Учебно-методический комплекс дисциплины «Дифференциальная геометрия и топология» (стр. 1 )

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тобольская государственная социально-

педагогическая академия им. »

Физико-математический факультет

Кафедра математики, теории и методики обучения математике

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

____________________ ФИО

«___» __________ 2013г.

Учебно-методический комплекс дисциплины

«Дифференциальная геометрия и топология»

Направление подготовки:

02.03.01 «Математика и компьютерные науки»

(код и наименование направления подготовки)

Профиль подготовки:

Вычислительные, программные, информационные системы и компьютерные технологии

(наименование профиля подготовки)

Квалификация (степень) выпускника:

Бакалавр

Форма обучения:

очная

Тобольск 2013

ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ УМК

(сайт для загрузки УМК umk.utmn.ru)

Рег. номер:	_____________________________________________________________________
Дисциплина:	Дифференциальная геометрия и топология_________________________________
Учебный план:	02.03.01 «Математика и компьютерные науки» Профиль «Вычислительные, программные, информационные системы и компьютерные технологии»
Автор:	_________________________________________________
	ФИО полностью
Кафедра:	физики, математики и методик преподавания

СОГЛАСОВАНО:	ФИО	дата	подпись
Председатель УМК (4)		_____________	____________________
Зам. начальника УМО (3)		_____________	____________________
Зав. библиотекой (2)		_____________	____________________
Зав. кафедрой (1)		_____________	____________________

Исполнитель (ответственное лицо)

, доцент кафедры физики,

 

математики и методик преподавания _____________ _______

ФИО (полностью), должность, конт. телефон дата

Содержание

Рабочая программа дисциплины …………………………………...…………….................. 3

Руководство по организации обучения дисциплине ………………………………………13

Приложения ………………………………………………………………………………..….. 16

Приложение 1. Лекционные материалы …………………………………………………..…..16

Приложение 2. Практические занятия …………………………………………………….….19

2.1. Планы практических занятий ………………………………………………………….…..19

2.2. Методические указания к практическим занятиям ………………………………….….. 22

Приложение 3. Самостоятельная работа студентов ………………………………….….…... 23

3.1. Задания для самостоятельной работы ……………………………………………………. 23

3.2. Методические указания к выполнению самостоятельной работы ………………………26

Приложение 4. Контролирующие и оценочно-диагностические материалы по дисциплине 27

4.1. Технологическая карта …………………………………………………………………..... 27

4.2. Тестовые задания для текущего контроля знаний по дисциплине ……………………. 28

4.3. Тестовые задания для итогового контроля знаний по дисциплине …………………….28

4.4. Вопросы к зачету ………………………………………………………………................... 30

Приложение 5. Глоссарий ………………………………………………………………..…..... 31

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тобольская государственная социально-

педагогическая академия им. »

Физико-математический факультет

Кафедра математики, теории и методики обучения математике

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

____________________ ФИО

«___» __________ 2013 г.

Рабочая программа дисциплины

«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ»

Код и направление подготовки

02.03.01 «Математика и компьютерные науки»

Профиль подготовки

Вычислительные, программные, информационные системы и компьютерные технологии

Квалификация (степень) выпускника

Бакалавр

Форма обучения

очная

Тобольск

2013

Рабочая программа дисциплины «Дифференциальная геометрия и топология» / сост. – Тобольск: ТГСПА им. , 2013.

Рабочая программа предназначена для преподавания дисциплины по выбору вариативной части профессионального цикла студентам очной формы обучения по направлению подготовки 02.03.01 «Математика и компьютерные науки» в 3 и 4 семестрах.

Рабочая программа составлена с учетом Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению подготовки 02.03.01 «Математика и компьютерные науки» утвержденного приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от «16» апреля 2010 г. № 374.

Составитель ____________________

(подпись)

г.

