Нерівності та їх геометричний зміст

Нерівності та їх геометричний зміст.

1. Нерівності та їх геометричний зміст.

2. Системи лінійних нерівностей.

Метод координат дозволяє геометрично тлумачити не тільки рівняння, а також і нерівності.

Подібно тому, як ми говоримо, що рівняння з двома змінними та визначає на площині деяку лінію, можна сказати, що нерівність з двома змінними та визначає множину точок площини, координати яких задовольняють цій нерівності. Таким чином геометрично тлумачать і нерівність .

Якщо вираз є лінійним, тобто , де - сталі, то ми маємо лінійне рівняння

(1)

Та дві лінійні нерівності

(2)

(3)

якщо коефіцієнти і не дорівнюють одночасно нулю, то рівняння (1) визначає на площині пряму, а нерівності (2) і (3) – відповідно дві площини, на які пряма (1) розбиває всю координатну площину. Для того, щоб з’ясувати, яка із цих двох півплощин визначається заданою лінійною нерівністю, можна застосувати, наприклад, такий спосіб.

Виберемо яку-небудь точку, підставимо її координати в нерівність, що перевіряється.

Якщо координати точки задовольняють нерівність, то нерівність визначає ту площину, в якій знаходиться вибрана точка; якщо ж координати точки не задовольняють нерівність, то нерівність визначає площину, яка не містить вибраної точки.

Приклад. Записати з допомогою нерівності ту площину, в якій лежить точка та границею якої є пряма Перевірити, лежить в цій же півплощині початок координат.

Розв’язок. Підставимо координати точки в ліву частину рівняння заданої прямої: . Одержана величина додатна. Отже, точка не лежить на заданій прямій, а шукана площина визначається нерівністю

Студенту рекомендовано зробити малюнок і розв’язати самостійно другу частину приклада.

Можна розглянути також систему нерівностей:

Областю розв’язання системи нерівностей називається множина всіх точок, координати кожної з них задовольняють всім нерівностям системи.

Перерізом кількох множин точок називається множина точок, кожна із яких належить всім множинам, що перетинаються. Очевидно, областю розв’язання системи нерівностей служить переріз областей розв’язання кожної із нерівностей системи.

Областю розв’язків, системи лінійних нерівностей

є, очевидно, переріз півплощин, що визначаються кожною із нерівностей системи. Ця область може бути і пустою множиною, тобто множиною, яка не містить ні однієї точки (півплощини не мають спільних точок).

Якщо ж ця множина точок не пуста, то вона називається многокутною областю. Якщо, крім того, ця область обмежена, тобто не містить точок з як завгодно великим значенням координат, то її називають многокутником.

Приклад. Записати з допомогою системи нерівностей множину точок, що лежать всередині трикутника з вершинами

Розв’язок. Студенту рекомендовано зробити Рис. Очевидно, множину всіх внутрішніх точок трикутника можна розглянути як перетин трьох півплощин, з яких перша обмежена прямою і містить точку , друга обмежена прямою і містить точку , третя обмежена прямою і містить точку .

Знайдемо нерівність, що визначає першу із цих півплощин. Складемо рівняння прямої , визначаючи координати точок і :

або .

Підставляючи в ліву частину цього рівняння координати точки , одержуємо Отже, перша півплощина визначається нерівністю

Аналогічно площина, що обмежена прямою і містить точку , визначається нерівністю:

А площина, що обмежена прямою і містить точку - нерівністю:

Отже множина всіх внутрішніх точок трикутника визначається системою нерівностей

Якщо замість строгих нерівностей (< або >) розглядати не строгі нерівності або, то в визначеній ними області включаються і границі цих півплощин.

Наприклад, область розв’язків нерівностей:

є область, що обмежена трикутником , включаючи як її внутрішні, так і граничні точки, тобто і точки відрізків , , .

Аналогічно інтерпретуються геометрично лінійні нерівності з трьома змінними. Лінійна нерівність з трьома невідомими визначає півпростір, а система таких нерівностей – переріз півпростору. Якщо він не порожній, є многогранною областю або, в випадку обмеженості, многогранником.

Задача 1. Побудувати область розв’язків системи лінійних нерівностей:

Розв’язок. Будуємо граничні прямі, що відповідають даним нерівностям, за двома точками, що відповідають цим прямим:

Кожна пряма ділить площину на дві півплощини. Так з них, що містить початок координат, і є областю розв’язків кожної з нерівностей (координати точки задовольняють кожній нерівності). Стрілками позначимо півплощини, які є областями розв’язків даних нерівностей. Перетин відмічених півплощин – чотирикутник - є область розв’язків даної системи (рис.2.21).

Задача 2. Побудувати область розв’язків системи лінійних нерівностей:

Розв’язок. Будуємо граничні прямі, що відповідають даним нерівностям:

Область розв’язків першої прямої містить початок координат, а область

розв’язків другої і третьої нерівностей – не містять початку координат (координати точки не задовольняють другій і третій нерівностям). Стрілками позначимо півплощини, точки яких задовольняють нерівностям. Областю розв’язків є опукла необмежена область (рис. 2.22.)

Задача 3. Побудувати область розв’язків системи лінійних нерівностей:

Розв’язок. Будуємо граничні прямі:

Будуємо область розв’язків кожної нерівності (рис. 2.23).

Не існує жодної точки, загальної для всіх площин, що відповідають даним рівнянням. Отже, область розв’язків порожня. Система нерівностей несумісна.

Задачі для самостійного розв’язку

1. Побудувати області, координати яких задовольняють нерівностям:

а)

б)

в)

2. Побудувати область розв’язків системи лінійних нерівностей:

а) б) в) г)