2. Решение задач: тема № 1 по методическому пособию Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
Основные понятия и категории: отображение, непрерывное отображение, гомеоморфизм.
Список литературы:
1. Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
2. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
Тема 9. Отображения многообразий.
1. Беседа по материалам лекции.
2. Решение задач: тема № 1 по методическому пособию Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
Основные понятия и категории: отображение, многообразие.
Список литературы:
1. Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
2. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
Тема 10. Риманова метрика, касательный вектор
1. Беседа по материалам лекции.
2. Решение задач: тема № 1 по методическому пособию Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
Основные понятия и категории: метрика, касательный вектор.
Список литературы:
1. Абрамов в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М. : Физматлит, 2004.
2. Димитриенко исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
3. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
4. Подран топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
Тема 11. Векторные поля на многообразии.
1. Беседа по материалам лекции.
2. Решение задач: тема № 1 по методическому пособию Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
Основные понятия и категории: векторное поле, многообразие.
Список литературы:
1. Абрамов в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М. : Физматлит, 2004.
2. Димитриенко исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
3. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
4. Подран топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
Тема 12. Тензоры на римановом многообразии, операции с тензорами, поднятие и опускание индексов, оператор Ходжа, кососимметрические тензоры.
1. Беседа по материалам лекции.
2. Решение задач: тема № 1 по методическому пособию Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
Основные понятия и категории: тензоры, риманово многообразие, оператор Ходжа, кососимметрические тензоры.
Список литературы:
1. Абрамов в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М. : Физматлит, 2004.
2. Димитриенко исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
3. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
4. Подран топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
Тема 13. Дифференциальные формы, их внешнее произведение и внешнее дифференцирование, внешняя алгебра.
1. Беседа по материалам лекции.
2. Решение задач: тема № 1 по методическому пособию Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
Основные понятия и категории: дифференциальные формы, их внешнее произведение и дифференцирование, внешняя алгебра.
Список литературы:
1. Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
2. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
Тема 14. Дифференциал отображения, отображение касательных пространств гладких многообразий.
1. Беседа по материалам лекции.
2. Решение задач: тема № 1 по методическому пособию Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
Основные понятия и категории: Дифференциал отображения, отображение касательных пространств гладких многообразий.
Список литературы:
1. Абрамов в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М. : Физматлит, 2004.
2. Димитриенко исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
3. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
4. Подран топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
Тема 15. Тензор кривизны, порождённый метрикой.
1. Беседа по материалам лекции.
2. Решение задач: тема № 1 по методическому пособию Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
Основные понятия и категории: кривизна, тензор, метрика.
Список литературы:
3. Абрамов в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М. : Физматлит, 2004.
4. Димитриенко исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
Тема 16. Интеграл дифференциальной формы.
1. Беседа по материалам лекции.
2. Решение задач: тема № 1 по методическому пособию Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
Основные понятия и категории: дифференциальная форма, интеграл.
Список литературы:
1. Абрамов в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М. : Физматлит, 2004.
2. Димитриенко исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
3. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
4. Подран топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
Тема 17. Криволинейные и поверхностные интегралы второго рода.
1. Беседа по материалам лекции.
2. Решение задач: тема № 1 по методическому пособию Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
Основные понятия и категории: интеграл, криволинейный интеграл, поверхностный интеграл.
Список литературы:
1. Абрамов в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М. : Физматлит, 2004.
2. Димитриенко исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
3. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
4. Подран топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
Тема 18. Общая формула Стокса, формулы Грина, Стокса и Остроградского-Гаусса.
1. Беседа по материалам лекции.
2. Решение задач: тема № 1 по методическому пособию Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
Основные понятия и категории: формулы Стокса, Остроградского, Гаусса.
Список литературы:
1. Абрамов в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М. : Физматлит, 2004.
2. Димитриенко исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
3. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
4. Подран топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
Тема 19. Понятие гомотопии, относительная гомотопия.
1. Беседа по материалам лекции.
