Конспект факультативного занятия по теме «Геометрические места точек. Кратчайшие пути»

Конспект факультативного занятия по теме «Геометрические места точек. Кратчайшие пути»

Автор:,

учитель математики МБОУ г. Мурманска лицея №4

Пояснительная записка

Занятие может быть проведено в предпрофильных классах ( 7 – 9), а также в профильных классах гимназий и школ, начиная с 8 по 10-11 класс. Знаний, полученных учащимися 7 класса при изучении на уроках геометрии тем «Треугольники», «Соотношения между сторонами и углами в треугольнике», достаточно для восприятия данной темы, однако после конспекта занятия предложены олимпиадные задачи, которые не рассматриваются учащимися с точки зрения геометрической трактовки и поэтому представляют для них значительные трудности.

Представленный материал содержит достаточный набор задач для решения как в предпрофильных классах (этапы урока с 1 по 4 и 6), так и в профильных классах разного уровня развития. Задачи можно варьировать, можно запланировать не одно занятие, а несколько в зависимости от скорости восприятия учащимися материала.

Апробация занятия проходила в 7 классах средней школы № 49 и гимназии №4 г. Мурманска, а также (с решением олимпиадных задач) в 11а классе гимназии №4 г. Мурманска.

Учитывая, что задача, рассматриваемая на уроке, представлена в учебнике Атанасяна «Геометрия 7-9» в разделе дополнительных задач, разбор её был полезен учащимся, которые овладели нестандартным приёмом решения задач, применили полученные знания при решении практических задач. Интересная формулировка задач позволила повысить мотивацию к изучению математики. Занятие в профильном классе (с кратким разбором основного материала и упором на решение олимпиадных задач) показало высокий интерес старших учащихся к решению задач нестандартными методами, используя геометрическую интерпретацию алгебраического выражения.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Цель занятия для ученика: изучение нового материала, закрепление уже полученного умения находить описанные в задании геометрические места точек, доказывать справедливость выбора, применять полученные навыки при решении практических задач.

Цель для учителя: повысить мотивацию учащихся к изучению геометрии, показать межпредметные связи, показать возможность решения определённого круга алгебраических задач с помощью геометрической интерпретации.

Оборудование: комплект карточек для учащихся с заранее определёнными точками А и В для построения необходимой ломаной и точки, описанной в задаче, комплект заданий для мотивации в начале урока и дальнейшей самостоятельной работы.

Ход занятия:

1. Оганизационный момент

2. Мотивация учащихся к дальнейшей работе

Учащимся предлагаются карточки №1 с задачами (см. дополнительные материалы к уроку). Все задачи с практическим содержанием, но описывают одну и ту же ситуацию – нахождение кратчайшего пути от одной точки плоскости до другой с похождением через точку заданной прямой. Учитель предлагает учащимся познакомиться с условиями и обращает их внимание на практическую направленность задач, возможность реального применения их решений.

3. Подготовка к изучению нового материала

Цель предлагаемой устной работы – напомнить учащимся ранее изученный геометрический материал, необходимый для нахождения решения задачи и доказательства на уроке.

Задачи для устной работы:

Медиана ВЕ треугольника BDC проведена так, что угол ВЕС прямой. Докажите, что треугольник BDC равнобедренный.

После решения задачи можно сформулировать признак равнобедренного треугольника: Если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.

Точки А и В находятся в разных полуплоскостях от прямой с. Найдите точку Р на прямой с, такую, чтобы длина ломаной АРВ была наименьшей.

4. Изучение нового материала

Формулируется задача о всаднике, который движется из одной точки плоскости в другую с проходом через точку заданной прямой. Точки А и В находятся в одной полуплоскости от прямой а. (Всадник должен доставить срочное донесение из пункта А в пункт В. Но конь очень устал и может пасть. Необходимо напоить коня у реки (заданная прямая) и как можно быстрее, то есть по кратчайшему пути, добраться до пункта В). Следовательно, ставится задача найти на прямой точку С такую, чтобы ломаная АСВ имела кратчайшую длину.

Возвращаясь к задаче №2 из устной работы, повторяем способ построения кратчайшей ломаной при условии, что точки А и В находятся в разных полуплоскостях от прямой. После этого сами учащиеся могут предложить способ нахождения на прямой точки С, через которую можно провести кратчайшую ломаную АСВ (построить точку А1, симметричную точке А относительно заданной прямой, затем провести отрезок А1В. Отрезок пересекает прямую в точке С. Это и есть искомая точка).