	ã , 2013
	ã ТГСПА им. , 2013

СОДЕРЖАНИЕ

		Стр
1	Цели и задачи освоения дисциплины…………………………………	4
2	Место дисциплины в структуре ООП ВПО.......……………………..	4
3	Требования к результатам освоения содержания дисциплины..........	5
4	Содержание и структура дисциплины ……….......………………….	7
4.1	Структура дисциплины..........................................................................	7
4.2	Содержание разделов дисциплины.......................................................	8
5	Образовательные технологии................................................................	10
6	Самостоятельная работа студентов…………………………………...	11
7	Компетентностно-ориентированные оценочные средства…………	12
7.1	Оценочные средства диагностирующего контроля…………………	12
7.2	Оценочные средства текущего контроля: модульно-рейтинговая технология оценивания работы студентов…………………………..	12
7.3	Оценочные средства промежуточной аттестации..…………………	14
8	Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины	18
9	Материально-техническое обеспечение дисциплины……………….	19

1. Цели и задачи освоения дисциплины

Цели освоения дисциплины (модуля): овладение студентами математическим аппаратом классической и современной дифференциальной геометрии и топологии, фундаментальными теоретическими положениями этих теорий; воспитание и развитие их математической культуры; осознание ими прикладного характера математики в целом и дифференциальной геометрии и топологии в частности.

Ø  Задачи: вооружать студентов фундаментальными теоретическими знаниями по геометрии и топологии; давать достаточный терминологический и понятийный запас, необходимый для самостоятельного изучения специальной литературы; предлагать строгие формальные доказательства основных результатов, развивая культуру мышления студентов; учить навыкам формулировки разнообразных теоретических и практических задач на языке геометрии и топологии; демонстрировать применение дифференциальной геометрии и топологии для решения широкого круга математических задач; обеспечить разнообразный материал для самостоятельной работы.

2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата

Дисциплина «Дифференциальная геометрия и топология» относится к блоку дисциплин направления (ДН Ф.5) учебного цикла дисциплин Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) по направлению «Математика и компьютерные науки» (бакалавриат).

Содержание дисциплины «Дифференциальная геометрия и топология» тесно связано с другими курсами, предусмотренными учебным планом по направлению подготовки 02.03.01:

Ø  с фундаментальной и компьютерной алгеброй (теория линейных векторных пространств, теория групп);

Ø  с аналитической геометрией (геометрией евклидова, аффинного и проективного пространств);

Ø  с математическим анализом (дифференциальное и интегральное исчисление);

Ø  с теорией дифференциальных уравнений.

При этом преподавание дифференциальной геометрии и топологии не только создаёт базу для изучения вышеперечисленных предметов, но и предполагает достаточно хорошее освоение классических результатов алгебры, геометрии и математического анализа.

3. Требования к результатам освоения содержания дисциплины

3.1. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

В совокупности с другими дисциплинами базовой части математического цикла ФГОС ВПО дисциплина «Дифференциальная геометрия и топология» обеспечивает инструментарий формирования следующих компетенций бакалавра прикладной математики и информатики.

а) Общепрофессиональны компетенции (ОПК):

- готовность использовать фундаментальные знания в области математического анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной математики и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и случайных процессов, численных методов, теоретической механики в будущей профессиональной деятельности

(ОПК-1)

б) Профессиональные компетенции (ПК)

- способность математически корректно ставить естественнонаучные задачи, знание постановок классических задач математики (ПК-2);

- способность строго доказать утверждение, сформулировать результат, увидеть следствия полученного результата (ПК-3)

3.2. В результате изучения обучающийся должен знать:

· определение и способы задания кривых;

· определение поверхности, её касательной плоскости и нормали;

· определение многомерного проективного пространства и модели проективных прямой и плоскости;

· определения метрического и топологического пространств и их примеры;

· определение гладкого многообразия и примеры многообразий;

· определение внешней дифференциальной формы, внешнего произведения и внешнего дифференциала;

· определение интеграла дифференциальной формы на многообразии;

· определение гомотопии отображений;

· теорему Гаусса-Бонне;

· возможные сферы приложений геометрических абстракций, необходимых для успешного изучения математических и теоретико-информационных дисциплин, решения задач, возникающих в информатике и других профессиональных сферах.

