Математика (стр. 4 )

Значение в 4-й строке столбца этого же вектора можно найти двумя способами:

1)  по формуле ,т. е.

2)  по правилу прямоугольника; в данном случае прямоугольник образован числами 0, 192, 8, -16. Этот способ приводит к тому же результату: .

Аналогично пересчитываем оставшиеся элементы табл.1 и записываем их в новую табл. 2.

По окончании расчета всех элементов табл. 1.2 в ней полу­чены новый опорный план и коэффициенты разложения векторов через базисные векторы и значения . Как видно из этой таблицы, новым опорным планом задачи является план . При данном плане производства изготовляется 24 изделия С и остается неисполь­зованным 72 кг сырья I вида и 108 кг сырья III вида. Стоимость всей производимой при этом плане продукции равна 384 руб. Указанные числа записаны в столбце вектора табл. 1.2. Как видно, данные этого столбца по-прежнему представляют собой параметры рассматриваемой задачи, хотя они претерпели зна­чительные изменения. Изменились данные и других столбцов, а их экономическое содержание стало более сложным. Так, на­пример, возьмем данные столбца вектора Число во 2-й строке этого столбца показывает, на сколько следует уменьшить изготовление изделий С, если запланировать выпуск одного изделия В. Числа 9 и в 1-й и 3-й строках вектора пока­зывают соответственно, сколько потребуется сырья I и II вида при включении в план производства одного изделия B, а число -2 в 4-й строке показывает, что если будет запланирован вы­пуск одного изделия В, то это обеспечит увеличение выпуска продукции в стоимостном выражении на 2 руб. Иными слова­ми, если включить в план производства продукции одно изде­лие В, то это потребует уменьшения выпуска изделия С на ед. и потребует дополнительных затрат 9 кг сырья I вида и кг сырья III вида, а общая стоимость изготовляемой продукции в соответствии с новым оптимальным планом возрастет на 2 руб. Таким образом, числа 9 и выступают как бы новыми «норма­ми» затрат сырья I и III вида на изготовление одного изделия В (как видно из табл. 1.1, ранее они были равны 15 и 3), что объясняется уменьшением выпуска изделий С.

Такой же экономический смысл имеют и данные столбца век­тора табл. 1.2. Несколько иное экономическое содержание имеют числа, записанные в столбце вектора . Число во 2-й строке этого столбца, показывает, что увеличение объемов сырья II вида на 1 кг позволило бы увеличить выпуск изделий С на ед. Одновременно потребовалось бы дополнительно кг сырья I вида и кг сырья III вида. Увеличение выпуска изделий С на ед. приведет к росту выпуска продукции на 2 руб.

Из изложенного выше экономического содержания данных табл. 1.2 следует, что найденный на II итерации план задачи не является оптимальным. Это видно и из 4-й строки табл. 1.2, поскольку в столбце вектора этой строки стоит отрицатель­ное число -2. Значит, в базис следует ввести вектор , т. е. в новом плане следует предусмотреть выпуск изделий В. При определении возможного числа изготовления изделий В следует учитывать имеющееся количество сырья каждого вида, а именно: возможный выпуск изделий В определяется для т. е. находим .

Следовательно, исключению из базиса подлежит вектор , иными словами, выпуск изделий В ограничен имеющимся в распоряжении предприятия сырьем I вида. С учетом имеющих­ся объемов этого сырья предприятию следует изготовить 8 изде­лий В. Число 9 является разрешающим элементом, а столбец вектора и 1-я строка табл. 1.2 являются направляющими. Составляем таблицу для III итерации (табл. 1.3).

Таблица 1.3

	Базис			9	10	16	0	0	0
1		10	8	1	1	0			0
2		16	20		0	1			0
3		0	96		0	0			1
4			400	5	0	0			0

В табл. 1.3 сначала заполняем элементы 1-й строки, которая представляет собой строку вновь вводимого в базис вектора . Элементы этой строки получаем из элементов 1-й строки табл. 1.2 делением последних на разрешающий элемент (т. е. на 9). При этом в столбце данной строки записываем

Затем заполняем элементы столбцов векторов базиса и по правилу прямоугольника вычисляем элементы остальных столб­цов. В результате в табл. 3 получаем новый опорный план и коэффициенты разложения векторов через базисные векторы и соответствующие значения

Проверяем, является ли данный опорный план оптимальным или нет. Для этого рассмотрим 4-ю строку табл. 1.3. В этой строке среди чисел нет отрицательных. Это означает, что найден­ный опорный план является оптимальным и

Следовательно, план выпуска продукции, включающий из­готовление 8 изделий В и 20 изделий С, является оптимальным. При данном плане выпуска изделий полностью используется сырье I и II видов и остается неиспользованным 96 кг сырья III вида, а стоимость производимой продукции равна 400 руб.

