Рубаненко-,

МАТЕМАТИКА И ЭСТЕТИКА.

ФРАКТАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Харьков – 2014
СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………..………….. 3

ГЛАВА 1. ДИНАМИЧЕСКИЙ МЕТОД……………………………....…. 8

ГЛАВА 2. ФРАКТАЛЫ……………………………………………..….. 14

2.1. L-СИСТЕМЫ. ЛОГИКА….…………………..…………... 15

2.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ………………………. 16

2.3. СИСТЕМЫ ИТЕРИРОВАННЫХ ФУНКЦИЙ (СИФ).

МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА………………………………………..18

2.4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, КВАТЕРНИОНЫ………………. 20

ГЛАВА 3. НЕМНОГО ФИЛОСОФИИ………………………………… 26

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ……………………..28

ВВЕДЕНИЕ

Обычно при изложении математики в школе наглядным пособием служит изображение на доске с помощью мела. Это классическая традиция, доставшаяся нам еще со времен Пифагора. От тысячелетнего употребления такой метод наглядного изображения математических рассуждений не потерял своей актуальности и мощи. Это связано, по-видимому, со сложным механизмом нашего зрения. Как известно из психологии, человек не просто пассивно разглядывает какой-то объект, воспринимая отражение на сетчатке. В зрительном восприятии огромную роль играет аналитическая работа мозга: сознания и подсознания. В этом процессе очень активно задействованы механизмы, связанные с интуицией. Именно это часто позволяет выдвигать гипотезы, замечать тенденции, которые аналитически (алгебраически) обнаружить крайне затруднительно.

Графическое представление является чудесным средством для сопоставления физических моделей с реальностью. Формула может описать лишь малую долю взаимоотношений между моделью и реальностью, в то время как человеческий глаз обладает огромными способностями к интеграции и различению. Глаз часто подмечает нечто общее в кривых, описывающих совершенно разные процессы, и дальнейшие исследования помогают объяснить сходство, в то время как аналитически заметить эту связь было бы, практически, не возможно.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Ни счесть числа открытиям, которые были получены благодаря исследованиям графиков функций, т.е. наглядному геометрическому образу. Но этот метод имеет существенный недостаток – он эффективен только для исследования функций одной переменной. Зависимость изображается линией. Это очень узкий класс, ведь мы живем в трехмерном мире. Например, как изобразить распределение тепла на пластине, поверхность холмистой местности и т. д. До недавнего времени такие «графики» были очень трудоемки и поэтому мало распространены. А часто их изображение было практически невозможным.

Появление экрана компьютера, вместо доски и бумаги, в корне изменило ситуацию. Теперь появилась принципиально новая возможность применять геометрические идеи для исследования широчайшего класса функций. Крайне желательно максимально использовать предоставленные современностью преимущества в обучении естественным наукам. Если одномерный график выглядит довольно сухо и однообразно, то графические образы на плоскости, где цвет играет уже очень существенную роль, вызывают, нередко, чисто эстетический восторг. Математическое обучение вполне может соперничать с изобразительными предметами уже в смысле чисто эстетическом [8].

Сравнительно недавно в математике возникло новое направление, называемое фрактальной геометрией. Одним из основателей этого направления является Бенуа Мандельброт [2]. Фрактальная методология, основанная на динамическом методе исследования, применима в самых разных научных областях [1, 2, 9, 11]. Именно это позволяет, в каком-то, смысле объединить очень разные направления. Найти в них нечто общее. Подчеркнем, не в мистическом или магическом смысле (сейчас это очень модно), а в смысле присутствия неких общих идей исследования. Достижения в этой области так поразило исследователей, что возникла новая наука– синергетика [10], в которой переплетаются философские и естественнонаучные представления.

Нет нужды распространяться, насколько важно стремление объединить разрозненные законы в некую систему. Сама попытка этого может принести существенную пользу.

Для преподавания фрактальная теория актуальна в первую очередь сочетанием фантастических по своей красоте компьютерных изображений с важнейшими разделами математики.

Цель предлагаемой работы – в сжатом виде познакомить с новыми возможностями, открывающимися для творческого подхода к изложению математических дисциплин.

«Наука и искусство — два дополняющих друг друга способа познания природы, аналитический и интуитивный. Мы привыкли считать их противоположными полюсами, но не зависят ли они друг от друга? Мыслитель, пытающийся постичь в своем сознании явления природы, стараясь свести всю их сложность к небольшому числу фундаментальных законов — не является ли он также мечтателем, погружающимся в богатство форм и воспринимающим себя частью извечного хоровода природных явлений?» [8].

