Законы коммутации и начальные условия (стр. 1 )

1.  Законы коммутации и начальные условия.

В общем случае переходный процесс занимает некоторое (теоретически бесконечно большое) время. Например, можно услышать как постепенно снижается до нулевой громкость звука работающего радиоприемника при отключении его от источника электропитания.

Любой установившийся режим характеризуется определенным запасом энергии магнитного и электрического полей в каждый момент времени

, (1.1)

где ik (ul) - мгновенный ток (напряжение) в катушке Lk (на конденсаторе Cl ); k и l - индексы суммирования.

В переходном режиме происходит изменение запасенной в цепи энергии и это изменение не может происходить скачкообразно (мгновенно), так как скачкообразное изменение энергии потребует бесконечно больших мощностей P = dW / dt в цепи, что лишено физического смысла.

На основании этого вывода и соотношения (1.1) могут быть сформулированы два закона коммутации при конечных по величине воздействиях в цепи.

1. Ток в любом индуктивном элементе является непрерывной функцией времени и не может изменяться скачком, в частности для момента коммутации t = 0

iL(0+) = iL(0-) = iL(0) ,(1.2)

где t = 0- - момент времени непосредственно предшествующий моменту коммутации; t = 0+ - момент времени сразу после мгновенной коммутации.

2. Напряжение на любом емкостном элементе является непрерывной фуекцией времени и не может изменяться скачком. В частности для момента коммутации

uC(0+) = uC(0-) = uC(0) ,(1.3)

Таким образом, токи в индуктивностях и напряжения на емкостях в начальный момент t = 0+ после коммутации имеют те же значения, что и непосредственно перед коммутацией при t = 0- и затем плавно изменяются. Заметим, что токи и напряжения на резисторах, а также токи через емкости и напряжения на индуктивностях могут изменяться скачкообразно, так как с ними непосредственно не связана запасаемая в цепи энергия.

Начальные условия

Значения напряжений на емкостях и токов в индуктивностях цепи в момент коммутации, т. е. в начальный момент, образуют независимые начальные условия задачи. Независимые начальные условия определяют начальный запас энергии в цепи. Различают задачи с нулевыми начальными условиями, когда для всех емкостей uC(0+) = 0 и для всех индуктивностей iL(0+) = 0, и с ненулевыми, когда указанные требования нарушаются хотя бы в одном из реактивных элементов. Независимые начальные условия могут быть заданы или рассчитаны с применением законов коммутации.

Начальные значения токов в ветвях без катушек индуктивности или напряжений на элементах, не являющихся конденсаторами, называются зависимыми начальными условиями. Они определяются по независимым начальным условиям с применением законов Кирхгофа или других методов расчета для момента времени t = 0+.

2.Классический метод анализа переходных процессов

Классический метод анализа переходных процессов основан на составлении системы дифференциальных и алгебраических уравнений с использованием уравнений для элементов и законов Кирхгофа для мгновенных токов и напряжений в цепи:

Для определения интересующей реакции систему исходных уравнений путем исключения остальных переменных приводят к одному линейному уравнению n-го порядка с постоянными коэффициентами:

,(1.4)

где i(t) - искомая переменная; f(t) - правая часть, обусловленная возмущающими силами, т. е. функциями источников.

Напомним известные из курса математики сведения о решении линейных дифференциальных уравнений. Общее решение линейного дифференциального уравнения (1.4) определяется в виде суммы двух составляющих:

i(t) = iсв(t) + iвын(t

Первая составляющая называется свободной или собственной и определяется как общее решение соответствующего однородного уравнения, которое получается из (1.4) путем приравнивания нулю правой части f(t) = 0:

(1.6)

Для определения общего решения (1.6) составляется характеристическое уравнение, которое получается из (1.6) путем замены k - той производной на pk. При этом сама искомая переменная заменяется на единицу. Характеристическое уравнение

pn + bn-1pn-1 + ........... +b1p + b0 = 0(1.7)

является алгебраическим уравнением степени n и его корни pk определяют общее решение однородного дифференциального уравнения:

, (1.8)

где Ak - постоянные интегрирования.