2. Решение задач: тема № 1 по методическому пособию Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
Основные понятия и категории: гомотопия, относительная гомотопия.
Список литературы:
1. Абрамов в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М.: Физматлит, 2004.
2. Димитриенко исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
3. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
4. Подран топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
Тема 20. Степень отображения, гомотопическая классификация отображений многообразий в сферу.
1. Беседа по материалам лекции.
2. Решение задач: тема № 1 по методическому пособию Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
Основные понятия и категории: отображение, степень отображения, гомотопическая классификация отображений многообразий в сферу.
Список литературы:
1. Абрамов в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М. : Физматлит, 2004.
2. Димитриенко исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
3. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
4. Подран топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
Тема 21. Степень и интеграл, степень векторного поля на поверхности.
1. Беседа по материалам лекции.
2. Решение задач: тема № 1 по методическому пособию Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
Основные понятия и категории: степень, интеграл, векторное поле.
Список литературы:
1. Абрамов в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М. : Физматлит, 2004.
2. Димитриенко исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
3. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
4. Подран топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
Тема 22. Теорема Гаусса-Бонне
1. Беседа по материалам лекции.
2. Решение задач: тема № 1 по методическому пособию Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
Список литературы:
1. Абрамов в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М.: Физматлит, 2004.
2. Димитриенко исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
3. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
4. Подран топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
Тема 23. Индекс особой точки векторного поля
1. Беседа по материалам лекции.
2. Решение задач: тема № 1 по методическому пособию Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
Основные понятия и категории: особая точка, индекс, векторное поле.
Список литературы:
1. Абрамов в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М. : Физматлит, 2004.
2. Димитриенко исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
3. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
4. Подран топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
Тема 24. Теорема Пуанкаре-Бендиксона.
1. Беседа по материалам лекции.
2. Решение задач: тема № 1 по методическому пособию Линёв геометрия и топология. – М.: СГУ, 2003.
Основные понятия и категории: Теорема Пуанкаре-Бендиксона; математические доказательства.
Список литературы:
1. Абрамов в тензорный анализ и риманову геометрию. – 2-е изд. – М.: Физматлит, 2004.
2. Димитриенко исчисление: Учеб. пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001.
3. , Фоменко курс дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Физматлит, 2004.
4. Подран топологии. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.
2.2. Методические указания к практическим занятиям
Дисциплина «Дифференциальная геометрия и топология» изучается в 3 и 4 семестрах. По окончании дисциплины предусмотрены контрольная работа и зачет в 3 семестре и контрольная работа и экзамен в 4 семестре.
Общая трудоемкость дисциплины по учебному плану составляет 288 часов (8 зачетных единиц): на аудиторные занятия отводится 114 часов, из них лекций 76 часов, практические занятия составляют 38 часов.
Текущий контроль успеваемости организован в виде домашних работ по каждой теме.
Допуском для сдачи зачета является посещение всех занятий (лекционных и практических), выполнение домашних работ, предоставление конспектов по темам, выносимых на самостоятельное изучение, выполнение итогового теста.
Зачет выставляется в соответствии с больно-рейтинговой системой оценки знаний студентов, в том случае, если обучающийся набрал не менее 61 балла (из 100).
Приложение 3
самостоятельнАЯ работА СТУДЕНТОВ
1.1. Задания для самостоятельной работы
Тематический план самостоятельной работы
№ раздела | Тема | Кол-во часов | Формы текущего контроля успеваемости |
1 | Геометрические объекты | 5 | Домашняя работа № 1 Устный опрос |
1 | Геометрические объекты | Коллоквиум | |
1 | Геометрические объекты | Изготовление моделей | |
2 | Гладкие и римановы многообразия | 8 | Домашняя работа №2 Устный опрос |
2 | Гладкие и римановы многообразия | Коллоквиум | |
2 | Гладкие и римановы многообразия | ||
3 | Теория интегрирования. Элементы топологии многообразий | 5 | Коллоквиум |
3 | Теория интегрирования. Элементы топологии многообразий | Домашняя работа №3 | |
3 | Теория интегрирования. Элементы топологии многообразий | 8 | Устный и письменный опрос |
Содержание самостоятельной работы
Вариант 1
1. Написать уравнения касательной и нормали к плоской кривой
у=х2+4х+3, z=0 в точке с абсциссой х0= –1.
