Теория вероятностей (стр. 1 )

Пособие №3

Теория вероятностей

Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события.

Случайным событием называется такое событие, которое при осуществлении некоторых условий произойдёт или не произойдёт.

События обозначаются , , , , …

Относительной частотой появления события называется отношение числа «» появления данного события к общему числу «» проведённых одинаковых испытаний: .

Пример 247 Пусть по данному объекту из данного орудия при одинаковых условиях произведено 5 выстрелов, число попаданий 2.

Решение Относительная частота .

Вероятность случайного события может быть подсчитана, исходя из анализа рассматриваемого испытания.

Случайные события называются несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое – либо иное событие, несовместное с ними.

Событие (случай) такой группы называется благоприятствующим появлению события , если появление этого случая влечёт появление события .

Классическое определение вероятности. Вероятностью «» события называется отношение числа «» благоприятствующих случаев к числу всех возможных случаев «», образующих полную группу равновозможных несовместных событий, или символически .

Из определения следует, что . для невозможных событий. для достоверных событий.

Решение примеров на классическое определение вероятностей

Необходимо помнить следующие виды комбинаторики:

1) Перестановками из «» элементов называется такие виды комбинаций, которые друг от друга отличаются порядком расположения элементов.

Число перестановок из «» элементов:

2) Размещениями из «» элементов по «» () называются такие виды комбинаций, которые отличаются друг от друга и порядком расположения элементов, и самими элементами.

Число размещений из «» элементов по «» равно: (всего «» сомножителей). 3) Сочетаниями из «» элементов по «» () называются такие виды комбинаций, которые отличаются друг от друга только самими элементами.

Число сочетаний из «» элементов по «» равно:

.

Пример 248 Из колоды в 36 карт вынимается одна карта. Какова вероятность появления карты пиковой масти?

Решение Событие А – появление карты пиковой масти. Число случаев, благоприятствующих событию А равно 9, m=9. Общее число всех возможных случаев равно 36, n=36. Следовательно, p=9/36=1/4.

Пример 249 В партии из 100 изделий 10 бракованных. Какова вероятность того, что среди взятых 4 изделий 3 будут не бракованные?

Решение Взять 4 изделия из 100 можно числом способов. Число случаев, когда среди этих 4 изделий будут 3 не бракованные, равно . Искомая вероятность

.

Пример 250 На шести карточках напечатаны буквы: а, т, м, р, с, о. Они перемешаны. Найти вероятность того, что на 4- х, вынутых по одной, карточках можно будет прочесть слово «трос».

Решение Всего случаев . Благоприятствует 1 случай: . .

Пример 251 На пяти карточках напечатаны буквы: о, п, р, с, т. Они перемешаны. Найти вероятность того, что на вынутых по одной карточках можно будет прочесть слово «спорт».

Решение Всего случаев . Благоприятствующих . Искомая вероятность .

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Для несовместных событий: .

Для независимых событий: .

Для совместных событий: .

Для зависимых событий: .

Пример 252 В урне 12 шаров. Из них 2 красных, 6 синих, 1 белый и 3 чёрных шара. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение цветных шаров. всего шаров.

. ; .

Пример 253 Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель первым стрелком – 0,8; вторым – 0,9.Найти вероятность попадания обоими стрелками.

Решение .

Пример 254 Условие примера 253.Найти вероятность поражения цели, т. е. вообще попадания кем – либо.

Решение .

Пример 255 В ящике 6 белых и 8 чёрных шаров. Из ящика вынули 1 шар, и не вернули снова в ящик. Затем вынули ещё один шар. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение . ; тогда

(первое событие уже наступило). .

Вероятность появления хотя бы одного события в «» независимых испытаниях

А – Появилось хотя бы одно из «» событий. , где - вероятности не появлений этих событий. Если они равновероятны, то .

Пример 256 В цехе имеются 4 машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент 0,9.Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина.

Решение - вероятность того, что не работает.

.

Формула полной вероятности

, − составляют полную

группу. , а также известны.

Пример 257 Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго – 0,9.

Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь (из наудачу взятого набора) стандартная.

Решение ; (деталь из первого или второго набора). ; (детали стандартны).

.

Формула Бейеса:

(условия те же, что в предыдущей формуле).

Пример 258 Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго – 0,9.

Наудачу взятая деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что эта деталь из первого набора.

Решение

.

Повторение испытаний. Формула Бернулли

Вероятность того, что в «» независимых испытаниях равновероятные события повторяются ровно «» раз () определяется формулой:

; .

Пример 259 Монета подбрасывается 8 раз. Какова вероятность того, что она упадёт 6 раз гербом вверх?

Решение .

Дискретные случайные величины и их числовые характеристики

Случайные величины обозначаются X, Y, Z,…, и возможные значения x, y, z,…. Каждое возможное значение принимается со своей вероятностью.

Таблица 5 – Закон распределения случайной величины

.

К числовым характеристикам относятся:

а) математическое ожидание

.

Пример 260 Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, заданной законом распределения.

	2	3	5
	0,1	0,2	0,7

Решение ;

б) дисперсия

Пример 261 Задана случайная величина. Найти

	1	2
	0,6	0,4

	0,6	0,4

,

.

;

в) Среднее квадратическое отклонение.

Пример 262 Берём данные примера 261. .

Непрерывная случайная величина. Функции распределения

а) Интегральная функция распределения (или просто функция распределения). . Аналитическая форма записи:

.

б) Дифференциальная функция (либо плотность) распределения. . Аналитическая форма записи:

.

Пример 263 Непрерывная случайная величина задана функцией распределения.

.

Найти плотность (дифференциальную функцию) распределения.

.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал

а) Через интегральную функцию .

б) Через дифференциальную функцию .

Пример 264 Задана плотность распределения . Найти .

Решение

.

Пример 265 задана функцией распределения

.

Найти .

Решение.

Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

а) Математическое ожидание .

б) Дисперсия .

в) Среднее квадратическое отклонение .

Пример 266 Найти и величины , заданной функцией распределения.

.

Решение Найдём плотность распределения

.

.

.

Методические указания к практическим занятиям

Тема 1. Линейная алгебра и элементы аналитической геометрии.

Занятие 1. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Транспонирование матрицы.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [9].

Занятие 2. Определители квадратных матриц. Свойства определителей. Теорема Лапласа. Обратная матрица. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц. Экономическая интерпретация матрицы.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [9].

Занятие 3. Правило Крамера. Метод обратной матрицы.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [2]-38-44.

Занятие Метод Гаусса. Системы линейных однородных уравнений. Системы линейных неравенств и исследование их решений. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [2]-45-47.

Занятие 4. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов и его свойства. Системы линейно зависимых и линейно независимых векторов. Системы ортогональных векторов.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [9]-251,252,266,268.

Занятие 5. Базис и ранг системы векторов. Разложение вектора по базису. Векторы в экономических задачах. Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Квадратичные формы.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [9].

Занятие 6.Различные виды уравнения прямой. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [9]-86-90.

Занятие 7. Общее уравнение плоскости в пространстве и его частные случаи. Уравнения прямой в пространстве.

Рекомендуемая литература: [1],[2],[9].

Рекомендуется решить задачи: [9],320-322.

Занятие 8. Различные задачи для прямых и плоскости в пространстве. Экономические приложения линейных зависимостей.