Решение (1.8) записано для случая различных корней pk. Входящие в (1.8) n постоянных интегрирования определяются по известным независимым начальным условиям.

Заметим, что в однородном дифференциальном уравнении (1.6) правая часть приравнивается нулю, что означает отсутствие в цепи внешнего воздействия, т. е. источника. Поэтому токи и напряжения в ветвях цепи будут определяться только параметрами и свойствами самой цепи, а также начальным запасом энергии. Физически очевидно, что для реальных цепей собственная составляющая iсв(t) при отсутствии источников должна стремиться со временем к нулю. Эта составляющая существует во время переходного процесса.

Вторая составляющая iвын(t) решения (1.5) называется вынужденной и представляет собой частное решение неоднородного дифференциального уравнения (1.4) (с ненулевой правой частью). Из математики известно, что вид частного решения определяется видом правой части уравнения. В частности, если правая часть f(t) - константа, то и частное решение ищется в виде константы. Если правая часть является гармонической функцией с определенными частотой, амплитудой и начальной фазой, то и частное решение будет гармонической функцией той же частоты, для которой нужно определить амплитуду и начальную фазу.

Таким образом, вынужденная составляющая обусловлена воздействием источников в цепи и при t ®Ґ искомая переменная i(t) ® iвын(t). Поэтому вынужденная составляющая называется установившейся и определяется как установившееся значение (в случае постоянной вынуждающей силы) или как установившаяся функция (в случае гармонической вынуждающей силы) для искомой переменной в цепи после коммутации

iвын(t) = iуст(t) (1.9)

Необходимо отметить, что определение вынужденной составляющей в случае воздействия сигналов более сложной формы, чем упомянутые выше, представляет достаточно сложную задачу.

В заключении приведем рекомендуемый порядок расчета переходных процессов классическим методом.

1. Определить независимые начальные условия iLk(0+) и uCk(0+) с использованием законов коммутации.

2. Для цепи после коммутации составить систему уравнений Кирхгофа с использованием уравнений для элементов.

3. Полученную систему разрешить относительно искомой переменной. При этом получится одно дифференциальное уравнение n-ой степени, где n равно общему числу индуктивностей и емкостей, в которых можно задавать независимые начальные условия.

4. Определить решение полученного дифференциального уравнения

(1.10)

где iвын(t)=iуст(t) - вынужденная (установившаяся) составляющая; pk - корни характеристического уравнения; Ak - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

3. Переходный процесс в r, L – цепи при включении на источник постоянного напряжения

1.  iL(0-)=0

2.  iуст=E/r

3.  a)ri+Ldi/dt=E b)z(jw)=r+jwL

Lp+r=0 jwp

p=-r/L z(p)=0

0=pL+rp=-r/L

iLсв(t)=Aept

4.  iL(t)=iуст+iсв(t)=E/r+Aept

iL(0)=E/r+A 0=E/r+A

5.  iL(t)=E/r(1-e-rt/r)

4.Отключение r-l цепи от источника пост напряж

1.  iL(0-)=E/r1

2.  iLуст=0

3.  z(jw)=r1+r2 +jwL z(jw)=z(p) r1+r2+ph=0

4.  4. iL(t)=iLуст + Aept iL(0)=AE/r1 iL(t)=E/r1*e-(r1+r2)/2

Ur(0)=-I(r1+r2)=-E(r1+r2)/r1

UL(t)=-[E(r1+r2)/r1]*e-(r1+r2)t/L

5.Включение r-L цепи на синусоидальном токе

1.  iL(0-)=0

2.  iLуст(t)=e(t)=Emsin(wt+)

Imaxуст=Em/√(r2+XL2)

iLmaxуст(t)=Imaxsin(wt+-)

iLуст(0)=Imaxуст*sin(-)

3. p=-r/L

4. iL(t)=iуст(t)+iLсв(t)

iL(t)=Imaxsin(wt+-)+Aept

t=0 : iL(0)=iLуст(0)+A

0=Imaxустsin(-)

A=-Imaxустsin(-)

iL(t)=Imaxуст*sin(wt+-)-Imsin(-)e-rt/L

7.Характеристическое уравнение. Корни характеристического уравнения. Постоянные времени. Время переходного процесса.

