Силовой анализ рычажных механизмов (стр. 1 )

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

ПАВЛОДАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. С. ТОРАЙГЫРОВА

Кафедра «Механика»

СИЛОВОЙ АНАЛИЗ РЫЧАЖНЫХ

МЕХАНИЗМОВ

Методические указания к курсовому проекту

по теории механизмов и машин

(для внутривузовского пользования)

Павлодар

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по УР

___________

«____»___________200_г.

Составитель: доцент

Кафедра «Механика»

Утверждено на заседании кафедры «___»______200_г., протокол №__

Заведующий кафедрой __________________

Одобрены учебно-методическим советом ИСТиМ

«____»_________200_г., протокол №__

Председатель УМС____________________

СОГЛАСОВАНО

Директор ИСТиМ ___________ «____»_________200_г.

Одобрено УМО

Начальник УМО ____________ «___»_______200_г.

Нормоконтр. отдела МКО АД ______________

«__»________200_г.

1 Кинематическое исследование механизмов

Задачей кинематического исследования механизма является определение для любого момента времени положений (т. е. координат) всех его точек и звеньев, аналогов их скоростей и ускорений и, наконец, самих скоростей и ускорений. Все эти величины являются кинематическими характеристиками механизма. Существуют графические и аналитические методы их определения.

1.1 Кинематическое исследование стержневого механизма

графическим методом

1.1.1 Определение скоростей. Для определения скоростей должен быть построен план механизма и задана угловая скорость ω1 начального звена. Поэтому кинематическое исследование надо начинать именно с этого звена. Определим скорость его точки В, модуль которой составит = ω1 ∙ ℓАВ . Вектор направлен касательно к траектории точки В, которой является окружность с центром в точке А, и, следовательно вектор направлен перпендикулярно радиусу АВ. Точно так же найдем модуль и направление вектора скорости любой точки кривошипа 1.

Перейдем к определению скоростей группы звеньев 2-3, которая получает движение от начального звена. Скорость одной точки группы уже известна: это-скорость точки В, поскольку она принадлежит не только кривошипу 1, но и шатуну 2. Скорость другой точки группы 2-3 – точки С, движущейся по дуге ββ, известна по направлению: вектор перпендикулярен радиусу DC. Но модуль = ω3 ∙ ℓDС неизвестен, так как неизвестна угловая скорость звена 3 ω3. Звено 2 совершает плоское движение. Свяжем уравнением плоского движения скорости точек В и С, принадлежащих этому звену:

(1)

Вектор известен полностью: как по модулю, так и по направлению. Вектор известен только по направлению ( DC), поэтому подчеркнем его одной чертой. Как известно, скорость перпендикулярна ВС. Но модуль = ω2 ∙ ℓВС неизвестен, так как неизвестна угловая скорость ω2 звена 2. Таким образом, векторное уравнение (1) содержит две скалярные неизвестные. Математика учит, что векторное уравнение с двумя скалярными неизвестными решается. Решать будем графически, построением плана скоростей.

Вспомним положения векторной алгебры: если дано уравнение (рисунок 1,б), то конец слагаемого вектора является началом вектора следующего за ним; первые векторы обоих частей уравнения (т. е. и ) исходят из общего начала, а последние векторы (т. е. и ) сходятся в одной точке.

Назначим масштаб плана μν = …, мм/м∙с-1 и полюс плана – точку р (рисунок 1,а). Построение начнем с правой части уравнения (1), изобразив скорость в виде вектора, длина которого на плане (в миллиметрах) согласно уравнению (2) составит: рb = μν∙ . Вектор имеет начало в полюсе р и направлен перпендикулярно АВ. Согласно уравнению (1) из конца вектора , т. е. из точки b, должен исходить вектор , перпендикулярный ВС. Но какой длины на плане должен быть этот вектор, неизвестно, так как неизвестен его модуль. Поэтому, где будет находиться конец вектора , указать пока нельзя. Но можно точно сказать, что конец вектора будет находиться на прямой, проведенной перпендикулярно ВС через конец вектора , т. е. через точку b, которая одновременно является началом вектора . Вычертим эту прямую на плане.