Доказательство того, что АСВ – кратчайшая ломаная.

Учитывая, что точка А1 построена симметрично точке А относительно прямой, высота, проведённая из вершины С треугольника АА1С, является также медианой. Соответственно треугольник АА1С – равнобедренный. Значит, А1С = АС. Тогда АСВ = АС + СВ = А1С + СВ = А1В. Но из второго рисунка очевидно, что для любой точки С1 заданной прямой, не совпадающей с точкой С, выполнено АС1В = АС1 + С1В = А1С1 + С1В > А1В, так как выполнено неравенство треугольника для треугольника А1С1В.

Следовательно, для любой выбранной иначе, чем т. С, точки заданной прямой, длина соответствующей ломаной будет больше длины ломаной АСВ. Значит, АСВ – кратчайшая ломаная.

5. Применение изученного материала к решению задач

- Построение соответствующей кратчайшей ломаной (для предпрофильных (7-х) классов, в старших – с 8го, классах можно ограничиться повторением вслух способа построения соответствующей ломаной).

- Ответ на дополнительные вопросы по теме:

1.Будет ли точка С отмечена в другом месте прямой, если сначала построить симметричную точку В1 для точки В относительно заданной прямой, а затем соединить точки А и В1? (нет, это одна и та же точка. В качестве дополнительного задания для сильных учащихся можно предложить провести доказательство этого факта самостоятельно).

2. Как будет расположена точка С на прямой, если расстояния от точек А и В до этой прямой равны? (между проекциями этих точек на прямую).

3. Доп. задача: построить кратчайшую ломаную между точками А и В, если точки А и В – внутренние точки острого угла, и необходимо «посетить» каждую из сторон угла по пути? (Формулировка может быть, например, такой: Ваня собирается в гости к Маше. Они живут в краю, где текут молочная река и кисельная река. Как Ване побыстрее добраться от своего дома до Машиного, если он хочет по пути зачерпнуть и молока и киселя для неё?)

6. Подведение итогов занятия.

Возвращаясь к началу занятия, подчеркнуть целесообразность решения подобных задач, поскольку они имеют практическую направленность и все задачи в карточке, кроме первой, могут быть применены при построении моделей в реальных ситуациях.

Оговорить важность доказательства того, что найдено именно указанное в задаче геометрическое место точек (точка С, а вместе с ней и каждая точка ломаной АСВ удовлетворяет условию задачи, и никакая другая точка заданной прямой не удовлетворяет ему).

Можно предложить учащимся (7 класс) решить ещё одну задачу из карточки или сделать задание творческим (8-9 класс), решив такую задачу:

Деревни А и В расположены от железной дороги по одну сторону. Планируется построить железнодорожную станцию длины L на этой дороге таким образом, чтобы жители каждой из деревень могли добираться от своей деревни до этой станции по заасфальтированной дороге. Необходимо указать место на железной дороге, где построить эту платформу, чтобы суммарная протяжённость заасфальтированных дорог от деревень до станции была наименьшей.

Решение:

Перенесём в точку А параллельно отрезок – изображение платформы, получаем точку А1, строим симметричную ей точку А2, соединяем А2 и В отрезком, получаем точку F, которая и будет указывать нам правый край платформы. В самом деле, ломаная А1FB – кратчайшая для точек А1 и В. Но фигура АА1FА2 – параллелограмм по признаку (АА1 и А2F равны и параллельны), поэтому АА2 = А1F. А значит, АА2 + FB = A1F + FB = A2B – минимальное из возможных суммарных расстояний. Задача решена.

Дополнительные вопросы к занятию (можно использовать в качестве домашнего задания)

1.Почему получается только одна точка, через которую проходит кратчайшее расстояние от точки А до точки В, независимо от того, с какой из них (А или В) начать построение?

2.Где будет находиться точка С, если точки А и В одинаково удалены от прямой?

3.Где будет находиться точка С, если одна из точек А или В расположена на берегу реки (например, в задаче с всадником)?

4.Придумайте задачу аналогичного содержания, использующую это построение.

( нахождение кратчайшего расстояния между двумя точками с заходом в третью)

Дополнительные задачи для устной работы ( возможный вариант замены задач для устной работы)

1.В треугольнике АВС биссектриса АЕ пересекает сторону ВС в точке Е. Точка D лежит на стороне АС и DЕ ││ АВ. Докажите, что DЕ + DС = АС.

