Змішані задачі (стр. 4 )

а) середнє значення різниці між числом настань і ненастань події;

б) наближену формулу для середнього значення при великому числі іспитів (користаючись формулою Стірлінга).

190. Випадкова величина дорівнює числу пострілів, зроблених до першого влучення в мету. Імовірність влучення при одному пострілі дорівнює Знайти закон розподілу і математичне очікування.

191. По деякій меті ведуть стрільбу до п-го влучення. Імовірність улучення при кожному пострілі дорівнює Знайти математичне очікування витрати снарядів.

192. Нормованим відхиленням випадкової величини називається відношення Довести, що

193. Випадкова величина дорівнює числу настання події при незалежних дослідах. Імовірність появи і непояви цієї події в одному досліді відповідно дорівнює і Знайти математичне очікування і дисперсію

194. Випадкова величина рівномірно розподілена в інтервалі Знайти математичне очікування і дисперсію

195. Дві незалежні випадкові величини і рівномірно розподілені: в інтервалі в інтервалі Знайти середнє значення і дисперсію добутку .

196. Довести, що для довільної випадкової величини:

а) середнє значення укладене між найменшим і найбільшим її значеннями;

б) дисперсія не перевищує квадрата напіврізниці між найбільшим і найменшим її значеннями.

197. Додатня випадкова величина має щільність імовірності Знайти:

а) коефіцієнт ;

б) середнє значення і дисперсію випадкової величини.

198. Щільність розподілу випадкової величини (розподіл Лапласа). Знайти математичне очікування і дисперсію випадкової величини.

199. Показати, що характеристична функція задовольняє рівності

200. Знайти характеристичну функцію випадкової величини , рівномірно розподіленої в інтервалі

201. Випадкова величина дорівнює числу появи події в незалежних іспитах. Імовірність появи і непояви в кожному іспиті відповідно дорівнює і Знайти:

а) характеристичну функцію випадкової величини

б) характеристичну функцію при і ( — постійна величина).

202. Знайти характеристичну функцію випадкової величини розподіленої за законом Пуассона:

203. Знайти характеристичну функцію для закону Коші:

204. Знайти характеристичну функцію випадкової величини, розподіленої по нормальному закону з параметрами і

205. Знайти характеристичну функцію для показового закону розподілу з щільністю імовірності

206. Знайти характеристичну функцію для показового закону розподілу:

207. Довести, що якщо незалежні випадкові величини і розподілені нормально, те їхня сума також розподілена нормально. (Справедливе і зворотне положення, доведене Г. Крамером.)

208. Незалежні випадкові величини і розподілені за законом Пуассона:

Довести, що випадкова величина розподілена за законом Пуассона з параметром тобто що закон Пуассона є стійким. (Справедливе і зворотне положення, доведене .)

209. Показати, що розподіл Коші з щільністю ймовірности є стійким.

210. Закон розподілу називається безмежно діленим, якщо при будь-якому його характеристична функція є п-м ступенем деякої іншої характеристичної функції того ж закону розподілу. Показати, що закони нормальні, Коші і Пуассона безмежно ділені.

211. Користуючись методом характеристичних функцій, показати, що біноміальний і рівномірний закони розподілу нестійкі.

212. Послідовність незалежних випадкових величин, що підкоряються (кожна) закону Гаусса, має середні значення, рівні 0, і дисперсії . Знайти граничний закон розподілу суми цих величин, припускаючи, що ряд :

а) збігається;

б) незбігається.

213. Довести, що необхідною і достатньою умовою симетричності закону розподілу випадкової величини є речовинність характеристичної функції.

Закон розподілу називається симетричним, якщо

214. Знайти закон розподілу, якому відповідає характеристична функція

215. Знайти закони розподілу, яким відповідають характеристичні функції:

а)

б)

216. Показати, що справедливо рівності:

де — логарифм характеристичної функції:

217. Знайти математичне очікування і дисперсію для нормального розподілу

використовуючи формули задачі 216.

218. Знайти математичне очікування і дисперсію випадкової величини, розподіленої за законом Пуассона:

219. Нехай — число випадань герба при трьох киданнях монети, а — число випадань цифри. Обчислити коефіцієнт кореляції

220. Випадкова величина має закон розподілу

Випадкова величина Обчислити коефіцієнт кореляції і

221. У продукції заводу брак унаслідок дефекту складає 3%, а внаслідок дефекту — 4,5%. Придатна продукція складає 95%. Знайти коефіцієнт кореляції дефектів и

222. Шлюб продукції заводу внаслідок дефекту складає 8%, причому серед цієї забракованої продукції 4% має і дефект Крім того, дефект зустрічається в продукції, вільній від дефекту і складає 2%. Знайти:

а) імовірність у всій продукції знайти дефект

б) кореляцію ознак і

223. Дослідник провів 25 іспитів деякого об’єкта, відзначаючи в журналі іспитів знаком + наявність ознак і

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
А	+		+	+	—	+	+		+	+	+			4-	—		+	+		+	+	+	—	+	+
В	+	—	+	+	+	+	—	+	—	—	+	—	—	+	—	—	+	+	+	—	+	+	+	—	+

Встановити коефіцієнт кореляції між ознаками і