Во всех подобных случаях в дальнейшем, когда вектор известен только по направлению, но неизвестен по модулю, будем проводить прямую по направлению такого не полностью известного вектора через его начало или, что то же, через конец предшествующего ему вектора.

Построение левой части векторного уравнения (1) вновь начнем с полюса р плана, так как из уравнения (1) следует, что векторы и должны иметь общее начало. Скорость известна только по направлению. Поэтому проведем через полюс р прямую, перпендикулярную DC. Там, где пересекутся прямые, перпендикулярные DC и BC (рисунок 1,а), будет точка схода векторов и , так как согласно уравнению (1) эти векторы должны сходиться в одной точке. Следовательно, точка с является концом векторов и ,а их ранее неизвестные модули (в м/с) согласно уравнению (2) составят: , , причем отрезки рс и bc надо измерить на плане скоростей в миллиметрах.

Итак, скорости точек В и С, принадлежащих одному звену 2, определены. Значит, можно найти скорость любой третьей точки этого звена, например точки х, отстоящей на заданных расстояниях ℓВХ и ℓСХ от точек В и С (см. рисунок 1,а).

Составим уравнения плоского движения, связывающие попарно скорости х и b и с:

(2)

Так как точка х описывает сложную траекторию, очертания которой неизвестны, то нельзя указать, как происходит касательная к этой траектории и, следовательно, скорость точки х неизвестна не только по модулю, но и по направлению. Поэтому каждое из векторных уравнений (2) содержит по три скалярных неизвестных и является, таким образом, неразрешимым. Однако совокупность уравнений

(3)

разрешима, так как содержит только две скалярные неизвестные.

Разрешим уравнение (3) графически. Для этого проведем через концы векторов и прямые (т. е. через точки b и с на плане, рисунок 1,б), перпендикулярные соответственно ВХ и СХ. Тогда точка пересечения этих прямых, согласно уравнениям (2) и (3), даст конец вектора , начало которого будет в полюсе р. Следовательно, модуль скорости точки х (в м/с) составит ; отрезок рх возьмем с плана скоростей в миллиметрах.

Расмотрим Δ BCX на плане механизма и Δ bcx на плене скоростей. Как указано в уравнениях (1) и (3), их скорости соответственно перпендикулярны. Поэтому:

Δ bcx ~ Δ BCX (4)

Подобие треугольников позволяет быстро определить положение точки х – конца вектора на плане скоростей, не прибегая к составлению уравнений (2) и (3). Для этого на отрезке bc плана скоростей достаточно построить Δ bcx, подобный Δ ВСХ, образованному вершинами В, С, Х на плане механизма. Тогда вершина x треугольника Δ bcx будет искомым концом вектора .

Стороны подобных треугольников bcx и ВСХ соответственно пропорциональны

, . (5)

Из плана видно, что стороны bx, cx, bc изображают в масштабе μν скорости во вращательной части плоского движения шатуна 2. Следовательно, пропорциями (5) связываются скорости во вращательной части движения, но отнюдь не абсолютные скорости , ,. На это надо обратить внимание.

Необходимые для построения Δ bcx его стороны bx и cx следует определить из пропорций (5). Правильность построения Δ bcx нужно проверить при помощи правила чередования вершин. Делается это так: обойдем против часовой стрелки Δ ВСХ по его периметру, начиная с вершины В, чередование его вершин при этом будет таким: В→С→Х→В. Обойдем также по часовой стрелке Δ bcx по его периметру, чередование вершин будет таким же: b→с→х→b; значит Δ bcx построен на стороне bc верно. Однако, если бы Δ bcx построить не слева, а справа от стороны bc (рисунок 1,г), то при обходе его периметра по-прежнему против часовой стрелки чередование вершин получилось бы уже другим: b→ х → с →b, т. е. отличающимися от чередования вершин В→С→Х→В на плане механизма. Поэтому Δ bcx, (изображенный на рисунке 1,г), построен на стороне bc неверно.

