2. Найти внешний дифференциал дифференциальных форм:
w1 = x×y2×z2×dx Ù dy – y×cos x×dx Ù dz – z×x2×dz Ù dy,
w2 = x×ln z×dx – cos (x×y)×dy + x×y2×z×dz.
3. Используя формулу Грина, вычислить замкнутый интеграл по окружности
Г: x2 + y2 = 2 в направлении против часовой стрелки:
.
4. Используя внешний дифференциал, показать, что следующий интеграл не зависит от пути интегрирования: 
Вопросы к экзамену (4 семестр)
Проективное пространство. Модели проективной прямой и проективной плоскости. Метрические пространства. Примеры. Топологические пространства. Примеры. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы. Компактность и связность топологического пространства. Гладкие многообразия. Примеры. Касательное пространство гладкого многообразия. Тензоры на римановом многообразии и операции над ними. Кососимметрические тензоры. Дифференциальные формы. Внешнее произведение и внешнее дифференцирование форм. Интеграл дифференциальной формы. Общая формула Стокса и её частные случаи (формулы Грина, Стокса, Остроградского-Гаусса). Степень векторного поля на поверхности. Теорема Гаусса-Бонне.8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) Основная литература
1. Абрамов в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М. : Физматлит, 2004.
2. , , Чубариков по математическому анализу. – М.: Дрофа, 2004.
3. Димитриенко исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
4. Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
5. , Фоменко дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2010.
6. Подран топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
7. Федорчук аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2003.
б) Дополнительная литература
8. Арнольд дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1971.
9. , , Кантор в дифференциальную геометрию в “целом”. – М.: Наука, 1973.
10. , , Фоменко геометрия: Методы и приложения. – М.: Наука, 1987.
11. Ефимов в теорию внешних форм. – М.: Наука, 1977.
12. Начальный курс алгебраической топологии. – М.: Мир, 1983.
13. , П., Фоменко задач по дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Изд-во МГУ, 1987.
14. , Шикин геометрия. – М: Изд-во МГУ, 1990.
15. Рашевский геометрия и тензорный анализ. – М.: Наука, 1967.
16. Садовничий операторов. – М.: Дрофа, 2004.
в) Периодические издания
г) Мультимедийные средства
Microsoft Office Power Point, Excel.
д) Интернет-ресурсы
1. http://www. math. ru
2. http://www. edu. ru
3. http://www. exponenta. ru
4. http://www. problems. ru
5. http://
6. http://www. mathem. h1.ru
7. http://www. allmath. ru
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины
ПК, проектор, экран.
10. Паспорт рабочей программы дисциплины
Разработчик(и): И, к. п.н., доцент, зав. кафедрой
ФИО, ученая степень, должность
Программа одобрена на заседании кафедры математики, ТиМОМ от «___»_______________г., протокол №________
Согласовано:
Зав. кафедрой
«___» ________________г.
Согласовано:
Специалист по УМР _________________
Руководство по организации обучения дисциплине
Преподавателю, читающему дисциплину «Дифференциальная геометрия и топология», важно знать структуру дисциплины, умело выделяя в разделах основные, базовые понятия. Организуя учебные занятия, учитывать их порядок, последовательность и технологические приемы, отражая научно-методические основы дисциплины.
Аудиторная работа включает: лекции, практические занятия, самостоятельную работу.
Материал дисциплины излагается на лекциях, но некоторые вопросы студентами изучаются самостоятельно. Лекция – учебное занятие, составляющее основу теоретического обучения и дающее систематизированные научные знания по дисциплине, раскрывающее состояние и перспективы развития соответствующей области науки и техники, концентрирующее внимание обучающихся на её наиболее значимых (сложных) вопросах.
Лекции имеют проблемный характер, в ходе которых происходит изложение основных математических структур и показывается их применение. На лекциях преподаватель дает теоретические основы, примеры, показывает основное направления для подготовки к зачету. Посещение лекций, а также ведение конспектов лекций (фиксирование основных положений, свободное изложение и т. п.) и их проверка являются обязательными. Необходимо показывать приемы успешной работы с текстом лекции: использование кратких общепринятых символов, совращений, правильная обработка текста, исправление неточностей и внесение дополнительных сведений.
