СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ
 

Пижма

Тоншаевский район

Нижегородская область

2010г

15.3.12. Найти площадь параллелограмма построенного на векторах :

  1) { -8; 24; 12}, { 1 ; 18; 30}   2) { 14; 2 ; 5 }, { 2 ; 26; 29}

  3) { 9 ; 8 ; 12}, { 6 ; 8 ; 24}   4) { 12; 3 ; 4 }, { 12; 21; 28}

15.3.13. Найти угол между векторами , если:

1) { 5; -2; 7}, { 7 ; 5 ; 2 } 2) { 2; 1 ; 1 }, { -1; -1; 0 }

  3) { 7; 0 ; -1}, { 7 ; 4 ; 4 } 4) { 5; -4; 2 }, { 2 ; 2 ; -1}

5) { 5; -2; 7}, { -7; -5; -2} 6) { 7; 2 ; 1 }, { 1 ; 1 ; 0 }

7) { 4; 5 ; -2}, { -7; -5; -4} 8) {-4; 1 ; 1 }, { -1; -1; 0 }

15.3.14. Найти угол между прямыми АВ и СD, если:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

15.3.16. Какой угол образуют единичные векторы и , если известно, что вектора взаимно перпендикулярны?

15.3.17. На векторах построен параллелограмм. Найти острый угол между его диагоналями:

1) { 2 ; 1 ; 1 }, { 0 ; -1; 1 } 2) { 3 ; 2 ; 2 }, { 1 ; 0 ; 2 }

3) { 8 ; 3 ; 1 }, { 6 ; 1 ; 1 } 4) { 12; 3 ; 9 }, { -2; -7; 5 }

3.Коллинеарность векторов. Принадлежность точек одной прямой

Компланарность векторов. Принадлежность точек одной плоскости

15.4.5. Точки А, В, С, D являются вершинами четырехугольника. Уточните его вид, если:

1) А( 3; -4; 1 ), В( 5 ; 4 ; 17), C( 13; 18; 9 ), D(11; 10; -7)

2) А(-3; 7 ; 1 ), В( 2 ; 0 ; -2), C( 9 ; 2 ; -2), D( 4; 9 ; 1 )

3) А( 4; 6 ; -5), В( 7 ; 8 ; 18), C( 12; 12; 17), D( 9; 10; -6)

4) А(-1; 2 ; 7 ), В( 0 ; 14; 19), C( 12; 22; 10), D(11; 10; -2)

5) А( 0; -1; -4), В( 1 ; 3 ; 4 ), C( 7 ; 9 ; 7 ), D( 6; 5 ; -1)

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

6) А( 6; 1 ;-13), В( 5 ; 7 ; 5 ), C( 22; 13; -1), D(23; 7 ;-19)

7) А(-5; 8 ; 12), В( 7 ; 1 ; -3), C( 12; -4;-10), D( 0; 3 ; -5)

8) А( 1; 2 ; 9 ), В( 3 ; 8 ; 18), C( 9 ; 15; 12), D( 7; 9 ; 3 )

9) А(-2; 3 ; 4 ), В( 0 ; 7 ; -7), C( 5 ; 10; -5), D( 3; 6 ; 6 )

10) А(12; 3 ; 7 ), В( 8 ; -3; 5 ), C( -4; 1 ; 11), D( 0; 7 ; 13)

11) А(-6; 7 ; -3), В( -5; 13; 15), C( 1 ; 30; 9 ), D( 0; 24; -9)

12) А( 4; -1; 0 ), В( 2 ; 5 ; 9 ), C( 8 ; 11; 2 ), D(10; 5 ; -7)

15.4.6. Докажите, что АВСD - трапеция:

1) А( 1; 9 ; 2 ), В( 2 ; 11; 8 ), C( 2 ; 5 ; 12), D( 1; 6 ; 4 )

2) А(-2; 0 ; 5 ), В( -3; 3 ; 13), C( 0 ; 9 ; 28), D(-1; 2 ; 10)

3) А( 5;-31; 9 ), В( 3 ;-26; 12), C( 5 ;-29; 16), D( 9;-37; 17)

4) А( 0; 3 ; 12), В( 7 ; 5 ; 13), C( 1 ; 15; 27), D(-3; 8 ; 19)