Определим скорость точки Y, принадлежащей, так же как и точки В и С, звену 2 и расположенной на прямой ВС. Поскольку точки В,С,Y лежат на одной прямой, то они не могут служить вершинами треугольника. Поэтому здесь следует применить не теорему подобия, а ее частное выражение – способ пропорционального деления. Это значит, что на отрезке bc плана скоростей надо найти точку y, которая разделит отрезок bc в таком же отношении, в каком точка Y делит отрезок ВС на плане механизма:

(6)

Из пропорции (6) определяется длина отрезка by, который откладывается от точки b на отрезке bc плана скоростей (см. рисунок 1,в). Точка y является концом вектора , начало которого находиться в полюсе р, а модуль (в м/с) составит поэтому ( отрезок py измеряем на плане скоростей в миллиметрах).

Заметим свойство абсолютных скоростей всех точек механизма: все они (в рассматриваемом случае ,) обязательно исходит из полюса плана.

Определим угловую скорость ω2 шатуна 2, эскиз которого изображен на рисунке 1, д. Для этого условно закрепим точку В, а к точке С приложим скорость которую она имеет в ее вращении вместе со звеном 2 вокруг точки В. Из рисунка 1,д видно, что угловая скорость ω2 направлена по часовой стрелке, а ее значение составляет .

Используя подобным же образом скорость , устанавливаем, что угловая скорость ω3 звена 3 направлена по часовой стрелке и равна . Зная угловую скорость ω3 коромысла 3, можно определить скорость любой его точки.

1.1.2 Определение ускорений. Эту задачу можно выполнить, если задано угловое ускорение начального звена и построены план механизма и план скоростей. План ускорений надо строить в том же порядке и используя те же уравнения, которые применялись при построении плана скоростей. Поэтому начнем определение ускорений с начального звена 1 (см. рисунок 1,а).

Ускорения будем раскладывать на нормальную и касательную (тангенциальную) составляющие. Для точки В начального звена запишем:

где: ε1 ∙ ℓАВ .

Составляющая направлена от точки В к центру окружности, которую она описывает, т. е. к точке А; составляющая направлена касательно к окружности, т. е. перпендикулярно АВ и, согласно заданному направлению углового ускорения ε1, наискось вверх. Таким же образом можно определить ускорение любой точки кривошипа 1.

Перейдем к определению ускорений группы звеньев 2-3. Ускорение точки В этой группы уже известно. Ускорение точки С, описывающей дугу окружности ββ, разложим на две составляющие: Составляющая направлена от точки С к центру дуги, т. е. к точке D, модуль ее =Составляющая касательная к дуге, т. е. перпендикулярна DC; модуль ее ε3 ∙ℓDC неизвестен, так как неизвестно угловое ускорение ε3 звена 3.

Свяжем ускорения точек С и В, принадлежащих звену 2, уравнением плоского движения

(7)

Это уравнение имеет ту же математическую структуру, что и уравнение (3), написанное для скоростей. Разложим каждое ускорение на две составляющие:

(8)

Составляющая направлена от точки С к точке В (см. рисунок 1,д); модуль ее =. Составляющая перпендикулярна ВС; модуль ее = ε2 ∙ ℓВC неизвестен, так как неизвестно угловое ускорение ε2 шатуна 2. Как видно, векторное уравнение (10), содержащее две скалярные неизвестные, решается.

Назначим полюс плана – точку и масштаб плана μа = …,мм/м ∙ с-2. Тогда известные по модулю ускорения согласно уравнению (2///), должны быть в масштабе μа изображены векторами, длины которых (в мм) соответственно равны:

р/ n/c = μа acn , р/ n/b = μа abn, n/b b/ = μа abτ, n/сb b/ = μа aсbn.