Законы коммутации и начальные условия (стр. 4 )

; .

Для кабельных линий резко выражается емкостная проводимость , по сравнению с корой проводимость изоляции ничтожна мала. Кроме того, если частота не очень велика, то индуктивное сопротивление мало по сравнению с активным сопротивлением из-за малого расстояния между жилами. Поэтому пренебрегая параметрами и по сравнению с и , получаем упрощенные расчеты формулы , следовательно, , соответственно фазовая скорость в распространении волны в кабельной линии равна т. е пропорциональна корню квадратному из частоты.

В теории электромагнитного поля доказывается, что произведение удельных значений индуктивности и емкости в линии ; где - скорость света в пустоте м/с. и - диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, окружающие проводники. Тогда предел к которому стремится фазовая скорость, равен:

В случае воздушной линии и , фазовая скорость стремится в пределе к скорости света в пустоте. В случае кабельной линии , фазовая скорость примерно в 2 раза меньше скорости света.

57. Однородная линия без искажений.

Сигналы, переливаемые по линии связи, представляют собой множества различных частот: дискретных – в случае периодических несинусоидальных сигналов и образующих непрерывный спектр – в случае непериодических сигналов.

Неискаженной передачей сигнала называется такая передача, при которой форма сигнала в начале и конце линии одинакова, т. е. все ординаты кривой напряжения или тока в конце линии прямо пропорциональны соответствующим ординатам кривой в начале линии. Такое явление имеет место в том случае, когда коэффициент ослабления линии, а также фазовая скорость на всех частотах одинакова.

Неодинаковое затухание на разных частотах создаст так называемые амплитудные искажения, а неодинаковая скорость волн на разных частотах – фазовые искажения.

Для неискаженной передачи требуется, чтобы коэффициент ослабления не зависел от частоты, а коэффициент был прямо пропорционален частоте; в последнем случае фазовая скорость получается не зависящей от частоты. Такое положение имеет место при условии, что . (1)

В этом случае коэффициент распространения равен: ; с учетом (1)

Если считать, что первичные параметры линии не зависят от частоты, то коэффициент ослабления в данном случае будет постоянен: , а коэффициент фазы пропорционален частоте:

Линия, которая удовлетворяет условию (1) , называется линией без искажений, поскольку любые сигналы распространяются по ней с сохранением их формы. Линия без искажений является одновременно и линией с минимальным затуханием, которое только и возможно при заданных параметрах r и g.

Волновое сопротивление линии без искажений – действительное число, что равносильно активному сопротивлению, не зависящему от частоты:

Фазовая скорость в этих линиях постоянна и совпадает с выражением скорости распространения волны вдоль линии при бесконечно большой частоте:

Для устранения искажений, вызываемых несогласованностью сопротивления приемника с сопротивлением линии, т. е. во избежание возникновения отражений на приемном конце, сопротивление приемника должно быть равно . КПД в этом случае имеет наибольшее значение, равное , как в линии при согласованной нагрузке.

58. Однородная линия без потерь. Уравнения линии без потерь.

Независимо от того, соблюдается ли условие (для неискаженной передачи требуется, чтобы коэффициент ослабления не зависел от частоты, а коэффициент был прямо пропорционален частоте; в последнем случае фазовая скорость получается не зависящей от частоты, такое положение имеет место при условии, что .) или нет, во всех случаях желательно, чтобы активное сопротивление r и проводимость изоляции g были по возможности малы (для уменьшения потерь энергии).

В воздушных линиях обычно индуктивное сопротивление превышает активное сопротивление r, а емкостная проводимость превышает активную проводимость g. С ростом частоты разница между этими величинами становится более значительной.

В ряде случаев оказывается полезным в первом приближении рассматривать линию, не имеющую потерь, т. е. пренебрегать активным сопротивлением и проводимостью по сравнению с соответствующими реактивными составляющими. Такая идеализация допускается для приближенной качественной и количественной оценки исследуемых явлений. При этом весьма упрощаются расчетные выражения и гиперболические уравнения линии переходят в тригонометрические.

Итак, основным исходным предложением, которое делают при рассмотрении линии без потерь, является приближенное условие, что и , в этом случае вторичные параметры линии примут весьма простой вид, а именно: ; ; ;

Следовательно в линии без потерь ослабление отсутствует. Ввиду постоянства фазовой скорости отсутствуют также фазовые искажения.