Следует взглянуть на следующие страницы, чтобы убедиться, что это не пустая фраза. Пять очень разных областей высшей математики позволяют получать удивительные графики, которые вполне можно называть картинами. При этом, не требуется существенного знания этих наук. Достаточно усвоить самые азы, чтобы начать творить. А там … Возможно это станет призванием.

Изображение фрагмента множества Мандельброта

с использованием фильтров. Получено с помощью компьютерной программы FE.

Картинки– графики, полученные динамическим методом с использованием разных разделов математики.

Рис. 1 Рис. 2

Логика. Знаменитый «Куст». Геометрия. «Папоротник».

Получается применением логического Построение из простейшей веточки,

порождающего правила составленной из трех отрезков, с

помощью динамического метода.

из простейшей аксиомы , и параметра

Рис. 3 Рис. 4

Матричная алгебра и теорема о неподвижной точке. «Дерево»

, где набор чисел (все дерево определяется 5-тью наборами). На рисунке справа изображены параллелограммы, соответствующие каждой из 5 матриц, описывающих все дерево.

Рис. 5

Комплексные числа. Множество Жюлиа.

Строится с помощью простейшей функции – «параболы» динамическим методом (см. Главу 1) в комплексной области, =-0,87+ 0,229 i, =0.

Рис. 6

Кватернионы. Множество Жюлиа.

, где кватернионы, = 0,7+0,45 i +0,77 j +0,05 k, .

ГЛАВА 1. ДИНАМИЧЕСКИЙ МЕТОД

Вся идеология создания фрактальных структур опирается на почти очевидный метод, который мы называем динамическим. Условно можно выделить два подхода для исследования функциональных зависимостей: статический и динамический.

Первый предполагает обычную процедуру при построении графика. Берется набор множества аргументов, вычисляется соответствующий ему набор значений функции и полученные наборы анализируются. Например, строится поточечный график. Это привычный способ и мы его не детализируем.

Второй подход можно назвать динамическим. Удобно изобразить его следующей схемой.

Рис. 7

Имеется «черный ящик»: функция, оператор, преобразование, закон и т. д.. Есть что-то на входе (аргумент) и что-то, после обработки, на выходе– результат воздействия. Возьмем какое-либо входное значение , применим к нему воздействие «черного ящика», получим . Затем (sic!) возьмем в качестве входного уже , получим , и т. д. В результате получится последовательность значений , порожденная значением , при воздействии «черного ящика». Название «черный ящик» используется нами умышленно для того, чтобы подчеркнуть то, что мы в значительной степени отвлекаемся от «внутреннего» устройства (аналитических свойств) воздействия (функции). Т. е. мы, как бы, замыкаем нашу систему саму на себя и смотрим, что получится в результате большого, возможно, бесконечного, числа итераций, шагов воздействия. Схема, на первый взгляд, простая, даже примитивная, но в нее укладываются самые разнообразные процессы от геометрической прогрессии до Марковских процессов, от движения физического тела в пространстве до размножения популяций в биологии [9].

Процессы указанного вида обнаруживаются в любой точной науке. Динамический закон определяет положение и скорость частицы в данный момент времени через их значения в предыдущий момент. Движение частицы понимается как реализация этого закона.

Рассмотрим простейший пример [1]. Входным будет значение , преобразованием (законом) – умножение на число входного значения. Результатом будет выход нового числа увеличенного, уменьшенного на число . Если продолжить этот процесс до бесконечности, получим равномерно возрастающую (убывающую при ||<1) последовательность значений, стремящуюся к () не зависимо от начального значения числа . Ничего интересного! Этот вырожденный случай показывает, что динамический метод неэффективен для исследования, так называемых, линейных процессов, т. е. для законов типа

