Курсовая работа Геометрия Лобачевского и ее модели

Министерство Образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Елецкий государственный университет им.

Физико - математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

Геометрия Лобачевского и ее модели

Выполнил:

Студент

Научный руководитель:

Елец - 2009
Оглавление

Введение ……………………………………………………………………..	3
Глава I. История создания геометрии Лобачевского……………….	4
1.1	История создания геометрии Лобачевского………………………..	4
1.2	Основные понятия геометрии Лобачевского. Некоторые теоремы геометрии Лобачевского…………………………………………….	7
1.3	Приложения геометрии Лобачевского……………………………...	13
Глава II. Модели геометрии Лобачевского …………………………..	16
2.1	Модель (интерпретация) Бельтрами ………………………………..	16
2.2	Модель Кэли – Клейна плоскости Лобачевского…………………..	18
2.3	Модели Пуанкаре…………………………………………………….	22
Заключение………………………………………………………………….	27
Литература……………………………………………………………………	29

Введение

Открытие того, что евклидова геометрия не яв­ляется единственно возможной, сделанное в начале прошлого века Гауссом, Лобачевским и Больяи, оказало влияние на мировоззрение человечества, сравнимое с влиянием таких великих открытий ес­тественных наук, как гелиоцентрическая система Коперника или эволюционная теория Дар­вина. Начиная с конца прошлого века неевклидова геометрия, наряду с евклидовой, является одним из рабочих инструментов математики, несмотря на то что "пространство, в котором мы живем", в доступ­ных нашему пониманию пределах является скорее евклидовым, чем неевклидовым.

Если под неевклидовой геометрией понимать любую геометрию, отличную от евклидовой, то имеется необозримое множество таких геометрий. Было бы трудно сказать что-либо обо всех них сразу. В на­стоящей работе под термином «неевк­лидова геометрия» подразумевается геометрия Лобачевского или двойствен­ная ей сферическая геометрия. Среди геометрий, в которых имеется по­нятие расстояния между точками, эти две геомет­рии вместе с евклидовой геометрией занимают осо­бое положение. Их можно охарактеризовать как геометрии максимальной подвижности или геомет­рии постоянной кривизны, они являются в извест­ном смысле наиболее совершенными.

В конце прошлого века в работах Пуанкаре и Клейна была установлена прямая связь геометрии Лобачевского с теорией функций комплексной пе­ременной и с теорией чисел. С тех пор ап­парат геометрии Лобачевского стал неотъемлемым компонентом этих разделов математики.

Целью данной работы является геометрия Лобачевского. В курсовой работе рассматриваются основные понятия геометрии Лобачевского, приводятся некоторые примеры теорем неевклидовой геометрии и показываются различные приложения геометрии Лобачевского. Особое внимание уделяется моделям (интерпретациям) данной геометрии, подробно рассмотрены модели Бельтрами, Кэли-Клейна, Пуанкаре.

Глава I. История создания геометрии Лобачевского

1.1 История создания геометрии Лобачевского. Пятый постулат Евклида

В развитии Геометрия можно указать четыре основных периода, переходы между которыми обозначали качественное изменение геометрии.

Первый — период зарождения геометрии как математической науки — протекал в Древнем Египте, Вавилоне и Греции примерно до 5 в. до н. э. Первичные геометрические сведения появляются на самых ранних ступенях развития общества. Зачатками науки следует считать установление первых общих закономерностей, в данном случае — зависимостей между геометрическими величинами.

Второй период развития геометрии связан со становлением геометрии в самостоятельную математическую науку: появились систематические её изложения, где её предложения последовательно доказывались. Известны упоминания о систематическом изложении геометрии. Сохранились и появившиеся около 300 г. до н. э. «Начала» Евклида.

Третий период выделяют с 1-й половины XVIIв Р. Декартом, который ввёл в геометрию метод координат. Метод координат позволил связать геометрию с развивавшейся тогда алгеброй и зарождающимся анализом. Применение методов этих наук в геометрии породило аналитическую геометрию, а потом и дифференциальную.

Четвёртый период в развитии геометрии открывается построением в 1826 новой, неевклидовой геометрии, называемой теперь геометрией Лобачевского.