уметь:

· вычислять кривизну и кручение кривой;

· вычислять внешний дифференциал внешней дифференциальной формы;

· решать задачи прикладного характера с применением вышеперечисленных формул Грина, Стокса, Остроградского-Гаусса;

· решать задачи вычислительного и теоретического характера, связанные с геометрическими объектами.

владеть:

· навыками применения современного математического инструментария для решения задач математики и информатики;

· методикой построения, анализа и применения математических моделей для прикладных задач математики и информатики.

приобрести опыт:

- распознавания в реальной ситуации гладких кривых;

- в нахождении касательных к кривым и поверхностям;

4. Структура и содержание дисциплины

Дисциплина «Дифференциальная геометрия и топология» изучается в III–IV семестрах II курса. Общая трудоёмкость 8 зачётных единиц (288 часов), из них 114 аудиторных: 76 часов лекций и 38 часов практических занятий, самостоятельная работа студентов – 142 часа. Изучение предусматривает контрольную работу и зачёт в III семестре и контрольную работу и экзамен в IV семестре.

4.1. Структура дисциплины

Таблица 1

№ раз- дела	Наименование разделов	Семестр	Количество часов
Всего	Аудиторная работа	СР
Л	ПЗ
1	Геометрические объекты.	3	114	36	18	60
		Итого:	114	36	18	60
2	Гладкие и римановы многообразия	4	90	20	10	40
3	Теория интегрирования. Элементы топологии многообразий	4	84	20	10	42
		Итого:	174	40	20	82
		Всего:	288	76	38	142

4.2. Содержание дисциплины

Таблица 2

№ разде-ла	Наименование раздела	Содержание раздела
1	Геометрические объекты	Плоские и пространственные кривые, способы их задания. Репер Френе, кривизна и кручение кривой, формулы Френе. Натуральные уравнения кривой. Эволюта и эвольвента. Определение и способы задания, касательная плоскость и нормаль. Первая квадратичная форма и её роль, метрика поверхности. Вторая квадратичная форма, кривизна линии на поверхности, главные кривизны поверхности. Полная (гауссова) и средняя кривизны поверхности. Деривационные формулы, символы Кристоффеля, геодезическая кривизна. Проективное пространство и его аффинная карта. Модели проективных пространств малых размерностей. Метрические группы.
2	Гладкие и римановы многообразия	Топологические и метрические пространства, примеры. Непрерывное отображение и гомеоморфизм, компактность и связность. Определение гладкого многообразия и примеры, отображения многообразий, многообразие с краем. Риманова метрика, касательный вектор, касательное пространство к многообразию, векторные поля на многообразии. Тензоры на римановом многообразии, операции с тензорами, поднятие и опускание индексов, оператор Ходжа, кососимметрические тензоры. Дифференциальные формы, их внешнее произведение и внешнее дифференцирование, внешняя алгебра. Дифференциал отображения, отображение касательных пространств гладких многообразий. Ковариантная производная тензоров, параллельный перенос векторных полей, геодезические связности, согласованные с метрикой риманова многообразия. Тензор кривизны, порождённый метрикой.
3	Теория интегрирования. Элементы топологии многообразий	Разбиение единицы на многообразии. Интеграл дифференциальной формы, криволинейные и поверхностные интегралы второго рода. Общая формула Стокса, формулы Грина, Стокса и Остроградского-Гаусса. Понятие гомотопии, относительная гомотопия. Степень отображения, гомотопическая классификация отображений многообразий в сферу. Степень и интеграл, степень векторного поля на поверхности, теорема Гаусса-Бонне. Индекс особой точки векторного поля, теорема Пуанкаре-Бендиксона.

