Методические указания по самостоятельной работе по дисциплине: «Экономико-математическое моделирование» (стр. 6 )

№ месяца	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Производство И1, тыс. шт.	13	40	71	92	18	50	26	81	79	60	37	95
Производство И2, тыс. шт.	47	55	40	13	49	52	54	28	31	49	56	11

ВАРИАНТ 9. Пр1 = 105 руб./шт.; Пр2 = 180 руб./шт.

№ месяца	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Производство И1, тыс. шт.	67	105	41	88	130	115	95	47	65	124	103	121
Производство И2, тыс. шт.	92	75	86	86	43	66	83	88	93	53	76	57

ВАРИАНТ 10. Пр1 = 98 руб./шт.; Пр2 = 160 руб./шт.

№ месяца	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Производство И1, тыс. шт.	61	27	67	41	71	101	15	57	42	80	94	36
Производство И2, тыс. шт.	53	66	48	60	45	12	68	55	62	36	20	65

ВАРИАНТ 11. Пр1 = 210 руб./шт.; Пр2 = 220 руб./шт.

№ месяца	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Производство И1, тыс. шт.	35	71	11	14	46	52	17	109	26	79	122	116
Производство И2, тыс. шт.	58	56	48	53	59	60	54	33	56	51	16	24

ВАРИАНТ 12. Пр1 = 60 руб./шт.; Пр2 = 90 руб./шт.

№ месяца	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Производство И1, тыс. шт.	86	51	84	119	139	143	59	106	90	74	116	141
Производство И2, тыс. шт.	95	85	96	86	68	69	89	92	95	93	88	71

Задание 2:

Производственная функция фирмы имеет следующий вид:

Определить предельные эффективности по ресурсам.

Написать уравнение и построить изокванту

Х = 3N + 1,

где

N - номер варианта.

Найти норму замены первого ресурса вторым в точке

х1 = 8, х2 = 1.

Задание 3:

Производственная функция фирмы имеет следующий вид:

Определить максимальный выпуск, если

х1 + х2 + х3 = 2*N,

где

N − номер варианта.

Каковы предельные продукты в оптимальной точке?

Задание 4:

Необходимо оценить работу некоторой отрасли, если известен объем производства отрасли Y, затраты трудовых ресурсов L и объем используемого капитала К:

№п/п	Y	K	L
1	100	100	100
2	101	107	104.8
3	112	114	110
4	122	122	117.2
5	124	131	121.9
6	122	138	115.6
7	143	149	125
8	152	163	134.2
9	151	176	139.9
10	126	185	123.2
11	155	198	142.7
12	159	208	147
13	153	216	148.1
14 15	177 184	226 236	155 156.2
16	169	244	152.2
17	189	266	155.8
18	225	298	183
19	227	335	197.5
20	223	366	201.1
21 22	218 231	387 407	195.9 194.4
23	179	417	146.4
24	240	431	160.5

Исходя из теоретических знаний, можно предположить, что зависимость объема производства от труда и капитала описывается ПФ Кобба-Дугласа.

Необходимо оценить значения параметров ПФ с помощью регрессионного анализа.

Порядок выполнения задания:

1)  ПФ Кобба-Дугласа привести к линейному виду путем логарифмирования;

2)  получить уравнение множественной регрессии;

3)  с помощью встроенной функции линейной регрессии или с помощью сервисного пакета "Анализ данных" оценить параметры регрессии;

4)  рассчитать теоретические значения объема производства;

5)  с помощью <Мастера диаграмм> построить графики фактических Y и теоретических Y* значений объема производства отрасли, типа:

Рис. Производственная функция.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ДОСТИЖЕНИЯ РЫНОЧНОГО РАВНОВЕСИЯ.

Краткая теория.

Механизм построения паутинообразной модели.

Достаточно полное представление о том, каким образом происходит "нащупывание" состояния равновесия на рынке товаров, дает так называемая паутинообразная модель.

Ее построение основано на предположении, что спрос и предложение являются функциями от цены.

Естественно считать, что спрос в данный момент времени зависит от цены в этот же момент времени, а предложение - от цены в предшествующий момент времени: то есть имеется запаздывание в реакции производства на изменение цены.

Так, с увеличением цены спрос обычно падает, а предложение возрастает.

Значение цены, при котором устанавливается равенство спроса и предложения и которое не приводит к дальнейшим изменениям их, называется равновесным.