Темы практических занятий соответствуют теме прочтенной лекции, поэтому в учебном процессе они следуют за лекциями. В начале практических занятий рекомендовано проведение небольшой самостоятельной работы, математического диктанта по знанию основных определений, теоретических фактов, формул, необходимых на данном занятии. Нужно учитывать не только оценочно-контрольную функцию занятия, осуществляя систематический контроль за успеваемостью (рейтингом) студентов, но и воспитательную, требуя от обучающихся дисциплинированности, активности, трудолюбия.
Большое значение имеет и самостоятельная деятельность студентов, формы которой необходимо продумать заранее и нацеливать на ее выполнение с первых занятий.
- самостоятельное изучение части теоретического материала и теоретическая подготовка к практическим занятиям по предложенной в УМК основной и дополнительной учебной литературе. Для помощи студентам рекомендованная литература указана к каждому занятию, как лекционному, так и практическому. Средствами обучения является не только базовый учебник, но и дополнительные пособия для организации самостоятельной работы студентов, демонстрационные материалы, компьютерные обучающие программы, сборники задач;
- домашние работы, для выполнения которых студенты имеют специальные тетради, проверяемые к каждому занятию. Результаты выполнения домашнего задания оцениваются баллами в технологической карте и учитываются при аттестации студентов.
- выполнение других заданий, которые представлены в программе и технологической карте.
Дисциплина завершается контрольной работой и зачетом в 3 семестре и экзаменом в 4 семестре.
Аннотация по дисциплине «Дифференциальная геометрия и топология»
1. Цели освоения дисциплины (модуля): овладение студентами математическим аппаратом классической и современной дифференциальной геометрии и топологии, фундаментальными теоретическими положениями этих теорий; воспитание и развитие их математической культуры; осознание ими прикладного характера математики в целом и дифференциальной геометрии и топологии в частности.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Дифференциальная геометрия и топология» относится к блоку дисциплин направления (ДН Ф.5) учебного цикла дисциплин Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) по направлению «Математика и компьютерные науки» (бакалавриат).
3. Требования к результатам освоения содержания дисциплины
3.1. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В совокупности с другими дисциплинами базовой части математического цикла ФГОС ВПО дисциплина «Дифференциальная геометрия и топология» обеспечивает инструментарий формирования следующих компетенций бакалавра прикладной математики и информатики.
а) Общепрофессиональны компетенции (ОПК):
- готовность использовать фундаментальные знания в области математического анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной математики и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и случайных процессов, численных методов, теоретической механики в будущей профессиональной деятельности
(ОПК-1)
б) Профессиональные компетенции (ПК)
- способность математически корректно ставить естественнонаучные задачи, знание постановок классических задач математики (ПК-2);
3.2. В результате изучения обучающийся должен знать:
· определение и способы задания кривых;
· определение поверхности, её касательной плоскости и нормали;
· определение многомерного проективного пространства и модели проективных прямой и плоскости;
· определения метрического и топологического пространств и их примеры;
· определение гладкого многообразия и примеры многообразий;
· определение внешней дифференциальной формы, внешнего произведения и внешнего дифференциала;
· определение интеграла дифференциальной формы на многообразии;
· определение гомотопии отображений;
· теорему Гаусса-Бонне;
уметь:
· вычислять кривизну и кручение кривой;
· вычислять внешний дифференциал внешней дифференциальной формы;
· решать задачи прикладного характера с применением вышеперечисленных формул Грина, Стокса, Остроградского-Гаусса;
· решать задачи вычислительного и теоретического характера, связанные с геометрическими объектами.
владеть:
· навыками применения современного математического инструментария для решения задач математики и информатики;
· методикой построения, анализа и применения математических моделей для прикладных задач математики и информатики.
приобрести опыт:
- распознавания в реальной ситуации гладких кривых;
- в нахождении касательных к кривым и поверхностям;
4. Общая трудоемкость дисциплины составляет 8 зачетных единиц.
5. Разработчики: ТГСПА, к. п.н., доцент
Приложение 1
лекционныЕ МАТЕРИАЛЫ
Лекция 1. Плоские и пространственные кривые, способы их задания
План темы:
1. Плоские и пространственные кривые.
2. Способы задания.
Основные понятия и категории: геометрия, дифференциальная геометрия, аксиоматический метод, математического мышления; математические доказательства.
Список литературы:
1. Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
2. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
Лекция 2. Репер Френе, кривизна и кручение кривой, формулы Френе
План темы:
1. Репер Френе.