2.Внутри треугольника со сторонами a, b, c произвольно выбрана точка. Отрезки, соединяющие эту точку с вершинами треугольника, имеют длины m, n, p. Докажите, что

a+ b + c < 2(m + n + p).

Занятие может иметь логическое продолжение при работе с темой «Метод координат» в старших профильных классах

К решению можно предложить следующие задачи, в которых речь пойдёт о кратчайших расстояниях.

1.Докажите неравенство:

Решение: Зададим декартову систему координат. В ней рассмотрим точки с координатами: А(х1; у1), В(х2; у2), С(х3; у3). Рассмотрев каждый из корней как расстояние между двумя точками, получаем АВ + ВС ≥ АС, что справедливо, так как в декартовой системе координат выполнено неравенство треугольника для произвольно выбранных трёх точек.

2. Найдите наименьшее значение выражения:

(ответ: )

Решение: Зададим декартову систему координат. В ней рассмотрим точки с координатами: А(0; 1), В(1; 0),

С(х; у). Рассмотрев каждый из корней как расстояние между двумя точками, получаем, что необходимо найти минимальную сумму расстояний АС + ВС, что будет выполнено, если точка С в данной системе координат расположена на отрезке АВ в любой из его точек, включая точки А и В. Тогда наименьшая сумма расстояний равна длине отрезка АВ = .

3. Найдите наименьшее значение выражения:

(ответ: )

Выделив под корнями полные квадраты, сведём задачу к предыдущей.

4. Найдите наименьшее значение выражения:

, если х – у = 3 (ответ: )

Решение: Зададим декартову систему координат. В ней рассмотрим точки с координатами: А(0; 0), В(4; 3),

С(х; у). Рассмотрев каждый из корней как расстояние между двумя точками, получаем, что необходимо найти минимальную сумму расстояний АС + ВС, но при этом координаты точки С должны удовлетворять уравнению х – у = 3, другими словами, точка С должна лежать на прямой у = х – 3. Построив в системе координат отрезок АВ и прямую у = х – 3, убеждаемся, что имеем дело с задачей, рассмотренной на уроке. На прямой, заданной уравнением у = х – 3, необходимо найти точку, сумма расстояний от которой до двух заданных точек А и В минимальна. Поступим по алгоритму, уже найденному с ребятами на занятии. Построим точку, симметричную точке А относительно прямой у = х – 3. Это точка А1(3; -3). Проводя отрезок А1В и повторяя рассуждения о кратчайшей ломаной, можно наглядно убедиться в том, что полученная точка пересечения отрезка А1В и прямой – та самая точка С, однако её координаты искать не нужно. Чтобы получить интересующий нас ответ, достаточно найти длину отрезка А1В = .

4. Решите систему уравнений: (Ответ: (3,5; 6) ).

Решение. Зададим декартову систему координат. В ней рассмотрим точки с координатами: А(2; 4), В(5; 8), С(х; у). Рассмотрев каждый из корней как расстояние между двумя точками, получаем, что минимальная сумма расстояний АС + ВС равна 5, координаты точки С удовлетворяют первому уравнению только в том случае, когда она принадлежит отрезку АВ. Построив в системе координат отрезок АВ и гиперболу у = 1/(х - 3⅓) - график второго уравнения, убеждаемся, что имеем дело с задачей, рассмотренной на уроке. Отрезок АВ и гипербола имеют ровно одну точку пересечения. Чтобы найти её координаты, которые и будут решением системы уравнений, можно поступить, например, так:

-записать с помощью метода неопределённых коэффициентов уравнение прямой, содержащей отрезок АВ. Это возможно, т. к. известны координаты двух точек отрезка: А(2; 4) и В(5; 8). Уравнение будет иметь вид у = 1⅓х + 1⅓;

-найти абсциссы точек пересечения гиперболы, заданной вторым уравнением системы, и этой прямой, приравняв правые части указанных уравнений. Получим два решения уравнения: х1= -1⅙ и х2 = 3,5;

-отобрать решения. Первый корень уравнения не удовлетворяет условию задачи, так как точка с этой абсциссой не лежит на отрезке АВ (абсцисса точки отрицательна, а отрезок целиком находится в первой четверти). Второй корень уравнения даёт нам решение

(3,5; 6).