15.4.7. Компланарные ли векторы , и , если:

  1) { -1; 2 ; 6 }, { 2 ; 7 ; -2}, { 4 ; 25; 6 }

  2) { 0 ; -3; 1 }, { 5 ; 4 ; 1 }, {-10;-17; 1 }

  3) { 1 ; -3; -1}, { 0 ; 2 ; 5 }, { 4 ;-10; 2 }

  4) { 2 ; -1; 3 }, { 1 ; 3 ; 2 }, { 3 ; -5; 4 }

  5) { 1 ; 2 ; 3 }, { -2; 7 ; 1 }, { 9 ; -4; 12}

  6) { 4 ; 1 ; -2}, { -3; 1 ; 7 }, { 17; -1;-25}

15.4.8. Докажите, что точки А, В, С, D лежат на одной плоскости, если:

1) А(-3; 5 ; 1 ), В( -2; 2 ; 5 ), C( -1; 6 ; 6 ), D(-7; -4; -6)

2) А( 0; 3 ; 7 ), В( -2; 8 ; 6 ), C( 3 ; 3 ; 8 ), D(21;-12; 15)

3) А( 4; 8 ; -1), В( 5 ; 5 ; 3 ), C( 6 ; 9 ; 4 ), D( 0; -1; -8)

4) А( 5; 1 ; 0 ), В( 3 ; 6 ; -1), C( 8 ; 1 ; 1 ), D(26;-14; 8 )

5) А( 2; 0 ; 1 ), В( 3 ; -3; 5 ), C( 4 ; 1 ; 6 ), D(-2; -9; -6)

6) А(-1; 2 ; 1 ), В( -3; 7 ; 0 ), C( 2 ; 2 ; 2 ), D(20;-13; 9 )

15.4.9. Докажите, что точки А, В, С, D не лежат на одной плоскости, если:

1) А( 2; 4 ; 7 ), В( 4 ; 1 ; 6 ), C( 6 ; 4 ; 8 ), D( 2; -2; 5 )

2) А(-3; 1 ; 2 ), В( 5 ; 4 ; 1 ), C( 2 ; 0 ; 2 ), D(-5; 6 ; 2 )

3) А(-3; 0 ; 5 ), В( -1; -3; 4 ), C( 1 ; 0 ; 6 ), D(-3; -6; 3 )

4) А(-6; 0 ; 3 ), В( 2 ; 3 ; 2 ), C( -1; -1; 3 ), D(-8; 5 ; 3 )

5) А( 0; -3; 7 ), В( 8 ; 0 ; 6 ), C( 4 ; -4; 7 ), D(-2; 2 ; 7 )

6) А( 1; 2 ; -4), В( 3 ; -1; -5), C( 5 ; 2 ; -3), D( 1; -4; -6)

15.4.10. Найти разложение вектора по векторам , и , если:

  1) { 3; 3 ; 7 }, { -3; -3 ; -1 }, { -2; -1 ; -4 }, { 3; 0; -7}

  2) {-3; 4 ; 1 }, { 0 ; 2 ; 7 }, { 9 ;-10; 5 }, {-30; 42; 15}

3) {3; 6 ; 3 }, { -3 ; 2 ; 2 }, { 5; -3; 4 }, { 15; -1; 17 }

  4) { 5; -3; 2 }, { 6 ; 0 ; 3 }, { 1 ;-15; -1}, { 31; 57; 21}

  5) { 6; 6; 3}, { 7; 2 ; 2 }, { -4 ; 5; 1}, { -18 ; -10;-6}

  6) { 6; -2; 3 }, { 2 ; 5 ; 1 }, { 4 ;-58; 3 }, { 26;-54; 14}

5. Уравнение плоскости. Угол между плоскостями.