23 февраля 1826 года российский математик Николай Иванович Лобачевский (1г) на заседании физико-математического факультета Казанского университета провозгласил о создании новой геометрии, названной им «воображаемой геометрией». Эта геометрия была основана на тех же традиционных постулатах и аксиомах геометрии, как и у Евклида (330-275 г. до н. э.), но с заменой его пятого постулата о параллельных: «на плоскости через точку, взятую вне данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной прямой, а все остальные прямые, проходящие через эту точку, пересекаются с данной прямой», на новый пятый постулат о параллельных: «на плоскости через точку, взятую вне данной прямой, можно провести две и только две прямые, параллельные данной, а также бесконечное множество прямых, которые не пересекаются с данной прямой и ей не параллельны, и бесконечное множество прямых, которые пересекаются с данной прямой». [2]

Независимо от Лобачевского к подобным идеям пришёл венгерский математик Янош Больяи (г), опубликовавший свою работу на три года позже Лобачевского (1832 год) и выдающийся немецкий математик (г), у которого после его смерти были найдены отдельные неопубликованные наброски начальных положений неевклидовой геометрии.

Полное признание и широкое распространение геометрия Лобачевского получила через 12 лет после его смерти, когда стало понятно, что научная теория, построенная на базе некоторой системы аксиом (исходных положений, принимаемых без доказательства) считается только тогда полностью завершённой, когда эта система аксиом удовлетворяет трём условиям: независимости, непротиворечивости и полноты.

Именно этим свойствам и удовлетворяет геометрия Лобачевского.

1.2 Основные понятия геометрии Лобачевского. Некоторые теоремы геометрии Лобачевского

1. Основные понятия геометрии Лобачевского

В евклидовой геометрии соглас­но пятому постулату на плоскости через точку Р, лежащую вне прямой А'А, проходит только одна прямая В'В, не пересекающая А'А. Прямая В'В называется параллелью к А'А. При этом достаточно потребовать, чтобы таких прямых проходило не более одной, так как существование непересекающей прямой может быть до­казано путем последовательного проведения прямых PQA'A и PBPQ. В геометрии Лобачевского аксиома параллельности требует, чтобы через точку Р проходило более одной прямой, не пересекающей А 'А.

Рис. 1

Непересекающие прямые заполняют часть пучка с вершиной Р, лежащую внутри пары вертикальных углов TPU и U'PT', рас­положенных симметрично относительно перпендикуля­ра PQ. Прямые, образующие стороны вертикальных углов, отделяют пересекающие прямые от непересекаю­щих и сами являются тоже непересекающими. Эти гра­ничные прямые называются параллелями в точке Р к прямой А'А соответственно в двух ее направлениях: T'Т параллельно А 'А в направлении A'A, a UU' па­раллельно А 'А в направлении А А'. Остальные непересекающие прямые называются расходящимися прямыми с А 'А.

Угол , 0< </2, параллель к точке Р об­разует с перпендикуляром PQ, QPT= QPU' =, называется углом параллельности отрезка PQ=a и обозначается через . При а=0 угол =/2; при увеличении а угол уменьшается так, что для каж­дого заданного , 0<</2, существует определен­ное значение а. Эта зависимость называется функцией Лобачевского:

П (a)=2arctg (),

где к — некоторая константа, определяющая фикси­рованный по величине отрезок. Она получила назва­ние радиуса кривизны пространства Лобачевского. Подобно сферической геометрии су­ществует бесконечное множество пространств Лоба­чевского, различающихся величиной к.

Две различные прямые по плоскости образуют пару одного из трех типов.

Пересекающиеся прямые. Расстояние от точек одной прямой до другой прямой неограниченно увеличивается при удалении точки от пересечения пря­мых. Если прямые не перпендикулярны, то каждая про­ектируется ортогонально на другую в открытый отрезок конечной величины.

Параллельные прямые. На плоскости че­рез данную точку проходит единственная прямая, па­раллельная данной прямой в заданном на последней направлении. Параллель в точке Р сохраняет в каждой своей точке свойство быть параллелью той же прямой в том же направлении. Параллелизм обладает взаим­ностью (если а||b в определенном направлении, то и b||а в соответствующем направлении) и транзитивно­стью (если а||b и с||b в одном направлении, то а||с в со­ответствующем направлении). В направлении парал­лельности параллельные неограниченно сближаются, в противоположном направлении — неограниченно удаляются (в смысле расстояния от перемещающейся точки одной прямой до другой прямой). Ортогональная проекция одной прямой на другую является открытой полупрямой.