Возьмем простейший нелинейный процесс , . Входным будет значение , преобразованием (законом) – умножение входного значения на себя. Тут возможности уже богаче. При ||>1, мы получим возрастающую до бесконечности последовательность, ее обычно называют орбитой. В этом случае говорят, что точка , порождающая эту орбиту, «принадлежит области притягивания» к бесконечности, или аттрактору бесконечной точки (). При || <1 получим убывающую к нулю орбиту. В этом случае говорят, что точка «принадлежит области притягивания» к нулю, или аттрактору точки ноль (). Заметим, что в обоих случаях мы можем «слегка» изменить значение и при этом остаться в области притяжения, поэтому точки 0 и называются точками притягивания. Что же происходит на границах аттракторов, или областей притяжения в точках || =1. В точке =1 последовательность превращается в одно повторяющееся число: , в этом случае говорят, что точка =1 неподвижна, т. е. порождаемая ею орбита не изменяется от шага к шагу. Но если мы, хоть «чуть-чуть» изменим (уменьшим, увеличим) это значение, мы мгновенно окажемся на орбите, стремящейся к нулю или бесконечности. Поэтому точка =1 называется неподвижной точкой отталкивания. Заметим, что точки 0 и тоже есть неподвижные точки. Остается точка . В этой точке наша последовательность, орбита вырождается в периодическую с периодом 2. Это все случаи, которые представляют наибольший интерес в области, называемой нелинейной динамикой.

Если начать итерационный процесс с некоторого произвольного значения ,  то его результатом будет последовательность поведение которой по истечении достаточно большого периода времени и будет составлять предмет нашего интереса. Будет ли последовательность сходиться к некоторому предельному значению X, стремясь к состоянию покоя? Придет ли она к некоторому циклу значений, которые будут повторяться вновь и вновь? Или эта последовательность все время ведет себя беспорядочно, хотя и определена динамическим законом и конкретным начальным значением, но, тем не менее, непредсказуема?

Примитивность описанной схемы сразу исчезает, когда мы начинаем рассматривать процессы, развивающиеся не на прямой (функция от одной переменной), а хотя бы на плоскости. Притягивающих точек становится больше, вокруг них образуются лагуны, области притяжения, с самыми причудливыми границами-очертаниями. Это не комбинации кругов, прямых и прочих скучных стандартных линий, а очень сложные фигуры, напоминающие формы живой природы. Если их еще и раскрасить, тоже с учетом их математических свойств, то возникают уж совсем удивительные картины. При этом получаемые изображения тесным образом связаны с математическими закономерностями свойств исследуемых отображений, законов

Рис. 8. Китайский дракон,

Желтым здесь окрашены точки, принадлежащие аттрактору бесконечности, т. е. точки порождающие орбиты уходящие на бесконечность, коричневым – все оставшиеся. Для этого примера нужно только уметь умножать и складывать комплексные числа. Можно просто взять формулы из учебника, многие программисты так и делают. Но можно и возбудить интерес школьника к алгебре комплексных чисел. На экране комплексное число изображается естественным образом .

Следует отметить, еще, что на входе и выходе динамической системы могут быть не только точки прямой, плоскости или пространства, но и любые объекты. Мы можем называть их «точками», но они совсем не нечто без размеров, это могут быть изображения лиц, деревьев, снежинок и т. д. Естественно, для того чтобы эффективно применять данную теорию, нужно не просто обозвать исследуемые объекты «точками», следует определить еще некоторые их свойства, например, расстояние между двумя «точками». В свою очередь введенные расстояния обязаны удовлетворять неравенству треугольника и т. д. Это–шаг к изучению абстрактных метрических пространств.

Итак, дело за малым разумным образом выбрать подходящий закон (функцию) «черного ящика», задать начальное значение и запустить процесс на экран. Проиллюстрируем сказанное.

Кружевные коврики

Такого рода картинки получаются следующим образом. Начальные значения x и y принимаются равными 0, ставится точка с координатами , после чего вычисляются новые значения координат по формуле (закону):

, где

И т. д. Если точка, которую надо отметить, уже отмечена, то ее цвет увеличивается на 1. В зависимости от разных значений a, b, c получаются различные узоры. Не правда ли, очень похоже на плетеные коврики? Это орбиты точки (0,0). Нетрудно написать такую программу на Бейсике или ТурбоПаскале и «поиграть» с параметрами.

Рассмотрим совершенно другой пример, из физики. Пусть на экране, по краям случайным образом (например через датчик случайных чисел) возникает «капля-пиксель», которая опять же случайным образом (влево-вправо, вверх - вниз на пиксель) двигается по экрану (это закон «черного ящика» ). В центре экрана бросим одну неподвижную каплю, «центр конденсации», «зародыш». Как только блуждающая капля соприкоснется с неподвижной, она прилипает к ней, становясь неподвижной, и образуется уже объединение неподвижных капель. После этого на границе экрана в случайном месте возникает новая капля и процесс повторяется. В результате слипшиеся капли создадут случайную орбиту первоначальной неподвижной точки экрана («зародыша») примерно такого вида.

