Силовой анализ рычажных механизмов (стр. 2 )

Решение уравнения (8) начнем с его правой части, изобразив на плане ускорение (рисунок 1,е). Согласно уравнению (8) к концу вектора (т. е. к точке n/b) пристроим вектор , а затем к концу этого вектора ( к точке b/) – вектор . Четвертый член правой части уравнения (8) известен только по направлению (ВС ). Поэтому через конец вектора (точку n/сb) проведем прямую, перпендикулярно ВС.

Построение левой части уравнения (8) вновь начнем с полюса р/, изобразив вектор (см. риссунок 1, е). Второй член левой части уравнения (10) известен только по направлению ( DС ). Поэтому через конец вектора (точку n/c) проведем прямую, перпендикулярную DС. Там, где пересекутся прямые, перпендикулярные DС и ВС ( рисунок 1,е), будет согласно уравнению (10) точка схода векторов и . Следовательно, неизвестные ранее модули этих ускорений (в м/с2) согласно уравнению (2//) составят:

= n/c с/ = μа, = n/cb с/ = μа.

Отрезки n/cс/ и n/cbс/ возьмем с плана ускорений в миллиметрах. Из плана также следует:

.

Итак, ускорения точек В и С, принадлежащих звену 2, определены. Значит, можно найти ускорение любой третьей точки этого звена, например, точки Х (см. рисунок 1,а). Это можно было бы сделать, связав уравнениями плоского движения ускорения точек Х и В и точек Х и С: . Каждое из этих уравнений было бы неразрешима. Разложив члены совокупного уравнения на состовляющие, его можно было бы решить графически.

Однако следует пойти более коротким путем, применив теорему подобия аналогично тому, как это было сделано при определении скоростей. Построим на отрезке b/с/ (см. рисунок 1,е) Δ b/с/х/, подобный треугольнику ВСХ, образованному вершинами В,С,Х на плане механизма:

Δ b/с/х/ ~ Δ ВСХ (9)

Вершина х/ на плане ускорений явится концом искомого вектора.Его модуль (в м/с2) составит . Стороны, необходимые для построения Δ b/с/х , найдем из пропорций:

. (10)

Стороны b/х/, с/х/, b/с/ изображают в масштабе μа ускорения во вращательной части плоского движения шатуна 2. Правильность построения Δ b/с/х на плане ускорений надо проверить при помощи правила чередования вершин подобно тому, как это было сделано при построении плана скоростей.

Определим ускорение точки Y, принадлежащей, как и точки В и С, звену 2 и расположенной на прямой ВС. Для того, так же как и при определении скорости точки Y, применим способ пропорционального деления, т. е. найдем на отрезке ВС плана ускорений точку у/, которая разделит отрезок b/с/ в том же отношении, в котором точка Y делит отрезок ВС на плане механизма:

(11)

Из пропорции (11) определяется отрезок b/у/, который нужно отложить от точки b/ на отрезке b/с/ плана ускорений (см. рисунок 1,е). Точка y/ явится концом искомого вектора . Его модуль (в м/с2) равен ( отрезок р/у/ возьмем с плана ускорений в миллиметрах).

Заметим, что абсолютные ускорения всех точек механизма (в рассматриваемом примере , , , ) обязательно исходят из полюса плана.

Для определения углового ускорения шатуна 2 рассмотрим только вращательную часть его плоского движения, положив точку В условно неподвижной (см. рисунок 1,д). Касательную составляющую ускорения точки С в этой части движения, т. е. , приложим к точке С. Из рисунка 1,д видно, что угловое ускорение ε2 направлено по часовой стрелке и равно ε2 = .

Используя касательную составляющую , найдем таким же образом, что угловое ускорение ε3 коромысла 3 направлено против часовой стрелки и равно ε3 = . Зная угловую скорость ω3 и угловое ускорение ε3 коромысла 3, можно определить нормальную и касательную составляющие, а затем и полное ускорение любой его точки.

В заключении сделаем вывод: планы механизма, скоростей и ускорений. построенные для заданного значения обобщенной координаты φ1 , дают возможность определить положение, скорость и ускорение любой точки и любого звена механизма. А если известна зависимость φ1(t), то кинематические характеристики механизма можно определить изложенным графическим методом и для любого момента времени.