Выражения для коэффициента фазы, фазовой скорости и волнового сопротивления линии без потерь совпадают с выражениями, полученными для линии без искажений (вопрос 57). Следовательно, все что сказано о линии без искажений, относится к линии без потерь.

Ввиду того что гиперболические функции с мнимым аргументом преобразуются в тригонометрические функции, гиперболические уравнения линии принимают тригонометрическую форму:

Эти уравнения используются для рассмотрения стоячих волн.

59. Линия без потерь. Уравнения линии. Построение распределения напряжений и токов вдоль линии при нагрузке ZН=3ZВ; ZН=ZВ.

Независимо от того, соблюдается ли условие (для неискаженной передачи требуется, чтобы коэффициент ослабления не зависел от частоты, а коэффициент был прямо пропорционален частоте; в последнем случае фазовая скорость получается не зависящей от частоты, такое положение имеет место при условии, что .) или нет, во всех случаях желательно, чтобы активное сопротивление r и проводимость изоляции g были по возможности малы (для уменьшения потерь энергии).

В воздушных линиях обычно индуктивное сопротивление превышает активное сопротивление r, а емкостная проводимость превышает активную проводимость g. С ростом частоты разница между этими величинами становится более значительной.

В ряде случаев оказывается полезным в первом приближении рассматривать линию, не имеющую потерь, т. е. пренебрегать активным сопротивлением и проводимостью по сравнению с соответствующими реактивными составляющими. Такая идеализация допускается для приближенной качественной и количественной оценки исследуемых явлений. При этом весьма упрощаются расчетные выражения и гиперболические уравнения линии переходят в тригонометрические.

Итак, основным исходным предложением, которое делают при рассмотрении линии без потерь, является приближенное условие, что и , в этом случае вторичные параметры линии примут весьма простой вид, а именно: ; ; ;

Следовательно в линии без потерь ослабление отсутствует. Ввиду постоянства фазовой скорости отсутствуют также фазовые искажения.

Выражения для коэффициента фазы, фазовой скорости и волнового сопротивления линии без потерь совпадают с выражениями, полученными для линии без искажений (вопрос 57). Следовательно, все что сказано о линии без искажений, относится к линии без потерь.

Уравнения линии в показательной форме:

Уравнения линии в гиперболической форме:

Положив в этих уравнениях, что , получим уравнения линии в гиперболической форме, выражающие напряжения и ток в начале через напряжения и ток в конце

:

Ввиду того что гиперболические функции с мнимым аргументом преобразуются в тригонометрические функции, гиперболические уравнения линии принимают тригонометрическую форму:

Последние уравнения используются для рассмотрения стоячих волн.

Построение распределения напряжений и токов вдоль линии при нагрузке ZН=3ZВ; ZН=ZВ.

При активной нагрузке ZН=3ZВ, максимумы и минимумы U и I совпадают по своему местоположению с аналогичными значениями для режима холостого хода. При активной нагрузке Максимумы и минимумы расположены так же как и при коротком замыкании. При согласованной нагрузке ZН=ZВ. , кривые U и I изображаются прямыми, параллельными оси абсцисс.

60. Линия без потерь. Уравнения линии. Возникновение стоячих волн. Распределение напряжения и тока вдоль линии в режимах холостого хода и короткого замыкания.

Независимо от того, соблюдается ли условие (для неискаженной передачи требуется, чтобы коэффициент ослабления не зависел от частоты, а коэффициент был прямо пропорционален частоте; в последнем случае фазовая скорость получается не зависящей от частоты, такое положение имеет место при условии, что .) или нет, во всех случаях желательно, чтобы активное сопротивление r и проводимость изоляции g были по возможности малы (для уменьшения потерь энергии).

В воздушных линиях обычно индуктивное сопротивление превышает активное сопротивление r, а емкостная проводимость превышает активную проводимость g. С ростом частоты разница между этими величинами становится более значительной.

В ряде случаев оказывается полезным в первом приближении рассматривать линию, не имеющую потерь, т. е. пренебрегать активным сопротивлением и проводимостью по сравнению с соответствующими реактивными составляющими. Такая идеализация допускается для приближенной качественной и количественной оценки исследуемых явлений. При этом весьма упрощаются расчетные выражения и гиперболические уравнения линии переходят в тригонометрические.

