Силовой анализ рычажных механизмов (стр. 3 )

= 2ωпер = = 2ω3 .

Итак, векторное уравнение (14) содержит две скалярные неизвестные, а потому неразрешимо. Решать его будем построением плана ускорений. Назначим полюс плана р/ и его масштаб μа= …,мм/м∙с-2. Тогда известные по модулю ускорения , ,, будут изображены в масштабе μа векторами, длины которых на плане (в мм) соответственно составят:

р/ n/b = μа abn, n/b b/ = μа abτ , р/ n/D = μа adn, k/b/ = μа abdk.

Решение уравнения (14) начнем с его левой части: изобразим сначала вектор , а затем вектор (рисунок 2,ж). После этого перейдем к правой части уравнения, изобразив вектор. Вектор известен только по направлению (CD), а потому через конец вектора , т. е. через точку n/D, проведем прямую, перпендикулярную CD. Последний вектор в правой части уравнения (16) должен сходиться с вектором . Поэтому построим вектор на плане так, чтобы он упирался своим концом в точку b/. Согласно уравнению (14) начало вектора - точка k/ является концом вектора , который известен только по направлению ( направлен UC). Поэтому проведем через точку k/ прямую, параллельную UC. Точка d/ пересечения прямых, параллельной UC и перпендикулярной CD, является согласно уравнению (14) концом вектора и началом вектора . Следовательно, их модули (в мм/с2) составят

аDτ = nD/d/ / μа, аBDτ = d/к/ / μа .

Угловое ускорение ε3 кулисы 3 определим по формуле . Оно направлено по часовой стрелке (см. рисунок 2,в).

Так как кулиса 3 прямолинейна, то угловое ускорение ε2 камня 2 равно по величине и направлению угловому ускорению кулисы 3: ε3 = ε2 .

Изложенным методом строят планы скоростей и ускорений также и для механизма, кулиса которого изогнута по дуге окружности. Однако здесь появится та особенность, что движение камня относительно кулисы будет уже не поступательным, а вращательным. Потому ωкамня ωкулисы , εкамня εкулисы .

В заключение укажем, что теорема сложного движения применяется для кинематического исследования не только кулисных, но также и механизмов с высшими парами, например кулачковых механизмов.

1.3 Кинематическое исследование механизма аналитическим методом

Кинематическое исследование механизма аналитическим методом не требует графических построений, сделанных тщательно и со строгим соблюдением масштаба, поскольку все кинематические характеристики определяются при помощи формул. Применение аналитического метода связано с использованием особых кинематических характеристик, которые не зависят от закона движения начального звена и называются аналогами скоростей и ускорений. Аналоги характеризуют собственные свойства механизма безотносительно к тому, как движется его начальное звено: быстро или медленно, ускоренно или замедленно, влево или вправо и т. д. Познакомимся с этими характеристиками на примере кривошипно-ползунного механизма (рисунок 3).

1.3.1 Формулы для определения аналогов скоростей и ускорений. Составим расчетные формулы, по которым можно подсчитать значения аналогов скоростей и ускорений. Для плоских рычажных механизмов это целесообразнее всего сделать с помощью метода замкнутого векторного контура (метод Веч. А. Зиновьева).

Пусть дана кинематическая схема кривошипно-ползунного механизма (см. рисунок 3); это значит, что известны его геометрические характеристики , а место точки S на шатуне 2 закоординировано параметром . Требуется определить аналоги скоростей и ускорений точек и звеньев механизма.

Представим звенья механизма в виде векторов, вычертим векторный контур АВСА механизма (рисунок 3 и 5) и запишем его уравнение: . Спроецируем векторный контур на оси х и y:

ℓАВ cosφ1 + ℓBC cosφ2 = ℓAC = xc ,

ℓАВ sinφ1 + ℓBC sinφ2 = 0,

так как ус = 0. Из векторного уравнения получим

(15)

По уравнению (15) определим угловое положение звена 2 для каждого заданного значение обобщенной (т. е. независимой) координаты φ1 .

Выразим cosφ2:

.

Полученная зависимость хоть и является приближенной, но вполне пригодна дляпрактических расчетов. Используя эту зависимость, найдем координату хс из уравнения проекций на ось х:

. (16)

Уравнение (16) устанавливает зависимость положения точки С от обобщенной координаты φ1 .

