Математика (стр. 2 )

4) Пусть точка М середина стороны . Найдем ее координаты:

т..

Уравнение медианы находим с помощью уравнения прямой, проходящей через две данные точки: , получим .

5) Составим уравнение еще одной высоты треугольника . Например, выберем высоту, проведенную из вершины . Аналогично пункту 3) составим уравнение стороны :

.

Угловой коэффициент стороны равен ; следовательно, в силу условия перпендикулярности, угловой коэффициент высоты, проведенной из вершины , равен . Уравнение этой высоты имеет вид , получаем , или . Поскольку мы ищем точку пересечения высот треугольника, то координаты этой точки должны удовлетворять системе уравнений ; Таким образом точка пересечения высот треугольника имеет координаты

6) Найдем длину высоты, опущенной из вершины по формуле расстояния от точки до прямой :: . Таким образом

7) Стороны треугольника заданы уравнениями прямых:

: ; (см. пункт 3).

: ; (см. пункт 5).

: ; ; .

Каждая из этих прямых делит координатную плоскость на две полуплоскости. Область треугольника лежит выше прямой , т. е. в полуплоскости, которая задается неравенством:. Прямая делит координатную плоскость на две полуплоскости, нам необходима та, которая удовлетворяет неравенству: . Из двух полуплоскостей, которые разделяет прямая , выбираем ту, которая задается неравенством: .

Таким образом, область треугольника , определяется системой неравенств:

Задача 2. Дана система линейных уравнений

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Решение. 1) Докажем совместность системы. Для этого вычислим ранг матрицы А исходной системы и ранг расширенной матрицы системы

3

2

Для удобства вычислений элементарные преобразования будем производить с матрицей :

~ ~ ~

т. е. по теореме Кронекера-Капелли система совместна.

2) Решим систему методом Гаусса. Для этого матрицу приведем к диагональному виду:

тиии

3) Решим систему матричным способом. Для этого введем следующие матрицы и исходную систему запишем в матричном виде.

.

Вычислим обратную матрицу . Определитель матрицы А , значит обратная матрица существует. Затем, вычислив к каждому элементу матрицы А алгебраические дополнения, составим из них матрицу , транспонируем ее и находим обратную матрицу .

=

.

Ответ:

Задача 3.

1). Найти производную функции

2). Найти производную функции

3). Найти производную функции: .

4). Найти производную функции: .

5). Найти производную функции: .

Задача 4. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.

Решение.

1) Область определения функции: пересечение оси 0х в точке (1;0), а оси 0у - (0;-1);

2) точка разрыва;

3) Из 2) следует, что вертикальная асимптота;

Находим наклонную асимптоту:

- наклонная асимптота при

4)

=

при (возрастает)

(убывает)

(возрастает)

(возрастает)

5) Из предыдущего точка максимума,

- max;

6)

при ;

При

абсцисса точки перегиба, .

Результаты исследования внесем в следующую таблицу

х		-5	(-5;-1)	(-1;1)	1	(1;+4)
	+	0	-	+	0	+
	-	-	-	-	0	+
y		-27/2- max			0

 

Задача 5.

1). Найти

Решение. Воспользуемся заменой переменной, получим

.

2). Найти.

Решение. Применим метод интегрирования по частям

.

3). Найти

Решение. Применим метод интегрирования по частям дважды

.

4). Найти

Решение. Разложим знаменатель подынтегральной рациональной функции на множители: Правильная дробь разлагается в сумму простейших дробей: Воспользовавшись методом неопределенных коэффициентов, найдем коэффициенты A,В,C. Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители: Подставляем корни знаменателя:

Таким образом, искомое разложение на простейшие дроби имеет вид:

В результате получаем:

.

5). Найти

Решение. Разложим знаменатель на множители

.

Подынтегральная функция разложится на сумму простейших дробей:

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители: Подставляем корни знаменателя:

Для нахождения B, приравниваем коэффициенты при , получаем 1=A+B, откуда . Таким образом, искомое разложение на простейшие дроби имеет вид

В результате получаем:

.

6). Найти

Решение. Рациональная дробь - правильная и ее разложение на простейшие дроби имеет вид: Сравнивая числители дробей в обеих частях равенства, получим Имеется только один действительный корень , этого достаточно для нахождения только одного коэффициента А:

Для нахождения остальных коэффициентов раскроем скобки в правой части равенства и запишем ее в виде многочлена четвертой степени:

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x левой и правой частях, получим систему уравнений для нахождения неопределенных коэффициентов

Отсюда находим Искомое разложение имеет вид

Следовательно

Второй и третий интеграл справа находим одинаковой заменой и окончательно получаем

7). Найти

Решение. Подынтегральная функция рационально зависит от и; применим подстановку , тогда

,,

и

Возвратившись к старой переменной, получим

8). Найти

Решение. Выполним замену переменной Числитель подынтегрального выражения можно представить следующим образом:

Поэтому имеем

Возвращаясь к переменной , получим

Задача 6. Найти общее решение дифференциального уравнения xy’ + 2y = x2

и частное решение, удовлетворяющее начальному условию при .