Итак, основным исходным предложением, которое делают при рассмотрении линии без потерь, является приближенное условие, что и , в этом случае вторичные параметры линии примут весьма простой вид, а именно: ; ; ;

Следовательно в линии без потерь ослабление отсутствует. Ввиду постоянства фазовой скорости отсутствуют также фазовые искажения.

Выражения для коэффициента фазы, фазовой скорости и волнового сопротивления линии без потерь совпадают с выражениями, полученными для линии без искажений (вопрос 57). Следовательно, все что сказано о линии без искажений, относится к линии без потерь.

Уравнения линии в показательной форме:

Уравнения линии в гиперболической форме -à:

Положив в этих уравнениях, что , получим уравнения линии в гиперболической форме, выражающие напряжения и ток в начале через напряжения и ток в конце:

Ввиду того что гиперболические функции с мнимым аргументом преобразуются в тригонометрические функции, гиперболические уравнения линии принимают тригонометрическую форму:

Последние уравнения используются для рассмотрения стоячих волн.

Пользуясь уравнениями линии в комплексной и гиперболической формах рассмотрим систему, где мнимый коэффициент распространения примем равным ,получим для любой точки линии на расстоянии x’ от конца:

Входящий в эти уравнения коэффициент отражения

представляет в общем случае комплексную величину. Эти уравнения показывают, что в любой точке x’ слагается из падающей и отраженной волн напряжения, амплитуды которых находятся в отношении 1:|n2|; в свою очередь комплексный ток равен разности падающей и отраженной волн тока с тем же соотношением амплитуд. Точкам , соответствует максимально действующее значение U, так как при этом фазы падающей и отраженной волн напряжения совпадают. На расстоянии от этих точек падающая и отраженная волны оказываются в противофазе и действующее напряжение имеет минимум.

Координаты максимумов и минимумов U, являющиеся функциями от и не зависят от времени, т. е. с течением времени остаются на одном месте.

При ,т. е. при равенстве амплитуд прямой и обратной волны, в лини устанавливаются стоячие волны напряжения и тока. Кривые действующих U и I вдоль линии представляют в этом случае “выпрямленные” синусоиды. На линии образуются узлы – точки где U и I равны нулю, и пучности – где U и I максимальны.

Условие выполняется в трех случаях: при (холостой ход), (короткое замыкание), и при (реактивная нагрузка). Это для линий без потерь.

Стоячие волны легко исследуются с помощью уравнений для линии без потерь:

При холостом ходе

Узлы напряжения находятся в очках, для которых , откуда .

Пучности напряжения находятся в точках, для которых , откуда

Разомкнутый конец линии совпадает с узлом тока и пучностью напряжения.

При коротком замыкании :

На замкнутом конце линии x’=0 и в точках, удаленных от него на целое число полуволн , находятся узлы напряжения и пучности тока, а в точках, удаленных от конца на нечетное число четвертей волн , находятся пучности напряжения и узлы тока.

61. Входное сопротивление однородной линии. Уравнения графики распределения сопротивления вдоль линии в различных режимах.

Входное сопротивление линии, измеренное в произволь­ной точке на расстоянии х' от конца, определяется отношени­ем Z=U/I и может быть представлено в комплексной или гиперболической форме. Будем считать, что линия нагружена на конце некоторым сопротивлением Z2, которое в зависи­мости от условий может быть любым.

На основании системы уравнений комплексное входное сопротивление линии

Данное выражение показывает, что с изменением коорди­наты х' модуль входного сопротивления линии колеблется между некоторыми максимумами и минимумами (которые в общем случае отличаются друг от друга).

Допустим, что модуль Z дocтигaeт некоторого максимума в точке . Тогда максимумы будут также в точках, соответ­ствующих изменению аргумента 2х' на 2, что дает

Следовательно, максимумы чередуются через каждые пол­волны. Посередине между максимумами будут минимумы, ко­торые также чередуются через каждые пол волны.

