Теория вероятностей (стр. 5 )

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки A, B и C имеет вид

(1)

A, B және C нүктелер координаталарын (1) формулаға қойса

Подставив в (1) координаты точек A, B и C получим

.

Анықтауышты 1-жатық жолдың элементтері бойынша жіктеп

Разложим определитель по элементам первой строки

,

Q жазықтықтың тендеуін табамыз

получим уравнение искомой плоскости Q

(2)

Түзудің канондық тендеуі былайша жазылады

Каноническое уравнение прямой в пространстве имеет вид

(3)

Мында – түзу бойында жатқан берілген нүкте, ал – осы түзудің бағыттаушы векторы. Есептің шарты бойынша түзу Q жазықтыққа перпендикуляр болғандықтан Q жазықтықтың нормаль векторы түзудің бағыттаушы векторына тең болады

Здесь – точка, через которую проходит прямая, а вектор – направляющий вектор этой прямой. Так как по условию прямая перпендикулярна плоскости Q, то вектор нормали плоскости Q (2) равен направляющему вектору прямой

(3) теңдеуге М нүктесінің және вектордың координаталарын қойып түзудің теңдеуіне келеміз

Подставив в (3) координаты точки М и вектора , получим уравнение прямой

(4)

Түзудің параметрлік тендеулерің жазайық

Запишем уравнение прямой (4) в параметрическом виде

,

Мұндағы t – кез келген параметр. Онда түзудің теңдеуі мына түрде жазылады

где t – некоторый параметр. Тогда уравнение прямой запишется в виде

(5)

(5)-ті (2)-ге қойып параметр t мәнін табамыз

Подставляя (5) в (2), получим значение параметра t

.

(5)-ке қойып (4) түзудің және (2) жазықтықтың қиылысу Р нүктесінің координаталарын табамыз

Подставив в (5) значение , находим координаты точки Р пересечения прямой (4) с плоскостью (2)

.

М нүктесі Q жазықтығына перпендикуляр және осы жазықтық пен Р нүктесінде қиылысатын түзудің бойында жататын болғандықтан М және Р нүктелерінің арақашықтығын табу жеткілікті

Так как точка М лежит на прямой (4), которая перпендикулярна плоскости Q и пересекается с ней в точке Р, то достаточно найти расстояние между точками М и Р

18 ед.

Тапсырма 6

Сызықтық түрлендірулердің өзіндік мәндері мен өзіндік векторларын табыңдар

Задание 6

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Мысал

А матрица берілген

Пример

Дана матрица А

Осы матрицаның өзіндік мәндері мен өзіндік векторларын анықтаңыз. Ол үшін сипаттаушы деп аталатын теңдеу құрамыз. А матрицамен салыстыра отырып оны құру тәсіліне назар аударыңыз

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования.

Для этого составим так называемое характеристическое уравнение. Сравнивая с матрицей А, обратите внимание на построение этого уравнения

.

Анықтауышты ашып төмендегі теңдеуді аламыз

Раскрыв определитель, получим уравнение

(-1-l) [(-3-l)(1-l) – 12] = 0

l1 = -1; l2 = 3; l3 = -5;

l-ның осы мәнідері А матрицаның өзіндікмәндері деп аталады. Жүйе құрастырамыз

Эти значения l называются собственными значениями матрицы А. Составим систему

Осы жүйенің l-ның жоғарыда анықталған мәндеріне сәйкес келетін шешімдерін А матрицаның өзіндік векторлары деп атайды.

Решения системы, соответствующие этим значениям l называются собственными векторами системы.

Мәселен, l = l3 = -5 жағдайында жүйе мынадай түрге енеді

Так, например, при l = l3 = -5 мы получим систему

Жүйенің шешімі

Решение системы

Бұл шешім А матрицаның l = -5 мәніне сәйкес келетін өзіндік векторы деп аталады.

Это решение называется собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному значению l = -5.

Тапсырма 7

Задание 7

1

М(1,3) және В(5,4) нуктелеріне дейінгі арақашықтарының қатынасы 3:2 тең нуктелердің геометриялық орнының теңдеуін жаз. Қисықты сыз.