5. Образовательные технологии

Таблица 3

№ занятия	№ раздела	Тема занятия	Виды образовательных технологий	Кол-во часов
1.	1	Тема 1. Гладкие кривые: Плоские и пространственные кривые, способы их задания.	Информационная лекция (Традиционные технологии)	2
2.	1	Тема 1. Гладкие кривые: Плоские и пространственные кривые, способы их задания.	Групповое обсуждение, дискуссия (Интерактивные технологии)	2
3	1	Тема 1. Гладкие кривые: Репер Френе, кривизна и кручение кривой, формулы Френе. Натуральные уравнения кривой.	Информационная лекция (Традиционные технологии)	2
4	1	Тема 1. Гладкие кривые: кривизна и кручение кривой, формулы Френе.	Практическое занятие (Традиционные технологии)	2
5.	1	Тема 2. Гладкие поверхности: Определение и способы задания, касательная плоскость и нормаль.	Информационная лекция (Традиционные технологии)	2
6	1	Тема 2. Гладкие поверхности: Определение и способы задания, касательная плоскость и нормаль.	Практическое занятие (Традиционные технологии)	2

7.	1	Тема 2. Гладкие поверхности Первая квадратичная форма и её роль, метрика поверхности.	Информационная лекция (Традиционные технологии) Лекция-визуализация	2
8	1	Тема 2. Гладкие поверхности Первая квадратичная форма и её роль, метрика поверхности.	Практическое занятие (Традиционные технологии)	2
9	1	Тема 2. Гладкие поверхности Вторая квадратичная форма, кривизна линии на поверхности, главные кривизны поверхности.	Информационная лекция (Традиционные технологии)	2
10	1	Тема 2. Гладкие поверхности Вторая квадратичная форма, кривизна линии на поверхности, главные кривизны поверхности	Групповое обсуждение (Интерактивные технологии)	2
11	3	Тема 4. Гладкие многообразия. Элементы общей топологии: Топологические и метрические пространства, примеры. Непрерывное отображение и гомеоморфизм, компактность и связность.	Информационная лекция (Традиционные технологии)	2
12	2	Тема 4. Гладкие многообразия. Элементы общей топологии: Топологические и метрические пространства, примеры. Непрерывное отображение и гомеоморфизм, компактность и связность	Групповое обсуждение, дискуссия (Интерактивные технологии)	2
13.	2	Тема 4. Гладкие многообразия. Элементы общей топологии: Риманова метрика, касательный вектор, касательное пространство к многообразию, векторные поля на многообразии.	Лекция-беседа (Интерактивные технологии)	2
14.	2	Тема 4. Гладкие многообразия. Элементы общей топологии: Риманова метрика, касательный вектор, касательное пространство к многообразию, векторные поля на многообразии.	Практическое занятие (Традиционные технологии)	2
15	2	Тема 5. Тензорный анализ на многообразиях: Дифференциальные формы, их внешнее произведение и внешнее дифференцирование. Дифференциал отображения.	Информационная лекция (Традиционные технологии)	2
16	2	Тема 5. Тензорный анализ на многообразиях: Дифференциальные формы, их внешнее произведение и внешнее дифференцирование. Дифференциал отображения.	Практическое занятие (Традиционные технологии)	2
17.	3	Тема 7. Интегрирование на многообразии: Интеграл дифференциальной формы, криволинейные и поверхностные интегралы второго рода. Общая формула Стокса, формулы Грина, Стокса и Остроградского-Гаусса.	Информационная лекция (Традиционные технологии)	2
18	3	Тема 7. Интегрирование на многообразии: Интеграл дифференциальной формы, криволинейные и поверхностные интегралы второго рода. Общая формула Стокса, формулы Грина, Стокса и Остроградского-Гаусса.	Практическое занятие в форме презентации (Интерактивные технологии)	2
19	3	Тема 8. Элементы топологии многообразий: Понятие гомотопии, относительная гомотопия. Степень отображения, гомотопическая классификация отображений многообразий в сферу. Теорема Гаусса-Бонне.	Информационная лекция (Традиционные технологии)	2
20	3	Тема 8. Элементы топологии многообразий: Понятие гомотопии, относительная гомотопия. Степень отображения, гомотопическая классификация отображений многообразий в сферу. Теорема Гаусса-Бонне.	Практическое занятие в форме презентации (Интерактивные технологии)	2