Решение. Полагаем y = u (x) v(x), находим y’ = u’v + uv’. Подставим вместо y и y’ соответствующие выражения в исходное уравнение:

x (u’v + uv’) + 2uv = x2, или xu’v + u ( xv’ + 2v ) = x2. (*)

Подберем v = v ( x ) так, чтобы xv’ + 2v = 0, или , откуда

интегрируя, имеем или

Уравнение (*) примет вид:

u’v = x, или u’ = x, отсюда u’ = x3, du = x3 dx, u =

у = u (x) v (x) = или - общее решение.

Найдем частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию при : , откуда . Таким образом, - частное решение.

Задача 7. Найти область сходимости ряда.

Решение. Имеем . Находим радиус сходимости

, (-10, 10) - интервал сходимости.

Исследуем на сходимость степенной ряд на концах интервала сходимости:

а) при получаем числовой ряд , который сходится по признаку Лейбница.

б) при x=10 получаем расходящийся гармонический ряд .

Итак, [-10, 10) - область сходимости.

Задача 8. В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым.

Решение. Обозначим через А событие – из третьей урны извлечен белый шар.

6 - Ч 4 - Б	6 - Ч 4 - Б	6 - Ч 4 - Б

 

Б

Рассмотрим все возможные случаи извлечения шаров из урн: БББ, ББЧ, БЧБ, БЧЧ, ЧБЧ, ЧББ, ЧЧБ, ЧЧЧ. Из восьми возможных случаев, только четыре удовлетворяют условию, что из третьей урны извлечен белый шар. Введем обозначения

- из 1-ой урны извлечен белый шар;

- из 1-ой урны извлечен черный шар;

- из 2-ой урны извлечен белый шар;

- из 2-ой урны извлечен черный шар.

Поскольку в первой урне содержится всего 10 шаров, причем 4 из них белых, то вероятность события . Соответственно вероятность того, что из первой урны будет извлечен черный шар равна: Условная вероятность того, что из 2-ой урны будет извлечен белый шар, при условии, что из 1-ой урны был извлечен белый шар равна Условная вероятность того, что из 2-ой урны будет извлечен белый шар, при условии, что из 1-ой урны был извлечен черный шар равна: Вычислим условную вероятность события при условиях и : и

Вероятность того, что из 3-ой урны будет извлечен белый шар, при условии, что и из 1-ой и из 2-ой урн были извлечены белые шары равна: Вероятность события , при условиях , равна: Условная вероятность , с учетом того, что из 1-ой урны извлечен черный шар, а из 2-ой урны извлечен белый шар равна:

Вероятность события , при условиях , равна: Искомую вероятность того, что из третьей урны будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности:

Задача 9. Имеется три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20, 16, 6. Из наудачу взятой партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Затем из той же партии вторично наудачу извлекли деталь, также оказавшуюся стандартной. И, наконец, из той же партии в третий раз наудачу извлекли деталь, которая также оказалась стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из второй партии.

Решение. Обозначим через А событие – в каждом из трех испытаний была извлечена стандартная деталь. Можно сделать три предположения (гипотезы): - детали извлекались из первой партии, - детали извлекались из второй партии, - детали извлекались из третьей партии.

Детали извлекались из наудачу взятой партии, поэтому вероятности гипотез одинаковы:

Найдем условную вероятность , т. е. вероятность того, что из первой партии будут последовательно извлечены три стандартные детали. Это событие достоверно, так как в первой партии все детали стандартны, поэтому

Найдем условную вероятность , т. е. вероятность того, что из второй партии будут последовательно извлечены (без возращения) три стандартные детали:

Найдем условную вероятность , т. е. вероятность того, что из третьей партии будут последовательно извлечены (без возращения) три стандартные детали:

Искомая вероятность того, что три извлеченные стандартные детали взяты из второй партии, по формуле Бейеса равна

Задача 10. Случайная величина X задана функцией распределения F(x):

Требуется:

а) найти плотность распределения вероятностей;

б) построить графики интегральной и дифференциальной функций;

в) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X;

г) определить вероятность того, что X примет значение, заключенное в интервале

Решение. а) Плотность распределения вероятностей равна первой производной от функции распределения:

б) Построим графики интегральной и дифференциальной функций:

в) Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины X. Поскольку случайная величина X задана плотностью распределения в интервале , а вне этого интервала то воспользуемся следующей формулой