1.2 Кинематическое исследование кулисного механизма

графическим методом

В машиностроении применяются механизмы, для устройства которых характерно следующее: в их состав входит подвижное звено, по направляющей поверхности движется другое звено, совершающее, таким образом, сложное движение. Подвижное звено, имеющее направляющую поверхность, называется кулисой, направляемое ею звено, часто небольшое по размерам, - камнем, а механизм, содержащий пару кулиса-камень, - кулисным. Графический метод кинематического исследования таких механизмов имеет особенность, которую рассмотрим на примере механизма, изображенного на рисунке 2,а.

Кулисой в заданном механизме является звено 3; обратим внимание, что кулиса здесь прямолинейна. Камень 2 скользит по направляющей поверхности, имеющей прямолинейную ось UC . Все звенья образуют низшие кинематические пары. Назначим в качестве начального звена кривошип 1. Будем считать заданными размеры ℓАВ и ℓАC, угловую скорость ω1 и угловое ускорение ε1 начального звена. Построим планы скоростей и ускорений предложенного кулисного механизма.

1.2.1 Определение скоростей. Построим план механизма в масштабе μℓ = …,мм/ м (рисунок 2,а). Определим скорость точки В начального звена 1, модуль которой составит = ω1 ∙ ℓАВ; вектор направлен перпендикулярно АВ.

Перейдем к группе звеньев 2-3, образующих пару камень-кулиса. Скорость точки В звена 2 уже известна. Но в отличии от механизма, изображенного на рисунке 1,а, звенья 2 и 3 образуют не вращательную, а поступательную пару. Значит, на звене 3 нет ни одной точки, которая одновременно принадлежала бы также и звену 2 и скорость которой можно было бы поэтому связать уравнением плоского движения со скоростью точки В. Следовательно, при соединении подвижных звеньев поступательной парой нужно использовать другое уравнение, которым является уравнение сложного движения.

При кинематическом исследовании кулисного механизма теорема сложного движения обычно применяется к камню: его абсолютное движение раскладывается на относительное и переносное, причем в качестве относительного принимается движение камня по кулисе, а переносным, поэтому является движение самой кулисы. Поясним это на примере заданного механизма.

Рассмотрим движение точек B и D. Точка В, принадлежащая камню 2, а также кривошипу 1, движется по окружности с центром А (см. рисунок 2,а). Точка D находится в данный момент времени в том же месте, где и точка В, но принадлежит точка D кулисе 3 и движется, следовательно, по дуге окружности с центром C. Обратим внимание, что точки B и D – разные точки: они принадлежат разным звеньям (камню и кулисе), описывают разные траектории и движутся по ним с разными законами. Хотя в данный момент обе эти точки находятся в одном месте и на чертеже совпадают, в следующий момент времени они будут находиться уже в разных местах, переместясь по своей траектории.

Возьмем два близких положения механизма. Будем считать, что точка В переместилась по своей траектории из 1-го положение во 2-е следующим образом: сначало точка В переместилась с точкой D, с которой она в первом положении совпадала, а затем точка B cкользнула вниз по кулисе (рисунок 2,а). Это значит, что абсолютное перемещение точки B камня 2 будем рассматривать как сложное, состоящее из переностноговместе с точкой D, принадлежащее кулисе 3, и относительного -вдоль кулисы по прямой UC, т. е. =+(рисунок 2,б). При таком разложении абсолютного движения переносным является вращение кулисы 3 вокруг оси C; следовательно, ωпер = ω3 (рисунок 2,в); относительным движеием будет прямолинейное поступательное движения камня 2 вокруг кулисы 3 (рисунок 2,г).

Свяжем уравнением сложного движения скорости точек B и D, принадлежащих соответственно камню и кулисе:

(12)

Абсолютная скорость скорость точки В уже известна и по модулю и по направлению. Переносной скорость точки В будет скорость той же кулисы 3, которая в данный момент совпадает с точкой В, т. е. скорость точки D; эта скорость перпендикулярна CD (рисунок 2,в). Скорость точки B относительно D (относительная скорость ) направлена вдоль кулисы 3 по прямой UC (рисунок 2,г). Модули и неизвестны. Векторные уравнение (14) содержит две скалярные неизвестные, а потому разрешимо. Решать его будем построением плана скоростей.