2. Кривизна и кручение кривой.
3. Формулы Френе.
Основные понятия и категории: геометрия, дифференциальная геометрия, репер Френе, кривизна, кручение; математические доказательства.
Список литературы:
1. Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
2. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004
Лекция 3. Эволюта и эвольвента
План темы:
1. Эволюта
2. Эвольвента
Основные понятия и категории: Эволюта и эвольвента.
Список литературы:
1. Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
2. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
Лекция 4. Определение и способы задания гладкой поверхности.
План темы:
1. Плоские поверхности.
2. Способы задания.
Основные понятия и категории: гладкая поверхность, математические доказательства.
Список литературы:
1. Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
2. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
Лекция 5. Касательная плоскость и нормаль.
План темы:
1. Касательная плоскость
2. Нормаль.
Основные понятия и категории: Касательная плоскость и нормаль, поверхность.
Список литературы:
1. Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
2. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
Лекция 6. Первая квадратичная форма и её роль, метрика поверхности
План темы:
1. Первая квадратичная форма.
2. Роль первой квадратичной формы.
3. Метрика поверхности
Основные понятия и категории: Первая квадратичная форма, роль первой квадратичной формы, метрика поверхности.
Список литературы:
1. Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
2. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
Лекция 7. Вторая квадратичная форма, кривизна линии на поверхности
План темы:
1. Вторая квадратичная форма/
2. Кривизна линии на поверхности
Основные понятия и категории: Вторая квадратичная форма, кривизна линии на поверхности геометрия.
Список литературы:
1. Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
2. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
Лекция 8. Главные кривизны поверхности
План темы:
1. Кривизна поверхности
2. Главные кривизны.
Основные понятия и категории: геометрия, поверхность, кривизна.
Список литературы:
1. Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
2. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
Лекция 9.Полная (гауссова) и средняя кривизны поверхности
План темы:
1. Полная поверхность.
2. Гауссова поверхность.
3. Средняя кривизна поверхности.
Основные понятия и категории: поверхность, полная поверхность, кривизна.
Список литературы:
1. Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
2. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
Лекция 10. Деривационные формулы, символы Кристоффеля
План темы:
1. Деривационные формулы.
2. Символы Кристоффеля.
Основные понятия и категории: геометрия, деривационные формулы, символы Кристоффеля.
Список литературы:
1. Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
2. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
Лекция 11. Геодезическая кривизна
План темы:
1. Геодезия.
2. Кривизна.
3. Геодезическая кривизна.
Основные понятия и категории: кривизна, геодезическая кривизна.
Список литературы:
1. Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
2. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
Лекция 12. Топологические и метрические пространства, примеры
План темы:
Топологические пространства. Метрические пространства.Основные понятия и категории: топология, метрика, пространство.
Список литературы:
1. Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
2. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
Лекция 13. Непрерывное отображение и гомеоморфизм
План темы:
1. Непрерывное отображение.
2. Гомеоморфизм.
Основные понятия и категории: отображение, непрерывное отображение, гомеоморфизм.
Список литературы:
1. Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
2. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
Лекция 14. Компактность и связность
План темы:
1. Компакт.
2. Связность.
Основные понятия и категории: компакт, связность.
Список литературы:
1. Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
2. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
Лекция 15. Определение гладкого многообразия и примеры
План темы:
1. Многообразие.
2. Гладкое многообразие.
3. Примеры.
Основные понятия и категории: многообразие, гладкое многообразие.
Список литературы:
1. Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
2. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
Лекция 16. Отображения многообразий.
План темы:
1. Отображение.
2. Виды отображений.
3. Многообразие.
4. Отображение многообразий.
Основные понятия и категории: отображение, многообразие.
Список литературы:
1. Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
2. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
Лекция 17. Многообразие с краем
План темы:
1. Многообразие с краем.
Основные понятия и категории: отображение, многообразие
Список литературы:
1. Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
2. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
Лекция 18. Риманова метрика, касательный вектор
План темы:
1. Метрика.
2. Касательный вектор.
Основные понятия и категории: метрика, касательный вектор.
Список литературы:
1. Абрамов в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М. : Физматлит, 2004.
2. Димитриенко исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
3. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
4. Подран топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
Лекция 19. Касательное пространство к многообразию
План темы:
1. Многообразие.
2. Касательное пространство.
3. Касательное пространство к многообразию.