Графически процесс "нащупывания" равновесных цен проиллюстрирован на рисунке:

Рис. Паутинообразная модель.

Контрольные задания:

Задание 1:

По данным таблицы рассчитать траектории изменения цены, спроса и предложения и построить график движения цены к равновесному состоянию:

№ п/ п	Цена	Спрос	Предложение
1	7,50	23,25	10,13
2	15,38	19,32	12,87
3	19,25	17,39	14,24
4	21,12	16,44	14,90
5 6	24,21 25,53	14,90 14,24	15,98 16,44
7	28,25	12,89	17,39
8	33,75	10,13	19,32

Порядок выполнения задания.

1.  Ввести исходные данные на рабочий лист EXCEL.

2.  Оценить параметры регрессионной зависимости спроса от цены с помощью пакета Анализ данных или с помощью встроенной функции линейной регрессии.

3.  Оценить параметры регрессионной зависимости предложения от цены.

4.  Записать условие равновесия спроса и предложения.

5.  Рассчитать траектории изменения цены, спроса и предложения:

а) на свободное поле рабочего листа EXCEL (например, в ячейки А12 и А13) дважды ввести значение первоначальной цены, равной 7,5;

б) в ячейку А14 ввести соответствующую формулу и скопировать ее в блок А15...А27;

в) в ячейку В12 ввести соответствующую формулу и скопировать ее в блок В13…В27;

г) в ячейку С12 ввести соответствующую формулу и скопировать ее в блок С13...С 27;

д) в ячейки Д12 и Д13 ввести соответствующие формулы и последнюю из них скопировать в блок Д14...Д27.

В результате этих действий таблица расчетных значений точек траекторий будет иметь следующий вид:

Цена	Траектория спроса	Траектория предложения	Траектория движения к равновесной цене
7,500	23,254	10,124	23,254
7,500	23,254	10,124	10,124
33,771	10,124	19,326	10,124
33,771	10,124	19,326	19,326
15,359	19,326	12,877	19,326
15,359	19,326	12,877	12,877
28,263	12,877	17,397	12,877
28,263	12,877	17,397	17,397
19,219	17,397	14,229	17,397
19,219	17,397	14,229	14,229
25,557	14,229	16,449	14,229
25,557	14,229	16,449	16,449
21,115	16,449	14,893	16,449
21,115	16,449	14,893	14,893
24,228	14,893	15,984	14,893
24,228	14,893	15,984	15,984

6.  По данным, описывающим траекторию цены, спроса и предложения, построить график типа XY, назначив Х блок А12...А27, Y1 - блок В12...В27, Y2 - блок С12...С27, Y3 блок Д12...Д27.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ПРОИЗВОДСТВЕННО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.

Краткая теория:

Модели оптимального планирования в экономике.

Модели оптимального использования производственных мощностей предприятия.

Экономико-математический анализ полученных оптимальных решений.

Интерпретация оценок при различных критериях оптимальности.

Математический аппарат оптимизационных моделей.

Понятие об экстремальных задачах.

На любое производство, какое бы оно ни было простым по своей технологии, воздействует множество факторов.

Поскольку каждый фактор влияет на результат, то изменение действия хотя бы одного из этих факторов создает новый результат.

В связи с этим получаются неодинаковые результаты, зависящие от сочетания факторов.

Математически точки, в которых исследуемая зависимость (функция) достигает наибольшей (максимальной) или наименьшей (минимальной) величины, называются экстремумами или экстремальными точками.

Поэтому и задачи, в которых требуется найти координаты экстремальных точек и выявить величины самих экстремумов называются экстремальными.

Смысл деятельности руководителей заключается в такой организации производства, при которой достигается выполнение поставленной цели: максимум производительности труда или минимум себестоимости; максимальный выпуск продукции по передовым технологиям с минимальным использованием производственных фондов и т. п.

В этой связи все практические производственно-экономические задачи являются экстремальными задачами.

Даже в относительно простых и небольших по размеру задачах трудно перебрать все варианты, сравнить их и выбрать оптимальный, не располагая соответствующими математическими методами и средствами.

И только теперь, когда все шире применяются количественные методы, когда на помощь экономистам, руководителям пришла современная математика и компьютеры, появилась возможность выбирать действительно оптимальные варианты решения экстремальных производственно-экономических задач.