6. Самостоятельная работа студентов

Таблица 4

№	Наименование раздела дисциплины	Вид самостоятельной работы	Трудоемкость
1	Геометрические объекты	Самостоятельное изучение темы: Эволюта и эвольвента.	2
2	Геометрические объекты	Коллоквиум по теме: « Вторая квадратичная форма, кривизна линии на поверхности».	4
	Геометрические объекты	Домашние задания: решение задач.
3	Гладкие и римановы многообразия.	Самостоятельное изучение темы Дифференциал отображения, отображение касательных пространств гладких многообразий	6
4	Гладкие и римановы многообразия	Коллоквиум по теме: « Тензоры на римановом многообразии, операции с тензорами, поднятие и опускание индексов, оператор Ходжа, кососимметрические тензоры».	2
5	Гладкие и римановы многообразия	Домашние задания: решение задач.	4
6	Теория интегрирования. Элементы топологии многообразий	Самостоятельное изучение темы Индекс особой точки векторного поля, теорема Пуанкаре-Бендиксона	2
7	Теория интегрирования. Элементы топологии многообразий	Домашние задания: решение задач.	4
8	Теория интегрирования. Элементы топологии многообразий	Коллоквиум по теме: « Элементы топологии многообразий».	2

7. Компетентностно-ориентированные оценочные средства

7.1. Оценочные средства диагностирующего контроля

1) Входящий контроль в форме теста;

2) Текущий контроль в форме мониторинга результатов семинарских и практических занятий, а так же домашних работ;

3) Промежуточная аттестация в форме зачета.

7.2. Оценочные средства текущего контроля: модульно-рейтинговая технология оценивания работы студентов

7.2.1. Распределение рейтинговых баллов по модулям и видам работ

Таблица 5

Виды работ	Максимальное количество баллов
Модуль 1	Модуль 2	Модуль 3	Итого
Аудиторные занятия
Лекции	3	2	4	9
Практические занятия	6	4	8	18
Самостоятельная работа	11	9	13	33
Итого за работу в семестре
Обобщающий контроль	5	10	25	40
Итого	25	25	50	100

7.2.2. Оценивание аудиторной работы студентов

7.2.2. Оценивание аудиторной работы студентов

Таблица 6

№	Наименование раздела дисциплины	Формы оцениваемой работы	Максимальное количество баллов	Модуль (аттестация)
Работа на лекциях
1	Геометрические объекты	– посещение лекций и практических занятий; – ответы на теоретические вопросы	3 4	1
2	Геометрические объекты	– посещение лекций и практических занятий; – ответы на теоретические вопросы	3 4	2-3
3	Геометрические объекты	– посещение лекций и практических занятий; – ответы на теоретические вопросы	3 4	3
1	Гладкие и римановы многообразия	– посещение лекций и практических занятий; – ответы на теоретические вопросы	3 4	1
2	Гладкие и римановы многообразия	– посещение лекций и практических занятий; – ответы на теоретические вопросы	3 4	2-3
3	Гладкие и римановы многообразия	– посещение лекций и практических занятий; – ответы на теоретические вопросы	3 4	3
1	Теория интегрирования. Элементы топологии многообразий	– посещение лекций и практических занятий; – ответы на теоретические вопросы	3 4	1
2	Теория интегрирования. Элементы топологии многообразий	– посещение лекций и практических занятий; – ответы на теоретические вопросы	3 4	2-3
3	Теория интегрирования. Элементы топологии многообразий	– посещение лекций и практических занятий; – ответы на теоретические вопросы	3 4	3
Работа на практических (семинарских, лабораторных) занятиях
1	Геометрические объекты	– выполнение учебных индивидуальных и групповых заданий в ходе практических занятий;	9	1
2	Геометрические объекты	– выполнение учебных индивидуальных и групповых заданий в ходе практических занятий; – выступление на занятии	9 4	2-3
3	Геометрические объекты	– выполнение учебных индивидуальных и групповых заданий в ходе практических занятий; – выполнение аудиторной контрольной работы	9 8	3
1	Гладкие и римановы многообразия	– выполнение учебных индивидуальных и групповых заданий в ходе практических занятий	9	1
2	Гладкие и римановы многообразия	– выполнение учебных индивидуальных и групповых заданий в ходе практических занятий; – выступление на занятии	9 4	2-3
3	Гладкие и римановы многообразия	– выполнение учебных индивидуальных и групповых заданий в ходе практических занятий; – выполнение аудиторной контрольной работы	9 8	3
1	Теория интегрирования. Элементы топологии многообразий	– выполнение учебных индивидуальных и групповых заданий в ходе практических занятий	9	1
2	Теория интегрирования. Элементы топологии многообразий	– выполнение учебных индивидуальных и групповых заданий в ходе семинаров и практических занятий; – выступление на занятии	9 4	2-3
3	Теория интегрирования. Элементы топологии многообразий	– выполнение учебных индивидуальных и групповых заданий в ходе семинаров и практических занятий; – выполнение аудиторной контрольной работы	9 8	3