Ответ: 2х–у+2=0, х+2у+1=0.
2. Найти углы, под которыми пересекаются линии у=sinx и y=cosx.
Ответ: arc tg 2 
.
3. Докажите, что проекцией линии z=x2+2 y2 2x–4y+z–1=0 на плоскости XOY является эллипс и вычислите его полуоси.
Ответ: 2 и .
4. Вычислите кривизну и кручение кривой х=2 t , y=ln t , z = t2.
Ответ: 2t(1+t2) - 2, – 2 t (1 + t2) – 2 .
5. Вычислить I и II квадратичные формы поверхности:
x=(a+b cos u)× cosv, y=(a+b cos u)×sin v, z=b sinu, и найдите главные направления.
Ответ: b2 d u2+(a+b cos u)2d v2, b d u2+cosu (a+b cos u) dv2, (d u, 0) и (0, d v).
Вариант 2
1. Найдите касательную и нормаль плоской кривой у2=2 р х , z=0 в точке с абсциссой х0 = р.
Ответ: у=
; у=–
.
2. Найдите кривизну плоской линии у=sin x, z = 0 .
Ответ: 
.
3. Составьте уравнение соприкасающейся плоскости линии х =t cos t , y=–t sin t , z = a t , где a – const, в начале координат.
Ответ: – а х + z = 0 .
4. Напишите уравнение касательной плоскости к поверхности х=2 u– v , y=u2+v2, z=u3 – v3 в точке (3, 5, 7).
Ответ: 18 х + 3 у – 4 z – 41 = 0 .
5. Вычислить I и II квадратичные формы поверхности: x=R cosu cosv, y = R cos u sin v, z=R sin u , укажите главные направления.
Ответ: R2 (d u2 + cos2 u d v2) , R2 (d u2 + cos2 u d v2) , все направления главные.
Вариант 3
1. Составьте уравнение касательной и нормали к плоской кривой y=x3, z=0 в точке с абсциссой х0=0 .
Ответ: у = 0 , х = 0 .
2. Вычислить кривизну плоской линии x = t2 , y = t3 .
Ответ: 6 : [ t (4 + 9 t2)3/2 ] .
3. Найдите проекцию линии у2 = х z, x – y + z + 1 = 0на плоскости XOZ .
Ответ: x2 + z2 + x z + 2 x + 2 z + 1 = 0 y = 0
4. Вычислите кривизну и кручение кривой x =cos3 t , y = sin3 t , z = cos2 t .
Ответ: 
.
5. Вычислить I и II квадратичные формы поверхности: x=ucos v, y= usinv, z=кu. Укажите главные направления.
Ответ: (1 + к2) d u2 + u2 d v2 , 
, (d u, 0), (0, d v).
Вариант 4
1. Докажите, что линии y=a sin 
, y = a tg , y = a× ln пересекает ось абсцисс под одним и тем же углом, не зависящим от величины а .
2. Найдите кривизну плоской кривой x = a cos t, y = b sin t .
Ответ: ab : [ a2 sin2 t + b2 cos2 t ] .
3. Напишите уравнения соприкасающейся плоскости линии x = a cos t , y = b sin t , z = et в точке (а, 0, 1).
Ответ: b x + a y + a b z = 2 a b .
4. Напишите уравнение нормали поверхности x=u + v , y = u – v , z = u v в точке u = 2 , v= 1 .
Ответ: 
.
5. Вычислить I и II квадратичные формы гиперболического параболоида x=u, y=v, z=u v. Укажите главные направления.