Дендрит

Подчеркнем, что в данном случае, даже при точном повторении начальных условий процесса, мы не получим двух одинаковых картинок, но общий вид сохранится.

Чуть видоизменив, закон «черного ящика», частицы двигаются только с верхней границы экрана, получим вот такой лес.

Лес

Вот модель образования, изображения(!) пены. Делается эта картинка очень просто. На экран помещается 300 точек разной яркости, после чего они одновременно начинают расти: вокруг каждой из точек пририсовываются окружности всё увеличивающегося радиуса и уменьшающейся яркости. Точка перестает расти, когда яркость внешней окружности уменьшается до нуля. Если оказывается, что пиксель должен быть закрашен одновременно разными цветами, выбирается цвет с большей яркостью. Это закон «черного ящика». Вот и всё! По-разному бросая начальный набор точек, будем получать разную пену.

Пена

Приведенные примеры наглядно демонстрируют взаимосвязь науки и искусства. Хочешь получить красивую картинку, создай, придумай интересную модель, описывающую какой-либо физический, химический или математический процесс.

ГЛАВА 2. ФРАКТАЛЫ

Определений фракталов много. Обычно они даются через выражение их свойств. Некоторые подчеркивают свойство «самоподобия», т. е. подобие части целому. Другие выбирают свойство дробной размерности. Можно указать на свойство хаотичности или нигде не дифференцируемости. Не стоит искать исчерпывающего определения. Скорее всего, фрактальная теория это теория о классах структур и процессов с теми или другими свойствами. Слово «подобие» следует понимать в несколько расширенном смысле. Например, как подобие законов «черного ящика», формирующего процесс. Это не гомотетия фигур в школьном определении. Как уже говорилось, подобие дендритов, как, скажем, подобие всех сосен или дубов, бросается в глаза, но вы никогда не найдете двух совершенно одинаковых. Касательно размерности, вычисляется она, как правило, с такой грубой точностью, что можно ее использовать только для объектов действительно очень различных. Но вот графические образы и наше зрение помогает часто более значительно.

Опишем некоторые фрактальные структуры.

2.1. L-СИСТЕМЫ.

ЛОГИКА

Применим изложенный метод в области математической логики, пожалуй, наиболее «сухой» и абстрактной науки. В основе построения алгебры высказываний лежит задание некого алфавита символов и правил вывода формул, построения слов из этого алфавита. По нашей схеме, набор правил есть содержание «черного ящика», а входящие-исходящие данные – это формулы (слова, выражения). Если определить алфавит всего из 6 знаков (букв): и задать некие правила их соединения, то можно, начав с одного знака, строить при помощи этих формул разные слова. Например, если в качестве первого слова выбрать слово из одного символа =, а в качестве порождающего правила построения слов взять правило (имеется в виду, что вместо параметра подставляется уже построенное слово), то следующее построенное слово будет = . Затем – слово = и т. д. По похожим правилам создаются языки программирования и доказываются математические утверждения. Выдающийся математик ХХ века Д. Гильберт вообще хотел свести доказательство всех теорем в математике к перебору возможных логических формул. Известна поразительная теорема Геделя о неполноте любого языка.

Казалось, вряд ли возможно изобразить подобные абстрактные построения в виде привлекательных картин. Однако, если перечисленным выше шесть знаков приписать некое движение точки по плоскости [1]:

· – переместиться вперед на один шаг (заданное количество пикселей), прорисовывая след

· – переместиться вперед на один шаг (заданное количество пикселей), не прорисовывая след

· [ – открыть ветвь, запомнить текущее состояние точки

· ] – закрыть ветвь, вернуться к запомненному состоянию точки

· + – увеличить угол направления движения на заданную величину

· – – уменьшить угол направления движения на заданную величину ,

то любая формула укажет некоторый набор последовательных движений, которые вычертят определенную кривую на плоскости. Вид этой кривой может потрясающе напоминать объекты живой природы (см. стр. 6, рис. 1, «Куст» ).

Эту идею можно использовать для изображения любого текста, в том числе и художественного. Любопытно, как будут выглядеть, скажем, стихи Ахматовой или Высоцкого. Возможно, стиль письма будет давать характерный рисунок.