Основные понятия и категории: многообразие, касательное пространство.
Список литературы:
1. Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
2. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
Лекция 20. Векторные поля на многообразии.
План темы:
1. Векторное поле.
2. Многообразие.
3. Векторные поля на многообразии.
Основные понятия и категории: векторное поле, многообразие.
Список литературы:
1. Абрамов в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М. : Физматлит, 2004.
2. Димитриенко исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
3. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
4. Подран топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
Лекция 21. Тензоры на римановом многообразии, операции с тензорами, поднятие и опускание индексов, оператор Ходжа, кососимметрические тензоры.
План темы:
1. Риманово многообразие.
2. Тензоры.
3. Операции с тензорами
4. Оператор Ходжа
5. Кососимметрические тензоры.
Основные понятия и категории: тензоры, риманово многообразие, оператор Ходжа, кососимметрические тензоры.
Список литературы:
1. Абрамов в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М. : Физматлит, 2004.
2. Димитриенко исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
3. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
4. Подран топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
Лекция 22. Дифференциальные формы, их внешнее произведение и внешнее дифференцирование, внешняя алгебра.
План темы:
1. Дифференциальные формы.
2. Внешнее произведение.
3. Внешнее дифференцирование.
4. Внешняя алгебра.
Основные понятия и категории: дифференциальные формы, их внешнее произведение и дифференцирование, внешняя алгебра.
Список литературы:
1. Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
2. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
Лекция 23. Дифференциал отображения, отображение касательных пространств гладких многообразий.
План темы:
1. Дифференциал отображения.
2. Отображение касательных пространств гладких многообразий.
Основные понятия и категории: Дифференциал отображения, отображение касательных пространств гладких многообразий.
Список литературы:
1. Абрамов в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М. : Физматлит, 2004.
2. Димитриенко исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
3. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
4. Подран топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
Лекция 24. Ковариантная производная тензоров, параллельный перенос векторных полей.
План темы:
1. Ковариантная производная тензоров.
2. параллельный перенос векторных полей.
Основные понятия и категории: тензоры, параллельный перенос.
Список литературы:
1. Абрамов в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М. : Физматлит, 2004.
2. Димитриенко исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
Лекция 25. Геодезические связности, согласованные с метрикой риманова многообразия.
План темы:
1. Геодезические связности.
2. Метрика риманова многооразия.
Основные понятия и категории: связность, геодезическая связность, метрика риманова многообразия.
Список литературы:
1. Абрамов в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М.: Физматлит, 2004.
2. Димитриенко исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
3. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
4. Подран топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
Лекция 26. Тензор кривизны, порождённый метрикой.
План темы:
1. Тензор кривизны.
2. Метрика.
Основные понятия и категории: кривизна, тензор, метрика.
Список литературы:
1. Абрамов в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М.: Физматлит, 2004.
2. Димитриенко исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
Лекция 27. Разбиение единицы на многообразии.
План темы:
1. Разбиение единицы на многообразии
Основные понятия и категории: разбиение, многообразие.
Список литературы:
1. Абрамов в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М.: Физматлит, 2004.
2. Димитриенко исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
3. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
4. Подран топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
Лекция 28. Интеграл дифференциальной формы.
План темы:
1. Дифференциальная форма.
2. Интеграл дифференциальной формы.
Основные понятия и категории: дифференциальная форма, интеграл.
Список литературы:
1. Абрамов в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М.: Физматлит, 2004.
2. Димитриенко исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
3. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
4. Подран топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
Лекция 29. Криволинейные и поверхностные интегралы второго рода.
План темы:
1. Криволинейные интегралы.
2. Поверхностные интегралы.
Основные понятия и категории: интеграл, криволинейный интеграл, поверхностный интеграл.
Список литературы:
1. Абрамов в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М.: Физматлит, 2004.
2. Димитриенко исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
3. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
4. Подран топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
Лекция 30. Общая формула Стокса, формулы Грина, Стокса и Остроградского-Гаусса.
План темы:
1. Формула Стокса.
2. Формула Грина.
3. Формула Остроградского-Гаусса.
Основные понятия и категории: формулы Стокса, Остроградского, Гаусса.
Список литературы:
1. Абрамов в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М. Физматлит, 2004.
2. Димитриенко исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
3. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
4. Подран топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
Лекция 31. Понятие гомотопии, относительная гомотопия.