Ответ: (1 + v2) d u2 + 2 u v d u d v + (1 + u2) d v2 , 2 d u d v , 
.
Вариант 5
1. Написать уравнение касательной и нормали к плоской кривой y=sin x в точке с абсциссой х0 = p .
Ответ: х + у – p = 0 , х – у – p = 0 .
2. Найти кривизну плоской кривой х = а (t – sin t) , y = a (1 – cos t) .
Ответ: 
.
3. Докажите, что проекцией линии x = y2 + z2 x – 2 y + 4 z – 4 = 0 на плоскости YOZ является окружность с центром в точке (0 , 1 , – 2) и радиусом r=3 .
4. Вычислите кривизну и кручение кривой x = 2 t , y = ln t , z = t2 .
Ответ: 2 t (1 + t2)–2 , – 2 t (1 + t2)–2 .
5. Вычислить I и II квадратичную формы поверхности x=R cos v, y=R sin v, z=u. Укажите главные направления.
Ответ: d u2 + R d v2 , R d v2 , (d u, 0) и (0 , d v) .
3.2. Методические указания к выполнению самостоятельной работы
Как выполнять домашнее задание
1. Подготовьте специальную тетрадь для домашних заданий.
2. Ознакомьтесь с рекомендуемой литературой и другими источниками информации. Прежде всего, прочитайте соответствующие страницы в конспекте лекций, разделы учебников. Ознакомьтесь с примерами решения основных типов задач, предложенных на практических занятиях
3. Выполните предложенные задания, оформляя решение в тетрадь.
Приложение 4
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения
дисциплины и учебно-методическое обеспечение
4.1. Технологическая карта
Наименование образовательной программы, профиль: дисциплина «Дифференциальная геометрия и топология»
Год обучения, группа: 2013-14 уч. год, 2 курс
Семестр: III
Статус дисциплины:
Количество часов на дисциплину: 72
Количество аудиторных часов на дисциплину: 3 семестр – 54
ФИО преподавателей:
Утверждено на заседании кафедры математики, ТиМОМ от 11 сентября 2013 г., протокол
№ | Дисциплина | № | Контрольное мероприятие | Ауд. или Внеауд. | Баллы | Неделя |
1 | Дифференциальная геометрия и топология | 1 | Вводное тестирование | Ауд. | 0-4 | 1 |
2 | Конспектирование | Ауд. | 0-6 | 1-6 | ||
3 | Домашняя работа № 1 «Прямая на плоскости» | Внеауд. | 0-3 | 4 | ||
4. | Решение задач | Ауд. | 0-6 | 1-6 | ||
5 | Работа на лекционных и практических занятиях: 1) Посещение лекций 2) Ответ на теоретический вопрос | Ауд. | 0-2 0-4 | 1-6 | ||
Итого: | 0-25 | |||||
6 | Конспектирование | Ауд. | 0-6 | 7-12 | ||
7 | Домашняя работа № 2 «Репер Френе» | Внеауд. | 0-3 | 10 | ||
7 | Решение задач | Ауд. | 0-6 | 7-12 | ||
8 | Домашняя работа № 3 «Эволюта и эвольвента» | Внеауд. | 0-4 | 12 | ||
9 | Работа на лекционных и практических занятиях: 1) Посещение лекций 2) Ответ на теоретический вопрос | Ауд. | 0-2 0-4 | 7-12 | ||
Итого: | 0-25 | |||||
10 | Конспектирование | Ауд. | 0-6 | 13-18 | ||
11 | Опрос по теме «Гладкие кривые» | Ауд. | 0-4 | 17 | ||
12 | Тестирование по теме «Гладкие кривые» | Ауд. | 0-8 | 18 | ||
13 | Решение задач | Внеауд. | 0-6 | 13-18 | ||
14 | Работа на лекционных и практических занятиях: 1) Посещение лекций 2) Ответ на теоретический вопрос | Ауд. | 0-2 0-4 | 7-12 | ||
Итого: | 0-30 | |||||
Итоговый контроль | 0-20 | |||||
Всего: минимум – 0, максимум –100 |
4.2. Задания для текущего контроля
Контрольная работа по разделу 1
1. Построить линию x = 
, y = .