Критерий оптимальности производственно-экономических задач.

Принцип оптимума играет большую роль в решении многих задач конкретной экономики, помогая выбрать правильное решение из большого числа возможных (альтернативных) вариантов.

Для того, чтобы правильно решить задачу составления планов и выбора экономически обоснованных управленческих решений, необходимо выбирать такие экономические значения (категории), при которых наилучшим образом удовлетворяется некоторая общая цель, принимаемая за критерий оптимальности решения.

В качестве критерия оптимальности принимаются такие экономические категории как цена, себестоимость 1 единицы, прибыль, время.

Различают:

·  глобальные критерии оптимальности - принимаются верхними уровнями управления;

·  локальные критерии оптимальности - принимаются управляющей системой для решения локальных задач.

При этом необходимо отметить, что локальные критерии оптимальности не должны идти в разрез с глобальными.

Значения экономических категорий подобранные таким образом, что поставленная цель удовлетворяется при заданных условиях наилучшим образом, называются оптимальными значениями, а составленный таким образом план - оптимальным планом.

Во всех случаях, когда речь идет об отыскании оптимального плана (решения), критерий оптимальности должен быть установлен не в общем виде, а как количественный показатель, поддающийся выражению числом.

Он должен конкретизироваться в определенном показателе, величина которого зависит от значения переменных, т. е. может быть представлена как их функция.

Оптимальным является такой план, в котором показатель критерия оптимальности приведен к возможному при заданных условиях минимуму или максимуму.

В математической форме задача может быть сформулирована следующим образом: существует такая система величин (переменных), о которых известно, что они могут принимать различные значения, определяемые условиями задачи, т. е. изменяться в заданных пределах.

Требуется найти значения этих величин, приводящие к максимуму (минимуму) некоторую их функцию.

Пусть производственная фирма выпускает один вид продукции или много видов, но в постоянной структуре.

Обозначим через

Х - годовой выпуск фирмы в натурально-вещественной форме.

Для производства продукции фирма использует настоящий труд

L - среднее число занятых в год,

и прошлый труд в виде средств труда

К − основные производственные фонды

и предметов труда

М − затраченное за год топливо, энергия, сырье и т. п.

Пусть

X = (X1, Х2, ..., Хn )т - вектор-столбец возможных объемов затрат различных видов ресурсов.

Тогда технология фирмы определяется производственной функцией вида:

X = F(X),

где

F(X) - дважды непрерывно дифференцируемая функция и матрица ее вторых производных отрицательно определена.

Рассмотрим функцию прибыли:

П(X) = рF(X) – W(X),

где

р - цена единицы продукции,

W = (W1, W2, ..., Wn)- вектор-строка цен ресурсов.

Если нет других ограничений на размеры вовлекаемых в производство ресурсов, кроме естественного требования их неотрицательности, то задача на максимум прибыли приобретает вид:

max [pF(X) – W(X)].

X > 0

Это задача нелинейного программирования.

Необходимыми условиями ее решения являются условия Куна-Таккера.

Если в оптимальном решении использованы все виды ресурсов, то X > 0, и в оптимальной точке стоимость предельного продукта данного ресурса должна равняться его цене.

Если рассматривать задачу на максимум выпуска при заданном объеме издержек С :

max F(X),

W(X) < С,

X > 0,

то это задача нелинейного программирования с одним линейным
ограничением и условием неотрицательности переменных.

Для ее решения вначале строим функцию Лагранжа, а затем максимизируем ее при условии неотрицательности переменных.

Пример:

Дана производственная функция, связывающая объем выпуска продукции предприятия с численностью рабочих , производственными фондами и объемом используемых станко-часов :

.

Необходимо определить максимальный выпуск продукции при ограничениях:

,

.

Решение:

Для решения задачи составляем функцию Лагранжа:

,

дифференцируем ее по переменным , , , и полученные выражения приравниваем к нулю:

Из первого и третьего уравнений следует, что

,

поэтому

откуда получим решение

,

при котором у = 2.

Поскольку, например, точка (0, 2, 0) принадлежит допустимой области и в ней у = 0, то делаем вывод, что точка (1, 1, 1) – точка глобального максимума.

Экономические выводы из полученного решения очевидны.

Контрольные задания:

Задание 1:

Выпуск однопродуктовой фирмы задается производственной функцией Кобба-Дугласа:

X = F(K, L) = 3K2/3L1/3.

