Теория вероятностей (стр. 4 )

Пример

Берілген нүктелер

Пусть даны точки

Шешуі:

Решение:

Егер , нүктелер берілсе, онда вектордың координаталарын табу үшін оның соңғы нүктесінің координатасынан бастапқы нүктесінің координатасын шегерсе жеткілікті, яғни

Если даны точки , , то проекции вектора на координатной оси находятся по формулам:

= (x2- x1, y2 – y1, z2 – z1) = (ax, ay, az)

(1)

векторды мына түрде жазуға болады:

Вектор запишется в виде

(2)

вектордың модулі былайша анықталады

Модуль вектора вычисляется по формуле

(3)

(4)

Мұндағы берілген векторлардың скаляр кобейтіндісі. Егер мен коор-динаталары арқылы берілсе, онда скаляр көбейтіндісі бұлайша өрнектеледі

Здесь – скалярное произведение векторов. Если и заданы в координатной форме, то скалярное произведение вычисляется по формуле

(5)

(1), (2), (3) формулалар бойынша векторларды және олардың модульдарың табамыз

Используя формулы (1), (2) и (3) находим векторы и их модули

, ,

; ; .

Скаляр көбейтіндісі болады

Скалярное произведение равно

Енді (4) формула бойынша бұрыштың шамасы табылады

Теперь по формуле (4) находим угол

векторының векторына проекциясы былайша анықталады

Проекция вектора на вектор вычисляется по формуле

Сонда

Тогда

жағының ауданы және векторлар арқылы салынған параллелограмның жарты ауданына тең болады.

Площадь грани равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и .

векторды және векторлық көбейтіндісі деп белгілейік. Онда бұл вектордың модулі сандық шамасы жағынан осы векторлар арқылы салынған параллелограммның ауданына тең болады. Ал жағының ауданы:

Обозначим через векторное произведение векторов и . Тогда модуль вектора численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Тогда площадь грани равна

Векторлық көбейтіндісін табайық

Найдем векторное произведение

.

Модуль және жағының ауданы:

Модуль и площадь грани :

Ұш компланар емес вектор арқылы салынған параллелепипедтің көлемі үш вектордың аралас көбейтіндісінің абсолют шамасына тең болады:

Объём параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах равен абсолютной величине их смешанного произведения:

Аралас көбейтіндісі мынадай формуламен есептеледі:

Смешанное произведение вычисляется по формуле

(6)

аралас көбейтіндіні есептеп шығарайық

Вычислим смешанное произведение

пирамиданың көлемі

Объём пирамиды

тең болады. Сонда

Следовательно

Тапсырма 4

,,, нүктелерінің координаталары берілген.

Задание 4

Даны координаты точек , , , .

Табу керек:

Требуется:

1 A, B және C нүктелері арқылы өтетін Q жазылықтықтың тендеуін және жазықтықтың остерінен қиятын кесінділерінің шамасын;

1 составить уравнение плоскости Q, проходящей через точки A, B и C, и найти отрезки, которые плоскость отсекает на координатных осях;

2 M нүкте арқылы өтетін және Q жазықтыққа перпендикуляр болатын түзу-дің канондық тендеуін;

2 составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M перпендикулярно плоскости Q;

3 тұзу мен Q жазықтықтың қиылысу нүктесін;

3 найти точку пересечения полученной прямой с плоскостью Q;

4 M нүктеден Q жазықтыққа дейінгі қашықтықты.

Варианттағы нүктелердің координаталары 3 тапсырманың кестесінен алынады.

4 найти расстояние от точки M до плоскости Q.

Координаты точек для каждого варианта выбираются из таблицы задания 3.

Мысал

Берілген нүктелер

Пример

Пусть даны точки

Шешүі

Решение

Егер берілген A, B және C нүктелер бір түзұде жатпаса онда осы нүктелер арқылы өтетін жазықтықтың тендеуі былайша жазылады