2. Написать уравнение нормали и касательной плоскости к поверхности x=u, y=u2–2×u×v, z = u3 – 3×u2×v в точке M(1; 3; 4).
3. Найти кривизну и кручение линии x = t3 – 2×t + 1, y= t2 – 3×t, z=4 – t2 при t=–2.
4. Вычислить длину дуги кривой y = ln cos x между точками x1 = 0, x2 = .
5. Определить первую квадратичную форму поверхности и вычислить площадь области поверхности, ограниченной линиями u =0, u =3, v=0, v = 1: x = u×cos v, y=u×sin v, z = 3×v .
Контрольная работа по разделу 2
5. Доказать, что интервал, полуинтервал и сегмент на вещественной прямой попарно не гомеоморфны.
6. Найти внешний дифференциал дифференциальных форм:
w1 = x×y2×z2×dx Ù dy – y×cos x×dx Ù dz – z×x2×dz Ù dy,
w2 = x×ln z×dx – cos (x×y)×dy + x×y2×z×dz.
7. Используя формулу Грина, вычислить замкнутый интеграл по окружности
Г: x2 + y2 = 2 в направлении против часовой стрелки:
.
8. Используя внешний дифференциал, показать, что следующий интеграл не зависит от пути интегрирования: 
Примерный перечень вопросов к зачёту по курсу
«Дифференциальная геометрия и топология» (3 семестр)
1. Способы задания плоской кривой. Касательная.
2. Пространственная линия. Репер Френе.
3. Кривизна и кручение линии. Натуральные уравнения.
4. Эволюта и эвольвента линии.
5. Гладкая поверхность. Касательная плоскость и нормаль.
6. Первая квадратичная форма поверхности и её роль.
7. Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизна линии на поверхности.
8. Полная и средняя кривизны поверхности.
Примерный перечень вопросов к экзамену по курсу
«Дифференциальная геометрия и топология» (4 семестр)
1. Способы задания плоской кривой. Касательная.
2. Пространственная линия. Репер Френе.
3. Кривизна и кручение линии. Натуральные уравнения.
4. Эволюта и эвольвента линии.
5. Гладкая поверхность. Касательная плоскость и нормаль.
6. Первая квадратичная форма поверхности и её роль.
7. Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизна линии на поверхности.
8. Полная и средняя кривизны поверхности.
9. Деривационные формулы поверхности.
10. Символы Кристоффеля и их вычисление.
11. Метрические пространства. Примеры.
12. Топологические пространства. Примеры.
13. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы.
14. Компактность и связность топологического пространства.
15. Гладкие многообразия. Примеры.
16. Касательное пространство гладкого многообразия.
17. Тензоры на римановом многообразии и операции над ними. Кососимметрические тензоры.
18. Дифференциальные формы. Внешнее произведение и внешнее дифференцирование форм.
19. Геодезические связности на римановом многообразии. Параллельный перенос векторных полей.
20. Тензор кривизны.
21. Интеграл дифференциальной формы. Общая формула Стокса и её частные случаи (формулы Грина, Стокса, Остроградского-Гаусса).
22. Степень векторного поля на поверхности. Теорема Гаусса-Бонне.
Приложение 5
Глоссарий
Понятие | Определение |
Гладкая линия | множество 1) 2) при любом |
Путь | непрерывное отображение |
Единичная вектор - функция | вектор - функция |
Касательная к гладкой кривой | предельное положение секущей |
Угол смежности | угол j между касательными, проведёнными к линии на концах дуги. |
средняя кривизна дуги | отношение угла смежности j к длине дуги S |
Кривизна линии в данной точке | предел средней кривизны при неограниченном сближении концов дуги |
пространства Е3, заданной вектор – функцией 
, если функция 
производная 
.
.
.
при 
.
.
.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 |
