 60 питань, що ввійшли в білети, знає 50. Яка імовірність того, що витягнутий студентом білет буде складатися з відомих питань?

76. У двох воїнів залишилося 4 снаряди. Вони домовилися стріляти по черзі, причому імовірність улучення кожного дорівнює 0,4. Яка імовірність:

а) поразки об’єкта для першого воїна;

б) поразки об’єкта для другого воїна;

в) що вони обоє промахнулися?

77. Імовірність студента першого курсу перейти на другий імовірність закінчити інститут Яка імовірність того, що студент другого курсу закінчить інститут?

78. Дві гармати відкрили стрілянину по об’єкту по черзі, причому перед стріляниною імовірність улучення кожного була 0,2, а після кожного пострілу коректировщик збільшував імовірність улучення на 0,2. Після влучення стрілянину припиняли. Обчислити імовірність поразки цілі для кожного знаряддя окремо.

79. Знайти імовірність того, що в обраних навмання цифр:

а) не входить 0;

б) не входить 1;

в) не входить ні 0, ні 1;

г) чи не входить 0, чи 1.