7.2.3. Оценивание самостоятельной работы студентов

Таблица 7

№	Наименование раздела (темы) дисциплины	Формы оцениваемой работы	Максимальное количество баллов	Модуль (аттестация)
1	Геометрические объекты	– выполнение домашних контрольных работ; – конспектирование	3 6	1
2	Гладкие и римановы многообразия	выполнение домашних контрольных работ	5	2
3	Теория интегрирования. Элементы топологии многообразий	выполнение домашних контрольных работ; – конспектирование	3 3	3

7.2.4. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости

Вопросы к зачету:

1.  Способы задания плоской кривой. Касательная.

2.  Пространственная линия. Репер Френе.

3.  Кривизна и кручение линии. Натуральные уравнения.

4.  Гладкая поверхность. Касательная плоскость и нормаль.

5.  Первая квадратичная форма поверхности и её роль.

6.  Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизна линии на поверхности.

7.  Полная и средняя кривизны поверхности.

8.  Проективное пространство. Модели проективной прямой и проективной плоскости.

7.3 Оценочные средства промежуточной аттестации

7.3.1. Рубежные баллы рейтинговой системы оценки успеваемости студентов

Таблица 8

Вид аттестации	Допуск к аттестации	Зачёт	Экзамен (соответствие рейтинговых баллов и академических оценок)
Удовл.	Хорошо	Отлично
	40 баллов	61 балл	61-72 баллов	73-86 баллов	87-100 баллов

7.3.2. Оценочные средства для промежуточной аттестации

Контрольная работа (3 семестр)

1.  Построить линию x = , y = .

2.  Написать уравнение нормали и касательной плоскости к поверхности x =u, y=u2–2×u×v, z = u3 – 3×u2×v в точке M(1; 3; 4).

3.  Найти кривизну и кручение линии x = t3 – 2×t + 1, y = t2 – 3×t, z = 4 – t2 при t = –2.

4.  Вычислить длину дуги кривой y = ln cos x между точками x1 = 0, x2 = .

Вопросы к зачету (3 семестр)

1.  Способы задания плоской кривой. Касательная.

2.  Пространственная линия. Репер Френе.

3.  Кривизна и кручение линии. Натуральные уравнения.

4.  Гладкая поверхность. Касательная плоскость и нормаль.

5.  Первая квадратичная форма поверхности и её роль.

6.  Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизна линии на поверхности.

7.  Полная и средняя кривизны поверхности.

Контрольная работа (4 семестр)

1.  Доказать, что интервал, полуинтервал и сегмент на вещественной прямой попарно не гомеоморфны.