На аренду фондов и оплату труда выделено 150 ден. ед.; стоимость аренды единицы фондов Wk =5 ден. ед./ед. ф.; ставка заработной платы WL = 10 ден. ед./чел.; цена единицы продукции р = 5 ден. ед.

Определить максимальный выпуск X двумя способами:

1)  по задаче на максимум прибыли

2)  по задаче на максимум выпуска при заданном объеме издержек.

Решение проиллюстрировать графически, построив изокосты (линии постоянных издержек) для С = 50, 100, 150 и изокванты (линии постоянных выпусков) для Х = 25.2; X = 37,8.

Определить предельную норму замены одного занятого фондами в оптимальной точке.

Порядок выполнения задания.

1.  Определите оптимальный выпуск продукции по задаче на максимум выпуска.

2.  Определите оптимальный выпуск продукции по задаче на максимум прибыли.

3.  Проиллюстрируйте решение задачи геометрически. Для этого постройте изокосты для С = 50, 100, 150 и изокванты для Х = 25,2; 37,8.

4.  С помощью <Мастера диаграмм> постройте изокосты и изокванты, выбрав "точечный" вариант построения графиков.

Задание 2:

Прибыли двух фирм, конкурирующих на рынке одного товара, и цена товара соответственно равны:

где

N − номер варианта,

X1, X2 − выпуски фирм.

Определить оптимальный выпуск каждой фирмы в модели Курно.

Каков будет общий выпуск при объединении фирм?

Задание 3:

Предприятие выпускает два вида продукции, используя три вида ресурсов (ресурсы: А, Б, В).

Пользуясь данными таблицы, требуется:

·  найти план выпуска продукции, обеспечивающий максимум прибыли, записать полное решение и объяснить его с экономической точки зрения;

·  доказать оптимальность полученного решения;

·  определить насколько возрастет прибыль при увеличении объема наиболее дефицитного ресурса на одну единицу;

·  выяснить стоит ли включать в план выпуска продукцию третьего вида.

1 – вариант

Технологические коэффициенты
А	5	1	1	2
Б	18	6	3	5
В	8	4	0	1
Прибыль от реализации единицы продукции		4	3	5

2 – вариант

Технологические коэффициенты
А	8	1	2	2
Б	3,5	0	1	3
В	12	3	2	1
Прибыль от реализации единицы продукции		7	10	8

3 – вариант

Технологические коэффициенты
А		1	2	1
Б	12	0	1	1,5
В	5	1	1	0
Прибыль от реализации единицы продукции	9	1	3	2

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА:

1.  , , Черемных методы в экономике: Учебник. – М.: Изд. «ДИС», 1997.

2.  , , и др. Экономико-математические
методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов.- М.:
ЮНИТИ, 1999.

3.  , , Черемных методы в экономике.- М.: МГУ им. , Изд-во ''Дело и Сервис", 1999.

4.  . Математическая экономика.- М.: ЮНИТИ,1998.

5.  Экономико-математические методы и прикладные модели. Под редакцией - М.:ЮНИТИ, 1999.

6.  Федосеев -математические методы и прикладные модели М.: ЮНИТИ, 2001.

7.  , Эриашвили -математические методы и модели в маркетинге. – М.: ЮНИТИ, 2001.

8.  Замков методы в экономике. - М.: 1997.

9.  Горчаков экономико-математические модели. - М.: 1995.

10. Тарасевич -математические методы и модели в ценообразовании. - Л.: 1991.

11. Математическая экономика на персональном компьютере. - М.: 1991.

12. Карасев методы и модели в планировании. - М.: 1987.

13. Математические методы оптимизации и экономическая теория. - М.: Прогресс, 1975.

14. Лотов в экономико-математическое моделирование. - М.: 1984.

15. Ашманов в математическую экономику. - М.: 1984.

16. Лопаткин -математический словарь. - М.: 1987.

17. Малик экономики и математические методы в планировании. – М.: Высшая школа, 1988.

18. Матричная алгебра в экономике. – М.: Статистика, 1974.

19. , , Сиднев -математические методы в планировании и управлении. – Киев, Вища школа, 1984.

20. экономико-математические методы анализа потребительского спроса. – М.: МКИ, 1993.

21. Немчинов -математические методы и модели. – М.: Мысль, 1965.