Расходящиеся прямые. Они имеют один общий перпендикуляр, отрезок которого дает минимальное расстояние. По обе стороны от перпендикуляра пря­мые неограниченно расходятся. Каждая прямая про­ектируется на другую в открытый отрезок конечной величины.

Трем типам прямых соответствуют на плоскости три типа пучков прямых, каждый из которых покрывает всю плоскость: пучок 1-го рода — множество всех прямых, проходящих через одну точку (центр пуч­ка); пучок 2-го рода — множество всех пря­мых, перпендикулярных к одной прямой (базе пуч­ка); пучок 3-го рода — множество всех пря­мых, параллельных одной прямой в заданном направ­лении, включающее и эту прямую.

Ортогональные траектории прямых этих пучков об­разуют аналоги окружности евклидовой плоскости: окружность в собственном смысле; эквидистанта, или линия равных расстояний (если не рассматривать базу), которая вогнута в сторону базы; предельная линия, или орицикл, ее можно рассматривать как окружность с бесконечно удаленным центром. Предельные линии конгруэнтны. Они не замкнуты и вогнуты в сторону параллельности. Две предельные линии, порожденные одним пучком,— концентричны (высекают на прямых пучка равные отрезки). Отношение длин концентрических дуг, заключенных между двумя прямыми пучка, убы­вает в сторону параллельности как показательная функ­ция расстояния х между дугами:

s' / s=e.

Каждый из аналогов окружности может скользить по самому себе, что порождает три типа однопараметрических движений плоскости: вращение вокруг собствен­ного центра; вращение вокруг идеального центра (од­на траектория — база, остальные — эквидистанты); вращение вокруг бесконечно удаленного центра (все траектории — предельные линии).

Вращение аналогов окружностей вокруг прямой по­рождающего пучка приводит к аналогам сферы: соб­ственно сфере, поверхности равных расстояний и орисфере, или предель­ной поверхности.

На сфере геометрия больших окружностей — обыч­ная сферическая геометрия; на поверхности равных расстояний — геометрия эквидистант, являющаяся планиметрией Лобачевского, но с большим значением к; на предельной поверхности — евклидова геометрия предельных линий.

Связь между длинами дуг и хорд предельных линий и евклидовы тригонометрические соотношения на предель­ной поверхности позволяют вывести тригонометрические соотношения на плоскости, то есть тригонометрические фор­мулы для прямолинейных треугольников. [5]

2. Некоторые теоремы геометрии Лобачевского

Теорема 1. Сумма углов всякого треугольника меньше 2d.

Рассмотрим сначала прямоугольный треугольник ABC (рис. 2). Его стороны а, b, с изображены соответственно в виде отрезка евклидова перпендикуляра к прямой и, дуги евклидовой окружности с центром М и дуги евклидовой окружности с центром N. Угол С—прямой. Угол А равен углу между касательными к окружностям b и с в точке А, или, что то же, углу между радиусами NA и МА этих окружностей. Наконец, B = BNМ.

Построим на отрезке BN как на диаметре евклидову окружность q; она имеет с окружностью с одну только общую точку В, так как ее диаметр является радиусом окружности с. Поэтому точка А лежит вне круга, ограниченного окружностью q, следовательно,

А = MAN < MBN.

Отсюда в силу равенства MBN+В = d имеем:

А +В < d; (1)

поэтому A + B + C < 2d, что и требовалось доказать.

Рис. 2

Заметим, что с помощью надлежащего гиперболического движения любой прямоугольный треугольник можно расположить так, чтобы один из его катетов лежал на евклидовом перпендикуляре к прямой и; следовательно, использованный нами метод вывода неравенства (1) применим к любому прямоугольному треугольнику.

Если дан косоугольный треугольник, то разбиваем его одной из высот на два прямоугольных треугольника. Сумма острых углов этих прямоугольных треугольников равна сумме углов данного косоугольного треугольника. Отсюда, принимая во внимание неравенство (1), заключаем, что теорема справедлива для любого треугольника.

Теорема 2. Сумма углов четырехугольника меньше 4d.

Для доказательства достаточно разбить четырехугольник диагональю на два треугольника.

Теорема 3. Две расходящиеся прямые имеют один и только один общий перпендикуляр.