Наконец, в любом из классов, начиная с 7 (конец года), можно предложить такую задачу:

Карлсон находится в некоторой (не крайней) точке стороны АС равностороннего треугольника АВС (в этой точке столик для завтрака, на котором можно смешивать ингредиенты). Две другие стороны треугольника - река из шоколада и река из варенья. Карлсон съедает на завтрак по полному ведёрку шоколада и варенья, причём не по отдельности, а вместе, смешав их. У него есть только одно ведёрко, которое он может наполнить в речках доверху. Укажите, в какой точке стороны АС треугольника АВС он должен находиться, чтобы позавтракать как можно быстрее.

Решение для старших классов может быть таким:

Назовём точку, в которой находится Карлсон в начале задачи, точкой К.

Проведём перпендикуляры из этой точки КК1 и КК2 к сторонам треугольника АВ и СВ соответственно. Всегда возникают предложения учащихся использовать другой маршрут, но после обсуждения они убеждаются в том, что условие задачи однозначно приводит к маршруту К-К1-К-К2-К. Необходимо выяснить, как выбрать на стороне АС точку К, чтобы суммарное расстояние 2(КК1 + КК2) было наименьшим. При решении получаем ответ: в любой точке стороны АС.

Первый способ.

Проведём чевиану ВК. Она разбивает треугольник АВС на два треугольника АВК и СВК. Сумма площадей этих треугольников постоянна, равна SABC = 0,5∙AC∙hAC или SABK + SCBK = 0,5∙AB∙KK1 + 0,5∙CB∙KK2 = 0,5∙AB∙KK1 + 0,5∙AB∙KK2 = 0,5AB(KK1 + KK2). Следовательно, сумма длин КК1 + КК2 постоянна и не зависит от выбора точки К.

Второй способ.

Рассмотрим треугольники АКК1 и СКК2. Они прямоугольные, и углы А и С в них равны 60⁰. Значит, КК1 = АК∙sin60⁰, KK2 = СК∙sin60⁰, сумма КК1 + КК2 = АК∙sin60⁰ + СК∙sin60⁰ = (АК + СК) ∙sin60⁰ = АС∙sin60⁰ = const. Вывод: сумма длин КК1 + КК2 постоянна и не зависит от выбора точки К.

Третий способ (доступен ученикам 7 класса, предложен ими).

Отразим треугольник АВС относительно стороны АС вниз (получим треугольник АСВ1). Тогда при построении симметричной относительно АС точки для К1 получим точку стороны АВ1 – точку Р1. Соединим отрезком точки Р1 и К2. Нетрудно доказать, что точка К окажется точкой отрезка Р1К2: угол АКР1 равен углу К2КС = 30⁰. Получаем вертикальные углы, следовательно, Р1КК2 – не ломаная, а прямая. Расстояние Р1К2, а значит, и сумма КК1 + КК2, является кратчайшим путём из точки К1 в точку К2 через точку стороны АС.

Заметим, что прямые ВС и АВ1 параллельны ( накрест лежащие углы ВСА и САВ1 равны 60⁰). Отрезок Р1К2 перпендикулярен обеим прямым, а значит, его длина, равная КК1 + КК2, постоянна при любом выборе точки К внутри отрезка АС.

Четвёртый способ (доступен ученикам 7 класса, предложен учителем):

Построим симметричную относительно АС точку для К1 – точку Р1. Соединим отрезком точки Р1 и К2. Докажем, что точка К окажется точкой отрезка Р1К2: угол АКР1 равен углу К2КС = 30⁰. Получаем вертикальные углы, следовательно, Р1КК2 – не ломаная, а прямая. Расстояние Р1К2, а значит, и сумма КК1 + КК2, является кратчайшим путём из точки К1 в точку К2 через точку стороны АС.

Но, выбрав другую точку К на АС, применим тот же способ и те же рассуждения и получим, что именно эта, новая, точка даёт нам сумму кратчайшего пути. Учитывая это обстоятельство, делаем вывод: все внутренние точки стороны АС обладают таким свойством и выбор точки может быть произвольным.

Задача достаточно интересна с точки зрения многообразия решений, поэтому можно вернуться к ней на факультативе в 8 и более старших классах. В то же время, объяснив учащимся 7 класса, что задача имеет гораздо более простое решение при знании материала 8 класса, можно повысить мотивацию учащихся к изучению математики.

Дополнительные материалы к уроку

Карточка №1

1. Из пункта А в пункт В торопится всадник. А В