Программирование соответствующих формул элементарно и легко осуществляется с помощью, так называемой, «черепаховой графики» [1].

Построенные рисунки, думается, могут изменить отношение к «скучной» логике.

Изложенный метод известен как L-системный метод . Изначально L-системы были введены при изучении фор­мальных языков, а также использовались в биологических моделях селекции. С их помощью можно строить многие известные самопо­добные фракталы, включая снежинку Коха и ковер Серпинского. Некоторые другие классические построения, например кривые Пеано (работы Пеано, Гильберта, Серпинского), также укладываются в эту схему. И конечно, L-системы открывают путь к бесконечному разнообразию новых фракталов, что и послужило причиной их ши­рокого применения в компьютерной графике для построения фрак­тальных деревьев и растений [1].

2.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ

Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Рассмотрим один из таких фрактальных объектов – «триадную» кривую.

Рис. 9

Построение кривой начинается с простейшей фигуры из трех отрезков заданной длины– это 0-е поколение кривой (образующий элемент - генератор). Далее, каждая из двух меньших веточек заменяется на уменьшенный генератор. В результате такой замены получается следующее поколение кривой. В 1-ом поколении– это кривая из семи прямолинейных звеньев. Для получения 2-го поколения проделываются те же действия– каждое звено на вершине заменяется на уменьшенный образующий элемент. Итак, для получения каждого последующего поколения, все верхние звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Кривая n-го поколения при любом конечном n называется предфракталом. На рис.8 представлены десять поколений кривой. При n стремящемся к бесконечности кривая становится фрактальным объектом.

В этом случае мы как бы задаем рост дерева, в конце каждой веточки вырастает еще один раздвоенный отросток, только уменьшенный. И все повторяется несколько раз. Но ведь так и происходит в природе!

Если взять порождающие отростки с тремя концами и несколько усложнить процесс их «прорастания» (закон появления новых отростков) получим папоротник.

Рис. 10 Рис. 11

В машинной графике использование геометрических фракталов необходимо при получении изображений деревьев, кустов, и т. д. Двухмерные геометрические фракталы используются для создания объемных текстур.

Для того, чтобы листы папоротника не были одинаковыми, можно ввести случайный параметр изменяющийся при каждом воздействии «черного ящика». Например, угол или размер. Тогда все полученные изображения будут отличны друг от друга, даже с одним и тем же генератором.

2.3. СИСТЕМЫ ИТЕРИРОВАННЫХ ФУНКЦИЙ (СИФ).

МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА

В этом подходе основную роль играют мало любимые в школе матрицы 2 на 2. Оказывается, что с их помощью можно не только решать системы уравнений, но строить изображение практически любых деревьев и других природных объектов. Для этого нужно уяснить, что матрицы задают аффинные деформации плоскости. Подбор матриц, кодирующих изображение, опирается на подмеченное еще великим Леонардо да Винчи сходством веток дерева с самим деревом. Если посмотреть на дерево, то можно попытаться выделить те части, которые являются как бы его копиями, возможно искаженными. Мысленно поместив их в параллелограмм, можно выписать соответствующую матрицу, преобразующую прямоугольник, в который помещено все дерево, в этот параллелограмм, заключающий его часть (см. стр. 6, рис. 4, «Дерево»). Получив соответствующие матрицы, выражающие операторы соответственные преобразования плоскости, можно взять любое (!!) изображение на входе системы (нашего «черного ящика»), многократно применить к нему наши матричные операции и получить … всегда одно и то же дерево, не зависимо от начального изображения! Это следствие теоремы о неподвижной точке– важнейшей теореме в теории дифференциальных уравнений.

Все подробнейшее изображение будет описано четырьмя матрицами. Польза этого метода, как, впрочем, и других заключается еще и в том, что он позволяет получить очень большое сжатие иногда в тысячи раз! Существуют машинные алгоритмы нахождение соответствующих матриц, но они еще далеко не совершенны. Обширное поле для поисков и открытий.

2.4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Ясно, что создаваемые человеком картины имеют плоскостную природу. Для того, чтобы раскрасить плоскость с помощью, например, функции нужно научиться умножать точки плоскости (пары чисел, задающих координаты), сохраняя при этом естественное умножение на какой-то из осей, изображающей действительные числа (например, ось ОХ). Оказывается, что эту операцию можно осуществить только по закону умножения комплексных чисел (!) = . Это, почти мгновенно, получается при четкой постановке задачи (см. блестящую книгу [5]).