Пусть одна из данных расходящихся прямых изображается на карте в виде евклидова перпендикуляра р к прямой и в точке М, другая — в виде евклидовой полуокружности q с центром на и, причем р и q не имеют общих точек (рис. 3). Такое расположение двух расходящихся гиперболических прямых на карте всегда может быть достигнуто с помощью надлежащего гиперболического движения.

Рис. 3

Проведем из М евклидову касательную MN к q и опишем из центра М радиусом MN евклидову полуокружность m. Ясно, что m —гиперболическая прямая, пересекающая и р и q под прямым углом. Следовательно, m изображает на карте искомый общий перпендикуляр данных расходящихся прямых.

Две расходящиеся прямые не могут иметь двух общих перпендикуляров, так кaк в этом случае существовал бы четырехугольник с четырьмя прямыми углами, что противоречит теореме 2.

. Теорема 4. Прямоугольная проекция стороны острого угла на другую его сторону есть отрезок (а не полупрямая, как в геометрии Евклида).

Справедливость теоремы очевидна из рис. 4, где отрезок АВ есть прямоугольная проекция стороны АВ острого угла ВАС на его сторону АС.

Рис. 4

На том же рисунке дуга DE евклидовой окружности с центром М есть перпендикуляр к гиперболической прямой АС. Этот перпендикуляр не пересекается с наклонной АВ. Следовательно, допущение, что перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой всегда пересекаются, противоречит аксиоме параллельности Лобачевского; оно равносильно аксиоме параллельности Евклида.

Теорема 5. Если три угла треугольника ABC равны соответственно трем углам треугольника А'В'С', то эти треугольники равны.

Допустим обратное и отложим соответственно на лучах АВ и АС отрезки АВ = А'В', АС = А'С'. Очевидно, треугольники АВС и А'В'С' равны по двум сторонам и заключенному между ними углу. Точка B не совпадает с В, точка C не совпадает с С, так как в любом из этих случаев имело бы место равенство данных треугольников, что противоречит допущению.

Рассмотрим следующие возможности.

а) Точка В лежит между А и В, точка С — между А и С (рис. 5); на этом и следующем рисунке гиперболические прямые изображены условно в виде евклидовых прямых). Нетрудно убедиться, что сумма углов четырехугольника ВССВ равна 4d, что невозможно в силу теоремы 2.

Рис. 6

Рис. 5

6) Точка В лежит между А и В, точка С — между А и С (рис. 6). Обозначим через D точку пересечения отрезков ВС и BC Так как C = C' и C' = С, то C=С, что невозможно, поскольку угол С — внешний относительно треугольника CC D.

Аналогично трактуются и другие возможные случаи.

Теорема доказана, поскольку сделанное допущение привело к противоречию.

Из теоремы 5 вытекает, что в геометрии Лобачевского не существует треугольника, подобного данному треугольнику, но не равного ему. [9]

1.3 Приложения геометрии Лобачевского

­чевский уже в первой работе по геометрии Лобачевского показал, опираясь на впервые измеренные астрономами в те годы годичные параллаксы звезд, что если в физическом пространстве реализуется его геометрия, то в пределах Солнечной системы отклонения от евклидовой геометрии будут на несколько порядков меньше возможных ошибок измерений. Таким образом, первым приложением геометрии Лобачевского явилось обоснование практической точности евклидовой геометрии.

применял свою геометрию в математическом анализе. Переходя от одной системы координат к другой в своем пространстве, он нашел значения около 200 различных определенных интегралов. Другие математические приложения были найдены А. Пуанкаре, который успешно применял геометрию Лобачевского при разработке теории автоморфных функций.

Значение геометрии Лобачевского для космологии было выявлено . В 1922 он нашел решение уравнения Эйнштейна, из которого следовало, что Вселенная расши­ряется с течением времени. Это заключение впоследст­вии было подтверждено наблюдениями Э. Хаббла, обнаружившего разбегание удален­ных туманностей. Метрика, найденная , дает при фиксированном времени пространство Лобачевского. Пространство скоростей специальной теории относительности является пространством Лоба­чевского.

Геометрия Лобачевского с успехом используется при изучении столкнове­ний элементарных частиц и при разработке других вопро­сов ядерных исследований.

Зрительное (перцептивное) восприятие близких об­ластей пространства человеком порождает эффект обратной перспективы, объясняемый тем, что геометрия этих областей перцептивного пространства близка к геометрии Лобачевского с радиусом кривизны около 15 м.