Так как ползун (звено 3) движется поступательно, то все его точки перемещаются одинаково. Поэтому, используя уравнение (16), легко можно определить положение любой точки ползуна, отстоящей на заданном расстоянии от точки С.

Вычертим другой векторный контур АВSA (см. рисунок 3 и 5) и запишем его уравнение: . Проецируя его на оси х и у, получим:

(17)

. 18)

По уравнениям (17) и (18) для каждого заданного значения обобщенной координаты φ1 определяем положение точки S, место которой на шатуне 2

закоординированно параметром λS.

Таким образом, координаты любой точки и угловую координату любого звена можно выразить через координату φ1 начального звена, т. е. через обобщенную координату механизма.

Перейдем к определению аналогов скоростей. Продифференцировав по обобщенной координате φ1 уравнение (15), получим аналог угловой скорости звена 2:

. (19)

Приближенное значение вполне пригодно для практических расчетов.

Чтобы определить проекцию аналога скорости точки С на ось х, продифференцируем по φ1 уравнение (16)

(20)

Такой же будет проекция на ось х аналога скорости любой точки ползуна 3. Напомним, что .

Проекция аналога скорости точки S шатуна найдем дифференцированием по φ1 уравнений (17) и (18):

, (21)

. (22)

Взяв производные от аналогов скоростей (см. уравнения (19) и (20))по обобщенной координате, определим аналоги ускорений:

, (23)

(24)

Уравнение (24) справедливо для любой точки ползуна 3. Напомним, что

Так же найдем проекции аналога ускорения точки S шатуна.

Описанным выше методом замкнутого векторного контура определяют аналоги скоростей и ускорений любой точки, а также любого звена и других плоских рычажных механизмов.

Аналог угловой скорости выходного звена зубчатого механизма равен, как было сказано выше, его передаточному отношению. Если механизм составлен из круглых колес (см. рисунок 4,а), то

(25)

Знак минус указывает на то, что в простой цилиндрической зубчатой передаче внешнего зацепления колеса вращаются в противоположные стороны. Аналог углового ускорения выходного звена

т. к.

В специальньных и редких случаях применяют зубчатые передачи, составленные из некруглых колес Тогда передаточное отношение в процессе вращения колес периодически изменяется. Поэтому

Из уравнений (четко видно, что аналоги скоростей и ускорений зависят только от геометрических характеристик механизма и от его обобщенной координаты, т. е. аналогами характеризуются собственные свойства механизма независимо от того закона, по которому он движется. Из уравнения (25) видно также, что аналог скорости может и не зависеть обобщенной координаты, т. е. для данного механизма быть величиной постоянной.

1.3.2 Определение скоростей и ускорений. Пусть задан некоторый плоский механизм, имеющий одну степень свободы W = 1. Будем считать, что известна его кинематическая схема (а стало быть, и все размеры) и составлены расчетные формулы аналогов скоростей и ускорений любой точки N и любого звена i этого механизма. Поскольку W = 1, то заданный механизм имеет одно начальное звено. Будем также считать, что что для каждого положения начального звена известна его угловая скорость и угловое ускорение . Требуется определить скорость и ускорение любой точки N и любого звена i заданного механизма.

Согласно изложенному выше

(26)

Угол, который составляет вектор скорости с осью х, определим при помощи его проекций.

Угловую скорость звена i найдем из зависимости:. (27)

Как видно из уравнений (26) и (27), скорость любой точки и угловую скорость любого звена можно выразить через угловую скорость начального звена, т. е. через обобщенную скорость механизма.

Для определения ускорений поступим следующим образом:

Но

Поэтому

(28)

Точно так же найдем: .

Угол, который составляет вектор ускорения с осью х, определяем при помощи его проекций.

Аналогично составим расчетную формулу для углового ускорения звена i:

(29)

Покажем применение полученных зависимостей на примере определения скорости и ускорения точки С ползуна 3 (см. рисунок 3),

считая, что = const , т. е. . Для этого надо знать:

1) угловую скорость начального звена 1;

2) аналоги скорости и ускорения точки С: [см. (29) и (33)].

