Тема 8. Геометричні ймовірності

Тема 8. Геометричні ймовірності

1. (А) Знайти ймовірність того, що точка, кинута (рівноможливо) в будь-яке місце правильного трикутника, попаде у вписаний в нього круг.

2. (А) Знайти ймовірність того, що точка, кинута (рівноможливо) в будь-яке місце квадрата, попаде у вписаний в нього круг.

3. (А) Знайти ймовірність того, що точка, кинута (рівноможливо) в будь-яке місце правильного шестикутника, попаде у вписаний в нього круг.

4. (А) Знайти ймовірність того, що точка, кинута (рівноможливо) в будь-яке місце всередині кола, попаде у вписані в це коло: а) правильний трикутник; б) квадрат; в) правильний шестикутник.

5. (А) Три однакових круга радіуса r знаходяться у великому крузі радіуса R і не перетинаються ні з ним, ні між собою. Точку навмання кинуто (рівноможливо) у великий круг. Знайти ймовірність того, що вона попаде в один з малих кругів.

6. (А) У коло радіуса R навмання (рівноможливо) кидають точку. Знайти ймовірність того, що відстань від цієї точки до центра кола не перевищує r.

7. (А) На площині накреслені два концентричних кола, радіуси яких 5 см і 10 см відповідно. Знайти ймовірність того, що точка, кинута навмання (рівноможливо) в великий круг, попаде в кільце між побудованими колами.

8. (А) Диск розділений на парне число рівних секторів, почергово зафарбованих білим та чорним кольором. Диск швидко обертається. По диску зроблено постріл. Яка ймовірність, що куля попаде в один з білих секторів?

9. (А) На відрізку АВ довжиною 12 см навмання вибирають точку М. Знайти ймовірність того, що площа квадрата, побудованого на АМ, виражається числом від 36 см2 до 81 см2.

10. (Б) На площині проведено паралельні прямі, відстані між якими почергово дорівнюють 1,5 см та 8 см. На площину навмання кидають круг радіуса 2,5 см. Яка ймовірність того, що цей круг не перетне жодної з прямих?

11. (Б) Відрізок поділено точкою С у відношенні 4:7. Знайти ймовірність того, що дві навмання вибрані з відрізка точки є точками відрізка , якщо всі положення точок рівноможливі.

12. (Б) На паркетну підлогу кидають монету діаметром d. Паркет складений із квадратів зі стороною a (d<a). Знайти ймовірність того, що монета не перетне жодної із сторін квадратів паркету.

13. (Б) На площині накреслено паралельні прямі на відстані 2a одна від одної. На площину кидають навмання (рівноможливо) монету радіуса r (r<a). Знайти ймовірність того, що монета не перетне жодної із прямих.

14. (Б) (Задача Бюффона) На площині накреслено паралельні прямі на відстані 2a одна від одної. На площину навмання кидають голку довжиною 2l (l<a). Знайти ймовірність того, що голка перетне яку-небудь з прямих. Провести описаний експеримент не менше 100 разів та визначити наближене значення числа π.

15. (Б) Навмання взято два додатні числа x і y, кожне з яких не більше 2. Знайти ймовірність того, що добуток xy буде не більше одиниці, а частка y/x не більше двох, якщо всі числа з відрізка [0; 2] рівноможливі.

16. (Б) Між (-1) і (+1) навмання вибирається два числа. Знайти ймовірність того, що: 1) сума квадратів цих чисел буде не більша від одиниці; 2) сума цих чисел додатна, а добуток від’ємний. Всі числа з відрізка [-1;1] рівноможливі.

17. (Б) Дві особи домовились зустрітись в певному місці, причому кожен приходить туди незалежно від другого у випадковий момент часу між 16 та 17 год. Той, хто приходить першим, чекає 15 хв., і якщо другий не прийде за цей час, перший йде додому. Знайти ймовірність того, що зустріч відбудеться, якщо приходи обох рівноймовірні протягом вказаної години.

18. (Б) Два пароплави повинні підійти до одного причалу, причому час їх приходу протягом доби рівноможливий. Знайти ймовірність того, що жодному з них не доведеться чекати звільнення причалу, якщо час стоянки першого пароплава 3 год., а другого – 2 год.

19. (Б) Два судна повинні підійти до одного причалу. Появи суден – незалежні події, рівноможливі протягом доби. Знайти ймовірність того, що одному з суден доведеться чекати звільнення причалу, якщо час стоянки першого судна – одна година, а другого – дві години.

20. (Б) Відрізок завдовжки l розділили на три частини, вибираючи дві точки поділу навмання (рівноможливо). Знайти ймовірність того, що з утворених трьох відрізків можна скласти трикутник.

21. (Б) Відрізок завдовжки а розділили на три частини, вибираючи дві точки поділу навмання (рівноможливо). Знайти ймовірність того, що довжина кожної частини перевищує .

22. (Б) На відрізку ОА довжини L числової осі Ох навмання (рівноможливо) взяті дві точки B(x) і C(y). Знайти ймовірність того, що з трьох одержаних відрізків можна побудувати трикутник.

23. (Б) На відрізку АВ завдовжки l випадковим способом (рівноможливо) вибрано дві точки L і M. Знайти ймовірність того, що: а) точка L буде ближче до A, ніж точка M; б) точка L буде ближче до M, ніж до A.

24. (В) Яка ймовірність того, що з трьох навмання взятих відрізків довжини не більше а можна побудувати трикутник?

25. (В) Відрізок завдовжки l розділили на три частини, вибираючи дві точки поділу випадковим способом. Знайти ймовірність того, що довжина кожної з утворених частин не перевищує заданої величини а. .

26. (В) Точка (с; q) навмання вибирається із квадрата з вершинами в точках (-1; -1), (1; -1), (1; 1), (-1; 1), причому всі положення точки рівноможливі. Знайти ймовірність того, що корені рівняння : а) дійсні; б) уявні; в) додатні; г) різних знаків; д) одного знаку.