Характеристическое уравнение имеет вид:

ri+L=E

Lp+r=0

p=-

Для определения вида свободной составляющей необходимо составить и решить характеристическое уравнение: z(p)=0.Для записи характеристического уравнения необходимо нарисовать схему, в которой все источники ЭДС и тока следует заменить на их же внутреннее сопротивление, а сопротивление индуктивности и емкости принять соответственно равным Pl и ,далее необходимо разорвать любую ветвь данной схемы, записать ее исходное сопротивление относительно точек разрыва, прировнять его нулю, решить и определить корни p, если корни получились действительными отрицательными, то своб. составляющая искомой функции:

,где m-количество корней уравнения;

-корни;-постоянные интегрируемые.

Если корни характер. уравнения получились комплексно сопряженными, то своб. сост. будет иметь вид:

где -частота свободных колебаний;

-начальная фаза свободных колебаний.

8.Время переходного процесса. Определение практически tпп. Расчет времени переходного процесса.

Время переходного процесса зависит от коэфициента затухания .Величина, обратная ,называется постоянной времени и представляет собой время, в течении которого значение свободной составляющей переходного процесса уменьшится в e=2,72 раза. Величина зависит от схемы и параметров. Так для цепи с последовательным соединением r и L = ,а при последовательном соединениии

R и C =Rc.

95% окончания переходного процесс 3.

Кривые свободных составляющих переходного процесса проще всего построить, задавая времени t значения 0, ,2…..Если вещественных корней несколько, то результирующая кривая получается путем суммирования ординат отдельных слагаемых (рис.1.)

Рисунок 1:

9.10,Переходный процесс в r, С – цепи при включении на источник постоянного напряжения. Анализ произвести классическим методом; привести аналитические выражения для UC(t); iC(t); графики. (Классический метод).

Уравнение состояния rC-цепи после коммутации следующее:

(1) ,или rC (2)

Его решение:

Емкость С после замыкания ключа при tзарядится до установившегося значения .Свободная составляющая

Поскольку начальные условия нулевые, согласно закону коммутации при t=0,или 0=A ,откуда A=-E.

Решение уравнения (2) примет вид:

+E=E(1-)

где =rC

Ток в цепи i(t)=C

Рисунок 1.

Рисунок 2.

Графики изменения напряжения и тока i(t) приведены на рисунке 1 и 2. Из рисунков видно, что напряжение на конденсаторе возростает по экспоненциальному закону от 0 до E, сила тока же в момент коммутации скачком достигает значения E/r, а затем убывает до нуля.

11.12.Переходный процесс в r, C – цепи при подключении к источнику синусоидального напряжения. Анализ произвести классическим методом; привести аналитические выражения для UC(t); iC(t); графики. (Классический метод).

Уравнение состояния rC-цепи в переходном режиме следующее

rC.

Решение этого уравнения:

Свободная составляющая

где =rC

Так цепь линейна, то при синусоидальном воздействиии в установившемся режиме напряжение на емкоститакже будет изменяться по синусоидальному закону с частотой входного воздействия, Поэтому для определения = воспользуемся методом комплексных амплитуд:

;

где =;

Учитывая, что j=,получаем:

откуда

Постоянную интегрирования А свободной составляющей

найдем из начальных условий в цепи с учетом закона коммутации:

.При t=0 последнее выражение имеет вид

0=A+

Откуда A=-

Cложив составляющие и ,получим окончательное выражение для напряжения на емкости в переходном режиме :

=+=- (1)

Анализ выражения (1) показывает, что переходный процесс в rC-цепи при синусоидальном воздействии зависит от начальной фазы ЭДС источника в момент коммутации и от постоянной времени rC-цепи.