Так как точка С движется вдоль оси х, то: Используя уравнения (26) и (20), а также (28) и (24), получим:

(30)

(31)

Если и получается отрицательными, то это значит, что скорость и ускорение точки направлены по оси х влево (см. рисунок 3).

Здесь нужно обратить внимание на то, что ускорения точек и звеньев механизма, как видно из уравнений (28), (29) и (31), зависят от квадрата угловой скорости начального звена. Заметим это, так как указанная зависимость будет иметь особое значение вдальнейшем, в той части курса, в которой рассматривается силовое нагружение звеньев механизма.

Изобразим графически для одного кинематического цикла зависимости , представленные уравнениями (16), (20) и (24) (рисунок 6). Если угловая скорость начального звена постоянна (= const), то , так что в этом случае по оси , графиков откладывается также и время t, а по осям - соответственно .и Поскольку графики связаны друг с другом процессом последовательного дифференцирования, их очертания строго увязаны, что четко усматривается на рисунке 6. Из графика ускорения видно также, что при = 0 и = π, когда ползун 3 занимает крайние положения (на рисунке 3 обозначены С/ и С//) и на мгновение останавливается (), его ускорение отнюдь не равно нулю, а, наоборот, имеет весьма большое значение.

Трудность аналитического метода состоит в необходимости составить выражения для аналогов скоростей и ускорений, что сделать не так-то просто. Однако большим достоинством аналитического метода является то, что он открывает возможность использовать для расчетов ЭВМ. Применение ЭВМ особенно эффективно в тех случаях, когда необходимо выполнить многократные вычисления кинематических характеристик для различных значений обобщенной координаты.

2 Силовой анализ механизма

2.1 Методика определения сил в кинематических парах

Силовой расчет механизмов заключается в определении сил в кинематических парах, а также неизвестных внешних сил и моментов. Результаты силового расчета необходимы для проведения прочностного расчета деталей механизма и определения механического КПД; в последнем случае силовой расчет проводится обязательно с учетом трения в кинематических парах.

Исходные данные для силового расчета: размеры, массы и моменты инерции звеньев, закон движения начального звена, одна из внешних сил (моментов), заданная графиком для всего цикла работы.

Силы взаимодействия звеньев будем обозначать буквой Q с двойным индексом. Первая цифра индекса показывает звено, со стороны которого действует сила; вторая цифра - звено, к которому приложена сила, например Q12 , - это сила, с которой звено 1 действует на звено 2.

Силовой расчет механизма будем производить методом с применением принципа Даламбера. При решении задачи к каждому звену, помимо заданных внешних сил и моментов, силы тяжести, искомых сил в кинематических парах, прикладывается главный вектор сил инерции и главный момент сил инерции Mф = - Jsi´ei . В результате вся система сил и моментов условно рассматривается в равновесии, и задачу динамики теперь можно считать методами статики.

Рассмотрение каждого, отдельного взятого звена с приложенными к нему силами и моментами не дает решения поставленной задачи, поскольку неизвестных больше, чем уравнений. Поэтому заданный плоский рычажный механизм расчленяется на первичный механизм и структурные, статически определимые группы Ассура, для которых число неизвестных равно числу уравнений.

Расчет начинают с той структурной группы, к звеньям которой приложены известные внешние силы и моменты, а заканчивают первичным механизмом.

Определение сил в кинематических парах структурной группы с вращательными парами (рисунок 6). Заданы внешние силы и моменты (например, P2H, M3 Н´м), массы звеньев m2,m3 в кг, моменты инерции звеньев J2S, J3S в кг´м2 относительно осей, проходящие через центр масс. Из плана ускорений определяем линейные ускорения в м/с2 центров масс, угловые ускорения звеньев e2, e3 в рад/с2 и вычисляем главные векторы сил инерции звеньев , в Н и главные моменты сил инерции

Mф2 = - J2S´e2 ; Mф3 = - J3S´e3 в Н´м.

Силы во внешних шарнирах A и C разложим на составляющие, направленные по звену и перпендикулярно к звену, (рисунок 6,а). Составляющие сил и находим из уравнений моментов сил относительно точки для каждого звена в отдельности. Для звена 2