Создание геометрии Лобачевского явилось важным этапом в развитии учения о возможных свойствах пространства. Особен­ное значение это имело для оснований математики, т. к. принципы современного аксиоматического метода вы­рабатывались в значительной степени благодаря по­явлению геометрии Лобачевского.

Геометрия Лобачевского находит применение также в теории чисел, в её геометрических методах, объединённых под названием «геометрия чисел». Была установлена тесная связь геометрии Лобачевского с кинематикой специальной (частной) теории относительности. Эта связь основана на том, что равенство, выражающее закон распространения света

x+ y + z = ct

при делении на t, даёт

vx + vy + vz = c — уравнение сферы в пространстве с координатами vx, vy, vz — составляющими скорости по осям х, у, z (в «пространстве скоростей»). Преобразования Лоренца сохраняют эту сферу и, т. к. они линейны, переводят прямые пространства скоростей в прямые. Следовательно, согласно модели Клейна, в пространстве скоростей внутри сферы радиуса с, т. е. для скоростей, меньших скорости света, имеет место геометрия Лобачевского.

Замечательное приложение геометрия Лобачевского нашла в общей теории относительности. Если считать распределение масс материи во Вселенной равномерным (это приближение в космических масштабах допустимо), то оказывается, что при определённых условиях пространство имеет геометрия Лобачевского. Таким образом, предположение Лобачевского о его геометрии как возможной теории реального пространства оправдалось. [11]

Заключение

Геометрия Лобачевского представляет теорию, богатую содержанием и имеющую применение как в математике, так и в физике. Историческое её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии и математики.

Источником геометрии Лобачевского послужил вопрос об аксиоме о параллельных, которая известна также как V постулат Евклида. Этот постулат, ввиду его сложности в сравнении с другими, вызвал попытки дать его доказательство на основании остальных постулатов.

Главная особенность нового периода в истории геометрии, начатого Лобачевским, состоит в развитии новых геометрических теорий — новых «геометрий» и в соответствующем обобщении предмета геометрия; возникает понятие о разного рода «пространствах». При этом одни теории складывались внутри евклидовой геометрии в виде её особых глав и лишь потом получали самостоятельное значение. Так складывались проективная, аффинная, конформная геометрии и другие, предметом которых служат свойства фигур, сохраняющиеся при соответствующих (проективных, аффинных, конформных и др.) преобразованиях. Возникло понятие проективного, аффинного и конформного пространств; сама евклидова геометрия стала рассматриваться в известном смысле как глава проективной геометрии. Другие теории, подобно геометрии Лобачевского, с самого начала строились на основе изменения и обобщения понятий евклидовой геометрии. Так, создавалась, например, многомерная Геометрия, первые относящиеся к ней работы (Геометрия Грасман и А. Кэли, 1844 год) представляли формальное обобщение обычной аналитической геометрии с трёх координат на n. Некоторый итог развития всех этих новых «геометрий» подвёл в 1872 Ф. Клейн, указав общий принцип их построения.

Геометрия Лобачевского продолжает разрабатываться многими геометрами; в ней изучаются: решение задач на построение, многогранники, правильные системы фигур, общая теория кривых и поверхностей и т. п. Ряд геометров развивали также механику в пространстве Лобачевского. Эти исследования не нашли непосредственных применений в механике, но дали начало плодотворным геометрическим идеям. В целом геометрия Лобачевского является обширной областью исследования, подобно геометрии Евклида.

Литература

1.  , Что такое неевклидова геометрия, М., 1950;

2.  , Введение в элементарную геометрию и тригонометрию Лобачевского, Москва, 1930;

3.  , Лобачевский и его геометрия. Общедоступные очерки, М., 1955;

4.  Клейн геометрия, пер. , М - Л, 1936;

5.  Математическая энциклопедия в 5 томах, том 3. Москва;

6.  , Основания геометрии, 3 изд., М., 1968;

7.  , А Лекции по основам геометрии – Елец.: ЕГУ, 20с.

8.  , Геометрия Лобачевского, Издание третье исправленное и дополненное, МЦНМО, 2004;

9.  , О геометрии Лобачевского, Государственное издательство технико – теоретической литературы, выпуск 23, Москва, 1957;

10.  , Краткий очерк основ геометрии Лобачевского, М., 1955;

11.  , Геометрические преобразования II том. Под ред. , Москва, 1956.