Теперь мы, наконец, добрались до построения популярного множества Мандельброта. Алгоритм очень прост. Берется точка плоскости к ней многократно, по правилу «черного ящика», применяется функция , когда итоговая точка , выходит за границу достаточно большого круга, скажем радиуса 2, процесс обрывается (в этом случае точка очень быстро уходит на бесконечность!). Далее, число итераций до остановки процесса превращается, по выбранному правилу в цвет, в который окрашивается точка . Если процесс после длительного числа итераций не выходит за указанную границу круга, то точка окрашивается в черный цвет. Это весь алгоритм! Но какие удивительные картинки возникают при его реализации!

Меняя алгоритм выбора цвета (палитру), можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.

Рис. 12 Множество Мандельброта ,

(окрашено синим) с точками, возле границы (ореол).

Рис.13

Участок границы множества Мандельброта, увеличенный в 200 pаз.

Рис.14 Участок границы множества Мандельброта С= -0.8163+i0.1792,

в нижнем левом и в верхнем правом углах можно видеть уменьшенные копии множества Мандельброта.

Особенно интересны точки, принадлежащие границе множества– именно там возникает сложные структуры.

Если зафиксировать точку С и брать различные начальные точки на комплексной плоскости, то получим не менее удивительные множества Жюлиа. Оказывается, они тесно связаны с множеством Мандельброта, являющегося, по-сути, множеством параметров, т. е. каждой точке из множества Мандельброта (см. рис. 12) соответствует некое множество Жюлиа.

Приведем несколько примеров.

Рис.15

Такие изображения (рис. 15) возникают, если выбирать параметр С из внутренности множества Мандельброта. Последняя фигура получается, если брать параметр С на самой границе, на «усах». Если же брать параметр С вне множества Мандельброта, но не далеко от границы, будем получать следующие картинки (взяты с «ореолом»):

Рис.16

Канторово множество Пыль Фату

Каким же образом, после всего сказанного раскрашивать наши графики? Можно выбирать функцию соответствия цвета и числа по своему усмотрению. Как известно, в RGB палитре цвет задается «склеиванием» интенсивностей каждого из трех основных цветов ( red, green, blue) по правилу bbggrr, где bb – интенсивность синего, gg – зеленого, rr – красного цветов. Интенсивность задается числом от 0 до 255, записанным в шестнадцатеричной системе счисления. Наоборот, любое целое число, разбитое на группы по три разряда, начиная с конца, может дать полноценный оттенок. Например, возьмем число 10-ть. Можно окрасить его в красный цвет с интенсивность 10-ть единиц, можно умножить его на постоянный (или каким-либо изменяющийся) множитель, скажем 2235 (смесь 22 зеленого и 35 красного оттенков), и получить новый цвет 22синего 23 – зеленого и 50 красного).

Удивительно, но многие закономерности поведения процессов, порождаемых заданной функцией, визуально сохраняются при самых произвольных выборах раскрашивания. Некоторые же, напротив, исчезают или проявляются в зависимости от соотношения цветов, сравните рис. 13 и рис.14, где изображено почти одно и то же множество.

В программах, рисующих подобные графики, пользователю позволяется изменять палитру и подбирать нужную раскраску. Это очень увлекательный процесс, не лишенный художественного творчества. Если удастся привязать эстетический и научно-исследовательский интерес школьника к исследованию соответствующих функций, то это может сформировать стойкий интерес к математическим объектам.

КВАТЕРНИОНЫ

А если научиться перемножать точки пространства и в нем рассмотреть функцию (отображение) ? Оказывается, что хорошим образом ввести перемножение точек 3-х мерного пространства нельзя (следствие теоремы Фробениуса). Доказательство именно этого факта элементарно [5].

А вот следующее, 4-х мерное, пространство похожим умножением обладает. Мы приходим к определению алгебры кватернионов– аналога поля комплексных чисел. Формула умножение этих чисел в координатной форме задается таблицей. Изображения «графиков» в таких системах приобретают вовсе фантастический характер (см. стр. 7). Появление кватернионов в свое время очень обнадежило математиков, предполагали, что они окажутся столь же эффективными, как и комплексные числа. Со временем энтузиазм погас и

Рис.17

Множество Жюлиа.

, где кватернионы; = 1,043–і0,879–j0,507, .