Если вместо координаты х' варьировать коэффициент фа­зы , меняя частоту источника, получится аналогич­ная волнообразная кривая, причем максимумы и минимумы будут отстоять друг от друга на /х' (здесь х' = const). Иссле­дуя изменение входного сопротивления линии при плавном изменении частоты источника, можно зафиксировать два следующих друг за другом максимума со­противления Z, соответствующих частотам и . В этом случае и, следовательно, откуда

При малом расхождении частот f1 и f2 фазовые скорости почти одинаковы: , а . Данная формула позволяет определить расстояние от точки наблюдения до ближайшей точки линии, в которой имеет место отражение (например, при коротком замыкании на линии), произведя измерение только в одной точке.

Так как коэффициент фазы определяется по формуле (17.46) неоднозначно, то проверка расчетов проводится с ис­пользованием формулы (17.14), причем первоначально фазо­вая скорость выбирается ориентировочно.

На рис. 17.11 показаны кривые изменения модулей Zx и ZK в зависимости от координаты х'. В пределе, т. е. при х' -» оо, максимумы и минимумы кривой стремятся к значению .

Входные сопротивления линии без потерь при холостом ходе и коротком замыкании могут быть рассчитаны по форму­лам (17.44) и (17.45) при замене

;

Эти реактивные входные сопротивления с учетом их знака изображаются отангенсоидами и тангенсоидами соответ­ственно (рис. 17.12). Аргументом может служить также вели­чина , если изменять частоту при постоянной длине х'.

Входное сопротивление линии без потерь при х' 4 но­сит индуктивный характер в режиме короткого замыкания и емкостный в режиме холостого хода. При х' = /4 в первом случае наступает резонанс токов (z =oo), во втором - резонанс напряжений (z=0).

Согласно уравнению (17.42), входное сопротивление линии без потерь, нагруженной произвольным сопротивлением ,

где Ф — аргумент комплексного коэффициента отражения

Входное сопротивление линии достигает максимума при , или На основании формул (17.48) и (17.49) волновое сопротив­ление линии без потерь может быть определено как среднее геометрическое максимального и минимального значений входного сопротивления линии:

Следует заметить, что в реальных условиях при наличии потерь входное сопротивление линии никогда не снижается до нуля и никогда не достигает бесконечного значения. При этом короткозамкнутая линия при х' 4 имеет большее входное сопротивление, чем разомкнутая линия при х' 2, а разомкнутая линия при х' 4 имеет меньшее входное со­противление, чем короткозамкнутая при х' 2

62. Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами.

Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами (в линиях, обмотках электр машин ) возникают при коммутациях, при передачи непериодических сигналов или под влиянием внешнего электромагнитного пол. Для исследования переходных процессов в однородных цепях с распределенными параметрами пользуются диф уравнениями в частных производных:

; , где х-координата рассматриваемой точки, отсчитываем от начала цепи; - параметры цепи на единицу длинны.

В общем виде решение этих диф уравнений достаточно сложно. Решение упрощается, если пренебречь потерями, т. е. считать что и равны нулю. В этом случае:

; . Дифференцируя уравнение по Х:

получаем:

Физически установившиеся волны представляют собой суммы прямых и обратных одиночных волн, отраженных от обоих концов линии.

При отсутствии потерь в однородной цепи с распределенными параметрами напряжение и ток могут быть представлена как сумма и как разность двух волн, движущихся с одинаковой скоростью в противоположных направлениях. При этом в любой точке однородной цепи отношение напряжения и тока для прямой и обратной волн равно волновому сопротивлению

63. Возникновение волн с прямоугольным фронтом в однородных длинных линиях

1) Имеем незаряж линии при t=0 присоед к источнику напряжения (идеальн)()

- ток смещения ;

Процесс распределения зарядов можно представить, что по мере перемещения волны слева направо элементы верхнего провода приобретают положительн заряд и такой же положительн заряд отнимается от нижнего провода. Противоположн заряды образуют Эл поле между проводом по всей длине линии, по каждому уже прошла волна. У фронта волны возник ток смещения. По мере движения волны цепь удлиняется, а ток смещения не меняется. В контуре охвач этой цепью образуется магнитный поток линии которого перпендикулярны всем проводам. При этом ЭДС самоиндукции у фронта волны направлен к противоположному напряжению

2)

3) При отключении источника от заряженной линии

4) При отключении нагрузки от заряженной линии

3. 4.

64.65.66. Отражение волн с прямоугольным фронтом от конца линии. Режимы ХХ и КЗ