Расстояние от точки до плоскости

15.5.1. Докажите, что прямая АВ лежит в плоскости a, если:

1)

2)

3)

4)

15.5.2. Составьте уравнение плоскости, проходящей точку А и перпенди - кулярной вектору :

1) А( -2; 3 ; 8 ),  { 2 ; -4 ; 5 } 2) А( 3 ; -5; 2 ),  { 1 ; -3 ; 1 }

3) А( 0 ; 2 ; -3),  { 2 ; 0 ; -3} 4) А( 5 ; -2; 9 ),  { -2; 1 ; 0 }

5) А( 8 ; -9; 2 ),  { 5 ; 0 ; 0 } 6) А( -6; 2 ; 7 ),  { 5 ; -3 ; 4 }

15.5.3. Докажите, что прямая АВ параллельна плоскости , если:

1)

2)

3)

4)

15.5.4. Составьте уравнение плоскости, проходящей через три данные точки А, В и С:

A

B

C

A

B

C

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15.5.13. При каком значении  t точки А, В, С и D лежат в одной плоскости?

1) А( 2; 4 ; 1 ), В( 0 ; 8 ; 9 ), C( 4 ; 5 ; 6 ), D(-2; 17; t )

2) А(-6; 4 ; 0 ), В( -8; 8 ; 8 ), C(-4 ; 5 ; 5 ), D( t; 17; 29)

3) А( 6;-2 ; 3 ), В( 4 ; 2 ; 11), C( 8 ; -1; 8 ), D( 2; t ; 32)

4) А( 2; 5 ; 1 ), В( 3 ; 7 ; 7 ), C( 2 ; 8 ; -1), D( 3; 13; t )

5) А(-3; 0 ; 2 ), В(-2 ; 2 ; 8 ), C( -3; 3 ; 0 ), D(-2; t ; 4 )

6) А( 4;-7 ; 1 ), В( 5 ;-5 ; 7 ), C( 4 ;-4 ; -1), D( t; 1 ; 3 )

15.5.14. Найти угол между прямой АВ и плоскостью a, если:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

15.5.15. Найти угол между плоскостями  и , если:

1)

2)

3)  

4)  

5)  

6)  

15.5.16. Две плоскости пересекаются по прямой l. Найти координаты точек пересечения прямой l с плоскостями xOy и zOy, величину синуса угла между этой прямой и плоскостью хОz:

1)

2)

3)

4)

15.5.17. Найти расстояние от точки А(х0;y0;z0) до плоскости:

плоскость точка плоскость точка

1) 2x - 6y + 9z - 4 = 0 A(6;1;1) 2) 5x + 14y - 2z - 4 = 0 A(-2;3;-1)

3) 2x - 3y - 6z - 7 = 0 A(8;0;x - 4y - 8z + 7 = 0 A(1;7;2)

15.5.18. Найти расстояние между параллельными плоскостями:

1) 2x - 3y + 6z + 28 = 0 и 2x - 3y + 6z - 14 = 0

2) 2x + 4y - 4z - 15 = 0 и 2x + 4y - 4z + 9 = 0

3) 6x - 6y - 7z + 25 = 0 и 6x - 6y - 7z - 8 = 0 

4) -x + 6y - 18z + 2 = 0 и - x + 6y - 18z + 9 = 0

6. Применение метода координат при решении задач

15.6.1. Известны координаты четырех вершин прямоугольного параллелепипеда АВСDА1В1С1D1: А(а;0;0), В(0;0;0), С(0;с;0), В1(0;0;в). Найдите координаты остальных вершин параллелепипеда и векторов, и , если:

1) а=2, в=3, с=5 ; 2) а=5, в=4, с=1 ; 3) а=10, в=7, с=6

4) а=1, в=8, с=2 ; 5) а=3, в=1, с=11; 6) а=18, в=2, с=4

15.6.2. В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1 известны длины сторон АВ, АD, АА1. Точка К лежит отрезке ВВ1; точка M лежит на отрезке DD1.

Найдите: 1) найдите координаты всех вершин параллелепипеда и точек К, М; 2) длину отрезка КМ; 3) уравнение плоскости КСМ; 4) расстояние от точки С1 до плоскости КСМ; 5) угол между прямой КМ и А1С; 6) угол между прямой АС1 и плоскостью СКМ; 7) угол между плоскостями СМК и АСС1:

1) АВ=2, AD=3, AA1=4, BK:KB1=1:3, DM:MD1=1:1;

2) АВ=4, AD=5, AA1=7, BK:KB1=4:3, DM:MD1=2:5.