даже такой выдающийся математик, как [6] указывал на то, что «… из-за отсутствия коммутативности умножения оказалось невозможным пост­роить теорию функций кватернионного переменного. Таким образом, применение кватернионов в математике оказалось очень незначительным». Думается, компьютерные картинки-графики могут возбудить дополнительный интерес к этим объектам и у профессионалов, и у школьников вопреки этому пессимистическому прогнозу.

Следует подчеркнуть важность овладения компьютерной наукой для успешного продвижения на этом пути.

ГЛАВА 3. НЕМНОГО ФИЛОСОФИИ

Представим, что мы имеем дело с разными фантастическими, довольно сложно устроенными животными, имеющими вид изображенных выше структур (см. рис. 15–16). Мы могли бы долго их классифицировать, исследовать особенности «усиков» и прочее. А оказывается, каждое из них определяется всего двумя действительными числами или одним комплексным! И, естественно, простейшим законом «параболы» . Т. е., если предположить, что «ген» нашего «животного» хранит всего два конкретных числа (с небольшим количеством значащих цифр!), то по ним может строиться вся достаточно сложная (при увеличении любой части множества Жюлиа или Мандельброта бесконечно появляются все новые и новые особенности) структура. Эти два числа, если угодно, являются «идеей» этого «животного». Той самой, из мира гегелевских и платоновских сверх-идей, которые реализуются в материальном мире. В этом смысле для множества Жюлиа миром сверх идей будут точки множества Мандельброта–множества параметров (см. рис. 12). А может и человеческий ген, является только параметром, входящим в «черный ящик» какого-то общего единого закона? Во всяком случае, как мы увидели, в математике такие структуры существуют.

А как пишут Н. Бурбаки: «Структуры» являются орудиями математика; каждый раз, когда он замечает, что между элементами, изучаемыми им, имеют место отношения, удовлетворяющие аксиомам структуры определенного типа, он сразу может воспользоваться всем арсеналом общих теорем, относящихся к структурам этого типа, тогда как раньше он должен был бы мучительно выковывать сам средства, необходимые для того, чтобы штурмовать рассматриваемую проблему, причем их мощность зависела бы от его личного таланта, и они были бы отягчены часто излишне стеснительными предположениями, обусловленными особенностями изучаемой проблемы» [7].

Как видим, фрактальная теория объединяет не только разделы естественных наук, но может оказаться, в этом смысле, весьма полезной и для гуманитариев.

«Западная культура долгое время была одержима гладким и симметричным. Мы повсюду ищем модели и симметрию. Часто мы навязываем модели там, где они не существуют, и мы отрицаем те модели, которые не соответствуют нашей общей концептуальной структуре. Таким образом, когда модели не являются симметричными и гладкими, мы классифицируем их как иллюзии.» [11]. На самом деле иллюзорны навязанные нам представления.

«Фрактальная геометрия – геометрия Демиурга. Бога – «разрушителя» симметричных геометрических форм. В отличие от евклидовой геометрии, изучающей «совершенные» фигуры, она основывается на грубости и асимметрии. Объекты не являются вариациями нескольких совершенных и симметричных форм, они бесконечно сложны.» [11]. Чем более внимательно они исследуются, тем больше деталей раскрывается. Например, хвойное дерево, где каждая ветвь похожа на все дерево, но отлична от любой иной ветви – это фрактальная форма.

Фракталы, как следствие геометрии Демиурга, присутствуют повсеместно в нашем мире и играют существенную роль во многих окружающих нас процессах.

Таким образом, компьютер позволяет нам создавать и исследовать новые геометрии.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фракталы и Хаос в динамических системах. Основы теории.– М., 2000.–С. 425

2. Фрактальная геометрия природы. – М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.–С. 674

3. Фракталы. - М.: Мир, 1991.–С. 470

4. Дональд Мичи, Рори Джонсон. Компьютер - творец. – М.: Мир, 1997.– С. 251

5. ,Солодовников числа.- М., 1973.– С. 120

6. Понтрягин чисел.– М., Наука, 1986.–С. 163

7. Архитектура математики.– Математическое просвещение. М.: Физматгиз, 1959, вып. 5

8. -О., Рихтер фракталов. – М.: «Мир», 1993.

9. Томпсон Дж. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике: Пер. с англ.– М.: Мир, 1985.–C. 254

10. , Михайлов в синергетику.– М.: «Наука», 1990– C. 272

11. Фрактальный анализ финансовых рынков. 2001