Составить уравнение геометрического места точек, расстояния которых до точек М(1,3) и В(5,4) относятся как 3:2. Построить линию.

2

А(0,3) нүктесіне дейінгі қашықтығы y=12 түзуіне дейнгі

Составить уравнение геометрического места точек, расстояние

қашықтықтан 2 есе кем болатын нүктелердің геометриялық орнының теңдеуін жаз және қисықты сыз.

каждой из которых от точки А(0,3) вдвое меньше ее расстояния от прямой у=12. Построить линию.

3

А(8,0) нүктесіне дейінгі қашықтығы х=2 түзуіне дейінгі қашықтықтан 2 есе үлкен болатын нүктелердің геометриялық орнының теңдеуін жаз. Қисықты сыз.

Составить уравнение геометрического места точек, расстояние каждой из которых от точки А(0,8) вдвое больше ее расстояния от прямой х=2. Построить линию.

4

А(0,-2) нүктесі мен y=4 түзуінен бірдей қашықтықта жататын нүктелердің геометриялық орнының теңдеуін жаз және қисықты сыз.

Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки А(0,-2) и прямой у=4. Построить линию.

5

А(4,0) нүктесіне дейінгі және х=9 түзуіне дейінгі арақашықтарының қатынасы 2/3-ке тең нуктелердің геометриялық орнының теңдеуін жаз және қисықты сыз.

Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до А(4,0) и прямой х=9 постоянно и равно 2/3. Построить линию.

6

В(2,4) нүктесіне дейінгі арақашықтығы С(-6,2) нүктесіне дейінгі арақашықтықтан еке есе кем болатын А нүктесінің траекториясынының теңдеуін жаз. Қисықты сыз.

Найти траекторию точки А, которая движется так, что ее расстояние до точки В(2,4) в два раза меньше, чем до точки С(-6,2).

Построить кривую.

7

В(3,0) нүктесіне дейінгі қашықтығы А(12,0) нүктесіне дейінгі қашықтықтан екі есе кем болатын М нүктесінің траекториясының теңдеуін жаз. Қисықты сыз.

Найти уравнение траектории точки М, которая движется так, что ее расстояние до точки А(12,0) вдвое больше, чем расстояние до точки В(3,0). Построить линию.

8

F1(-2,-2) және F2(2,2) нүктелерінен қашықтықтарының айырымы 4-ке тең болатын нүктелердің геометриялық орнының теңдеуін жаз. Қисықты сыз.

Найти уравнение геометрического места точек, разность расстояний которых от точек F1(-2,-2) и F2(2,2) равна 4. Постройте линию.

9

ОХ өсінен және F(3,0) нүктесінен бірдей қашықтықта жататын нүктелердің геометриялық орнының теңдеуін жаз. Қисықты сыз.

Найти уравнение геометрического места точек, равноудаленных от оси ОХ и точки F(3,0). Построить линию.

10

ОХ өсінен және F(0,3) нүктесінен бірдей қашықтықта орналасқан нүктелердің геометриялық орнының теңдеуін жаз. Қисықты сыз.

Написать уравнение геометрического места точек, равноудаленных от оси ОХ и от точки F(0,3). Построить линию.

Мысал

Пример

А(-3,5) және В(1,-1) нүктелерден бірдей қашықтықта жататын нүктелер жиынын тап. Оның графигін сыз.

Найти множество точек, равноудаленных от А(-3,5) и В(1,-1). Начертить график.

Шешуі: егер М(х, у) аңықталатын жиынның кез келген нүктесі болса,

Решение: пусть М(х, у) – точка искомого множества. Тогда по условию

онда есептің шарты бойынша . Осы теңдікке задачи . Подставив в это равенство значения

мәндерін қойып ықшамдаса мынадай теңдеу шығады.

придем к уравнению

=

х2+6х+9+у2-10у+25=х2-2х+1+у2+2у+1 8х-12у+32=0 2х-3у+8=0

Ол жазықтықтағы түзудін теңдеуі болады.

это есть уравнение прямой на плоскости.