Если ,то =0 и в цепи сразу после коммутации наступит установившийся режим, т.е.

==.

При напряжение =- , т. е. напряжение на емкости сразу после коммутации может достигать почти удвоенного значения положительного знака, а затем постепенно приближаться к = .

Разность фаз приведет уравнение (1) к виду:

=.

Отличие данного режима от предыдущего состоит в том, что напряжение на емкости сразу после коммутации может достичь почти удвоенного значения отрицательного знака.

Для расмотренной Rc-цепи с источником синусоидального тока в установившемся режиме начальная фаза входного напряжения никакой роли не играет, но в переходном процессе ее влияние существенно.

13.Переходный процесс в r, L, C – цепи при подключении к источнику постоянного напряжения. Периодический процесс. Аналитические выражения для i(t), графики. (Классический метод).

Uc(0-)=Uc

Il(j-)=0

Корни действительные, отрицательные, разные.

I(t)=Iуст+A1ep1t+A2ep2t

Процесс периодический:

t=0 {i(0)=A1+A2; A1=-A2

{

t=0 il(0)*r+L +Uc(0)=E A1=-A2=()

il(t)= ()

il(t)= ()

14.Переходный процесс в r, L, C – цепи при подключении к источнику постоянного напряжения. Критический процесс. Аналитические выражения для i(t), графики. (Классический метод).

p1=p2=-δ=

il(t)=iуст+(B1+B2*t)*

t=0 : il(0)=β1=0

il(t)= ()

Если корни получились действительные, отрицательные, равные, значит процесс критический.

15.Переходный процесс в r, L, C – цепи при подключении к источнику постоянного напряжения. Колебательный процесс. Аналитическое выражение для i(t), графики. (Классический метод).

Pt= -δ±j*ωсв ωсв=

Корни отрицательные действительные, частью комплексносопряженные.

il(t)=iустA1e-δt*sin(ωсвt+ψ)

il(t)=iуст+(M*cos ωсв t+N*sin ωсв t)*

il(t)= *=*

При δ→0

16. Переходный процесс в r, L, C – цепи при подключении к источнику синусоидального напряжения. Апериодический процесс. Аналитическое выражение для i(t), графики. (Классический метод).

R(t)=Emax*sin(ωt+ψ)

1.Н. Н.У

Uc(0)=Uc

il(0)=0

2.

φ=arctg

Iуст=imax*sin(ωt+ψ-φ)

t=0

il(t)= iуст(t)+iсв(t)

при Туст<ТАУ

при Туст≈ТАУ

при Туст>ТАУ

17.Переходный процесс в r, L, C – цепи при подключении к источнику синусоидального напряжения. Колебательный процесс. Математическое описание i(t), графики. (Классический метод).

R(t)=Emax*sin(ωt+ψ)

1.Н. Н.У

Uc(0)=Uc

il(0)=0

2.

φ=arctg

Iуст=imax*sin(ωt+ψ-φ)

t=0

il(t)= iуст(t)+iсв(t)

При Туст>Tα

При Туст≈Tсв

При Туст<Tсв

18.Алгоритм расчета переходных процессов классическим методом. Пример расчета.

В классическом Число уравнений в этом случае равно числу ветвей схемы

методе находится решение в виде суммы общего и частного решения. Расчета переходный процесс описывается системой обыкновенных дифф. уравнений, составленных одним из методов расчета для мгновенных значений функций времени. Решение для каждой переменной этой системы находится в виде суммы общего и частного решения. Для составления уравнения могут быть использованы: метод, основанный на применении законов Кирхгофа, метод узловых потенциалов, метод контурных токов и т. д. Например, система дифференциальных уравнений, составленная после коммутации согласно первому и второму законам Кирхгофа, имеет вид:

Например,

Число уравнений в этом случае равно числу ветвей схемы. Пусть требуется найти ток ik в ветви с номером К. Исключая последовательно токи ветвей, в результате получим ток ik и его производные до порядка n:

Порядок дифф. уравнения n определяется количеством независимых реактивных элементов схемы (m). Обычно n=m, но в зависимости от способа соединения может быть и так, что n<m. Это будет, например, в случаях, когда индуктивные и емкостные элементы включены последовательно, или, например, когда емкости соеденениы парал. И имеют одинаковые нач условия(рис9,4):

Последовательно включенные емкостные элементы можно заменить одним элементом, так же как и парал включенные индуктивные элементы можно заменить одним эквивалентным. На рисунке 9.5 показана замена 2х последовательно включенных емкостей одной эквивалентной.

В общем случае порядок диф. уравнения n равен : n=nlc-nce-nlj, где nlc-количество реактивных элементов(L и C) в схеме, nce - количество емкостных контуров, nlj-количество индуктивных узлов или сечений.

Под ёмкостным понимается контур, состоящих из емкостных элементов или емкостных элементов и идеальных источников ЭДС, рис 9.6.а. Под индуктивным понимается узел, в который сходятся индуктивные ветви или индуктивные ветви и источники тока(рис. 9.6.б), либо сечения, которые пересекают только индуктивные ветви или индуктивные ветви и источники тока.

Отметим, что этап составления диф. уравнения не явл-ся обязательным и переходный ток или напряжение могут быть найдены без составления ур-ния. Как было указано, в классическом методе расчета переходных процессов решения уравнений представляется виде суммы общего и частного решения.

Частное решение описывает режим, который называется принужденным. Решение однородного уравнения(правая часть равна нулю) описывает процесс при отсутствии внешних ЭДС и источников тока и называется свободным. Соответственно рассматриваются свободные и принужденные токи, напряжения, заряды.

Таким образом, ток в ветви с номером К представляется в виде суммы .

19.Основные положения операторного метода расчет

переходных процессов. Прямое преобразование Лапласа.

Основные положения опер. метода

Т. к. дифер. уравнения пер. процессов в линейных цепях

представляют собой лин. уравнения с постоянным коэф., то

их можно интегр. операторным методом.

сущонсть метода: заданная функцией(ф) вещественных переменной ф времени u(t), i(t) назыв. оригиналом сопостовления друг. ф. комплексн. переменной, которая наз. изображением. При этом производные интегралы от оригинала выражаются алгебр. ф. от изображения и начальных значений самой ф. её производных и интегралов.

Поэтому система инт.-диф. уравнений заменяется системой алгебр. уравн. Полученная система уравнений решается. В результате определяем изображения искомых функций. При помощи обратных преобразований получаются оригиналы, т. е. искомые функции токов и напряжений от времени.

Алгоритм:

Оригиналы i(t), u(t)=>прямое преобразование Лапласа=>i(p) u(p)=>решение алгебраическ. Уравнений=>обратное пр-ние Лапласа=>искомые изображения=>графики i(t) u(t)

Прямое преобразование Лапласа.

Пусть некоторая ф. f(t)=0 t<0 и имеет ограниченный рост при t>0 |f(t)|< Mдейств., вещ. М1е числа то f(p)= f(t) dt и этот интеграл абсолютно сходится

F(p) является ф. компл.-перемен, где p=jw и определена в полуплоскости Re[p]=S>=e f(t)=f(p)

20.Прямое преобразование Лапласа. Примеры получения изображений для элементарных функций

Прямое преобразование Лапласа.

Пусть некоторая ф f(t)=0 t<0 и имеет ограниченный рост при t>0 |f(t)|< Meft(ft-степень) действ., вещ. М1е числа то f(p)= f(t) dt и этот интеграл абсолютно сходится

F(p) является ф. компл.-перемен, где p=jw и определена в полуплоскости Re[p]=S>=e f(t)=f(p)

Примеры получения изображений для элементарных ф-ий.

f(t)={0, при t<0 и 1, при t>0

f(p)= 1dt=\p|0=1\p; I(t)=1\p;