Геометрические преобразования пространства. Задачи (стр. 1 )

Геометрические преобразования пространства. Задачи.

Задача 1. Окружность, центр которой принадлежит биссектрисе угла, пересекает его стороны в точках  и  (рис. 2). Доказать, что .

Рис. 2

Решение. Обозначим через  одну из сторон угла, а через  - круг, границей которого является рассматриваемая окружность. При симметрии  относительно биссектрисы угла луч  переходит в луч , который образует вторую сторону угла, а круг  переходит в себя: , . Согласно свойству сохранения пересечения фигура  переходит в , т. е. в . Иначе говоря, отрезок  переходит в отрезок , и потому .

Задача 2. Через точку , данную внутри угла (меньшего, чем развернутый), провести прямую, отрезок которой, заключенный между сторонами угла, делится в этой точке пополам.

Решение. Обозначим через  симметрию относительно точки , а через  и  - прямые, на которых лежат стороны угла (рис. 3). В результате симметрии  прямая  переходит в параллельную ей прямую  которая пересекает вторую сторону угла в точке . Так как , то точка , симметричная , принадлежит прямой, которая симметрична , т. е. . Таким образом, точки  и  симметричны относительно , и потому отрезок  делится в точке  пополам, т. е. прямая  - искомая.

Рис. 3

Нетрудно понять, почему в задаче 1 была применена осевая, а в задаче 2 – центральная симметрия. Так как биссектриса угла – его ось симметрии, то попытка применить осевую симметрию в задаче 1 совершенно естественна (так же, как и применение центральной симметрии в задаче 2, поскольку отрезок  должен делиться в точке  пополам, т. е. искомые точки  и  должны быть симметричными относительно точки ). И в других случаях анализ условия задачи позволяет найти движение, применение которого дает решение.

Задача 3. На сторонах  и  треугольника  построены вне его квадраты  и . Доказать, что отрезок  перпендикулярен медиане  треугольника  и вдвое длиннее этой медианы.

Решение. Попытаемся применить поворот на 90°, т. е. убедиться, что при повороте на 90° вокруг точки  (по часовой стрелке) отрезок  перейдет в отрезок, параллельный  и имеющий вдвое большую длину. При этом повороте вектор  переходит в  (рис. 4), а вектор  в . Следовательно, вектор  переходит в , т. е. в . Но так как , то . Итак, при повороте на 90° вектор  переходит в , т. е. в вектор, равный . Отсюда вытекает, что  и .

Рис. 4

Весьма существенна связь движений с ориентацией. На рис. 5 изображен многоугольник , на контуре которого задано положительное направление обхода (против часовой стрелки). При параллельном переносе получается многоугольник с тем же направлением обхода, т. е. параллельный перенос сохраняет направление обхода, или, как говорят, сохраняет ориентацию. Поворот (в частности, центральная симметрия, представляющая собой поворот на 180°) также сохраняет ориентацию (рис. 6). Напротив, осевая симметрия меняет направление обхода на противоположное (рис. 7), т. е. меняет ориентацию. Другой пример движения, меняющего ориентацию – скользящая симметрия, т. е. композиция симметрии относительно некоторой прямой  и параллельного переноса, вектор которого параллелен  (рис. 8).

Рис. 5

Рис.6

Рис. 7

Рис. 8

Французский механик и геометр XIX в. М. Шаль сформулировал следующую теорему: всякое сохраняющее ориентацию движение плоскости является либо параллельным переносом, либо поворотом; всякое меняющее ориентацию движение плоскости является либо осевой, либо скользящей симметрией.

Задача 4. Доказать, что композиция двух осевых симметрий с пересекающимися осями представляет собой поворот.

Решение. Пусть  и  - осевые симметрии, оси которых (прямые  и ) пересекаются в точке . Так как оба движения  меняют ориентацию, то их композиция  (сначала выполняется , затем ) является движением, сохраняющим ориентацию. По теореме Шаля,  есть либо параллельный перенос, либо поворот. Но так как при каждом движении  точка  неподвижна, то и при их композиции точка  остается на месте. Следовательно,  есть поворот вокруг точки . Как найти угол поворота, понятно из рис. 9: если  - угол между прямыми  и , то (поскольку точка  переводится движением  в себя, а движением  - в симметричную относительно  точку ) движение , переводящее  в , представляет собой поворот (вокруг точки ) на угол .

Рис. 9

Следующую по важности группу геометрических преобразований плоскости составляют преобразования подобия. Наиболее простое из них – гомотетия. Напомним, что гомотетией с центром  и коэффициентом  называется геометрическое преобразование, которое произвольно взятую точку  переводит в такую точку , что  (рис. 10). Гомотетия переводит каждую прямую в параллельную ей прямую, каждую окружность снова переводит в окружность. Гомотетия сохраняет углы, а все длины увеличивает в  раз: если при гомотетии точки  переходят в , то . Из этого вытекает, что гомотетия сохраняет форму (но не размеры) фигур; если, например, , то фигура , в которую переходит фигура  при гомотетии с центром  и коэффициентом , представляет собой увеличенную копию фигуры  (рис. 10), а если  - уменьшенную копию.

Рис. 10

Поскольку при гомотетии все длины изменяются в одинаковое число раз, отношение длин не меняется. На этом основаны различные способы оценки расстояний; например, зная длину руки и длину большого пальца и прикинув, сколько раз большой палец вытянутой руки укладывается в видимом образе предмета, можно найти отношение высоты вертикального предмета к расстоянию до него (на рис. 11 имеем , откуда, измерив , можно найти , а потому и высоту трубы, которая примерно втрое больше ).

Рис. 11

Задача 5. Построить квадрат, вписанный в данный сектор (две вершины квадрата лежат на одном радиусе, третья – на другом, четвертая – на дуге сектора).

Решение. Пусть  и  (рис. 12) – два квадрата, вписанные в угол . При гомотетии с центром , переводящей точку  в , (коэффициент этой гомотетии равен ), отрезок  переходит в отрезок , а потому квадрат  переходит в квадрат  (поскольку углы, а также отношение отрезков сохраняются). Из этого вытекает, что вершины  и , лежат на одном луче, исходящем из точки . Теперь ясно, что, построив какой-нибудь квадрат , вписанный в угол , и проведя луч , мы сможем найти вершину  искомого квадрата (т. е. точку пересечения луча  с дугой  сектора), а затем достроить искомый квадрат (рис. 13).