Назначим масштаб плана μν = …,мм/м∙с-1 и полюс плана р. Построение плана начнем с изображения скорости в виде вектора длиной рb = μν ∙ νb (рисунок 2,д). Вектор в правой части уравнения известен только по направлению (СD) и исходит из полюса р; поэтому через полюс р проведем прямую, перпендикулярную CD. Вектор согласно уравнению (14) должен сходиться с вектором , т. е. конец вектора должен находиться на плане в точке b. Вектор известен только по направлению ( направлен по UC ). Поэтому проведем через точку b прямую, параллельную UC .Точка d пересечения прямых, параллельной UC и перпендикулярной CD, является согласно уравнению (14) концом вектора и началом вектора . Следовательно, неизвестные ранее модули этих векторов (в м/с) составят: =, =. Заметим, что вектор относительной скорости = (рисунок 2,г), который будет очень нужен в дальнейшем, направлен на плане скоростей (рисунок 2,д) от точки d к точке в.

Теперь легко найти угловую скорость ω3 кулисы 3, являющуюся переносной угловой скоростью: ωПЕР = ω3 =. Угловая скорость ω3 направлена по часовой стрелке (см. рисунок 2,в).

Для определения угловой скорости камня нужно применить теорему сложения мгновенных вращений: ω2 = ω3 + ω23. Так как движение камня 2 относительно прямолинейной кулисы 3 поступательное (камень, двигаясь вдоль кулисы, не имеет поворота по отношению к ней), то ω23 = 0. Значит, в случае прямолинейной кулисы угловая скорость камня всегда равна гловой скорости кулисы: ω2 = ω3.

Определение ускорений начнем с точки начального звена 1. Для точки В запишем:

где: ε1 ∙ ℓАВ .

Составляющая направлена от точки В к центру А ; составляющая направлена перпендикулярно АВ наискось вниз.

Перейдем к определению ускорений группы звеньев 2-3(группы камень-кулиса). Ускорение одной точки этой группы - точки В уже известно. Свяжем уравнением сложного движения ускорения точек и, принадлежащих соответственно камню и кулисе:

. (13)

Следует обратить особое внимание на то, что в своей правой части уравнение (13) имеет три слагаемых, а не два, как уравнение (7). Этим уравнение сложного движения (13) существенно отличается от уравнения плоского движения (7). Добавим к тому же, что уравнение сложного движения (13) связывает ускорения двух точек B и D, принадлежащих разным звеньям (камню и кулисе), в то время как уравнение плоского движения (7) связывает ускорения двух точек B и C, принадлежащих одному и тому же звену (звену 2, рисунок 1,а).

Разложим члены уравнения (13) (кроме кориолисова ускорения ) на составляющие:

. (14)

Составляющая направлена от точки D к C; ее модуль равен:

Cоставляющая перпендикулярна CD и, модуль ее = ε3 ∙ ℓCD неизвестен, так как неизвестно угловое ускорение ε3 . Составляющая равна нулю, поскольку движение точки В относительно точки D происходит по прямой линии UC. Составляющая направлена по прямой UC; модуль ее неизвестен.

Чтобы определить направление кориолисова ускорения , следует воспользоваться правилом : надо вектор относительной скорости = повернуть на 90º в сторону перенесенной угловой скорости ωпер = ω3 (рисунок 2,е). Нижний индекс BD при кориолисовом ускорении указывает на то, что определяя направление , надо брать вектор относительной скорости , имеющий тот же порядок букв в индексе, что и ; вектор направлен на плане скоростей (рисунок 2,д) от точки d к точке b. Ни в каком случае нижний индекс в обозначении нельзя понимать так, что кориолесово ускорение является якобы третьей составляющей относительного ускорения ; из уравнения сложного движения (13) четко видно, что кориолисово ускорение есть самостоятельный член в его правой части.

Модуль кориолисова ускорения = 2ωперsin(ωпер, ).

Вектор ωпер, равный вектору ω3 , проходит через точку С перпендикулярно плоскости чертежа; вектор = расположен в плоскости чертежа. Поэтому угол между этими векторами равен 90º, а sin(ωпер, ) = 1. Заметим, что такой результат будет свойственен любому механизму. Следовательно,