План темы:
1. Понятие гомотопии.
2. Относительная гомотопия.
Основные понятия и категории: гомотопия, относительная гомотопия.
Список литературы:
1. Абрамов в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М.: Физматлит, 2004.
2. Димитриенко исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
3. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
4. Подран топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
Лекция 32. Степень отображения, гомотопическая классификация отображений многообразий в сферу.
План темы:
1.Степень отображения.
2. Гомотопическая классификация отображений многообразий в сферу.
Основные понятия и категории: отображение, степень отображения, гомотопическая классификация отображений многообразий в сферу.
Список литературы:
1. Абрамов в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М.: Физматлит, 2004.
2. Димитриенко исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
3. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
4. Подран топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
Лекция 33. Степень и интеграл, степень векторного поля на поверхности.
План темы:
1. Степень и интеграл.
2. Степень векторного поля.
Основные понятия и категории: степень, интеграл, векторное поле.
Список литературы:
1. Абрамов в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М.: Физматлит, 2004.
2. Димитриенко исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
3. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
4. Подран топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
Лекция 34. Теорема Гаусса-Бонне
План темы:
1. Теорема Гаусса-Бонне
Основные понятия и категории: теорема Гаусса-Бонне
Список литературы:
1. Абрамов в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М.: Физматлит, 2004.
2. Димитриенко исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
3. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
4. Подран топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
Лекция 35. Индекс особой точки векторного поля
План темы:
1. Особые точки.
2. Векторное поле.
3. Индекс особой точки векторного поля.
Основные понятия и категории: особая точка, индекс, векторное поле.
Список литературы:
1. Абрамов в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М.: Физматлит, 2004.
2. Димитриенко исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
3. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
4. Подран топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
Лекция 36. Теорема Пуанкаре-Бендиксона.
План темы:
1. Теорема Пуанкаре-Бендиксона.
Основные понятия и категории: Теорема Пуанкаре-Бендиксона; математические доказательства.
Список литературы:
1. Абрамов в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М.: Физматлит, 2004.
2. Димитриенко исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
3. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
4. Подран топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
Приложение 2
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
2.1.Планы практических (семинарских) занятий
Тема 1. Плоские и пространственные кривые, способы их задания
1. Беседа по материалам лекции.
2. Решение задач: тема № 1 по методическому пособию Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
Основные понятия и категории: геометрия, дифференциальная геометрия, аксиоматический метод, математического мышления; математические доказательства.
Список литературы:
1. Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
2. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
Тема 2. Кривизна и кручение кривой, формулы Френе
1. Беседа по материалам лекции.
2. Решение задач: тема № 1 по методическому пособию Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
Основные понятия и категории: геометрия, дифференциальная геометрия, репер Френе, кривизна, кручение; математические доказательства.
Список литературы:
1. Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
2. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004
Тема 3. Определение и способы задания гладкой поверхности.
1. Беседа по материалам лекции.
2. Решение задач: тема № 1 по методическому пособию Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
Основные понятия и категории: гладкая поверхность, математические доказательства.
Список литературы:
1. Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
2. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
Тема 4 Касательная плоскость и нормаль.
1. Беседа по материалам лекции.
2. Решение задач: тема № 1 по методическому пособию Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
Основные понятия и категории: Касательная плоскость и нормаль, поверхность.
Список литературы:
1. Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
2. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
Тема 5. Первая квадратичная форма и её роль, метрика поверхности
1. Беседа по материалам лекции.
2. Решение задач: тема № 1 по методическому пособию Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
Основные понятия и категории: Первая квадратичная форма, роль первой квадратичной формы, метрика поверхности.
Список литературы:
1. Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
2. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
Тема 6. Вторая квадратичная форма, кривизна линии на поверхности
1. Беседа по материалам лекции.
2. Решение задач: тема № 1 по методическому пособию Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
Основные понятия и категории: Вторая квадратичная форма, кривизна линии на поверхности геометрия.
Список литературы:
1. Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
2. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
Тема 7. Топологические и метрические пространства, примеры
1. Беседа по материалам лекции.
2. Решение задач: тема № 1 по методическому пособию Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
Основные понятия и категории: топология, метрика, пространство.
Список литературы:
1. Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
2. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
Тема 8. Непрерывное отображение и гомеоморфизм
1. Беседа по материалам лекции.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 |