Оптимальным планом производства продукции не предусмат­ривается изготовление изделий А. Введение в план выпуска про­дукции изделий вида А привело бы к уменьшению указанной общей стоимости. Это видно из 4-й строки столбца вектора , где число 5 показывает, что при данном плане включение в него выпуска единицы изделия А приводит лишь к уменьшению об­щей величины стоимости на 5 руб.

Ответ: максимальная прибыль от реализации всей продукции составляет 400 руб.

Задача 14.

1). На три базы поступил однородный груз в ко­личествах, соответственно равных 140, 180 и 160 ед. Этот груз требуется перевезти в пять пунктов назначения соответственно в количествах 60, 70, 120, 130 и 100 ед. Тарифы перевозок единицы груза с каждого из пунктов отправления в со­ответствующие пункты назначения указаны в следующей таблице:

Таблица 2.1

Пункты отправления	Пункты назначения	Запасы
	2	3	4	2	4	140
	8	4	1	4	1	180
	9	7	3	7	2	160
Потребности	60	70	120	130	100	480

Найти план перевозок данной транспортной задачи методом северо-западного угла.

Решение. При нахождении опорного плана транспортной задачи методом северо-западного угла на каждом шаге рассматривают первый из оставшихся пунктов отправления и первый из оставшихся пунктов назначе­ния. Заполнение клеток таблицы условий начинается с левой верхней клетки для неизвестного («северо-западный угол») и заканчивается клеткой для неизвестного , т. е. идет как бы по диагонали таблицы.

Здесь число пунктов отправления , а число пунктов назначения Следовательно, опорный план задачи определяется числами, стоящими в заполненных клетках.

Заполнение таблицы начнем с клетки для неизвестного , т. е. попытаемся удовлетворить потребности первого пункта назначе­ния за счет запасов первого пункта отправления. Так как запасы пункта больше, чем потребности пункта , то полагаем , записываем это значение в соответствующей клетке табл.1и временно исключаем из рассмотрения столбец, считая при этом запасы пункта равными 80.

Таблица 2.2

Пункты отправления	Пункты назначения	Запасы
	2		3		4		2		4		140
	60		70		10
	8		4		1		4		1		180
					110		70
	9		7		3		7		2		160
							60		100
Потребности	60	70	120	130	100	480

Рассмотрим первые из оставшихся пунктов отправления и назначения . Запасы пункта больше потребностей пункта . Положим , запишем это значение в соответствующей клетке табл. 2.2 и временно исключим из рассмотрения стол­бец . В пункте запасы считаем равными 10 ед. Снова рассмо­трим первые из оставшихся пунктов отправления и назначе­ния Потребности пункта больше оставшихся запасов пункта . Положим и исключим из рассмотрения стро­ку .Значение запишем в соответствующую клетку табл. 2.2 и считаем потребности пункта равными 110 ед.

Теперь перейдем к заполнению клетки для неизвестного и т. д. Через шесть шагов остается один пункт отправления с запасом груза 100 ед. и один пункт назначения с потреб­ностью 100 ед. Соответственно имеется одна свободная клетка, которую и заполняем, полагая (табл. 2.2). В резуль­тате получаем опорный план

Согласно данному плану перевозок, общая стоимость перево­зок всего груза составляет

2). Четыре предприятия для производства продукции используют три вида сырья. Потребности в сырье каждого из предприятий соответственно равны 120, 50, 190, 110 ед. Сырье сосредоточено в трех местах его получения, а запасы соответственно равны 160, 140, 170 ед. На каждое из предприятий сырье может завозиться из любого пункта его получения. Тарифы перевозок являются известными величинами и задаются матрицей

Найти опорный план транспортной задачи методом минимального элемента.

Решение. В методе се­веро-западного угла на каждом шаге потребности первого из оставшихся пунктов назначения удовлетворялись за счет запа­сов первого из оставшихся пунктов отправления. Очевидно, выбор пунктов назначения и отправления целесообразно произ­водить, ориентируясь на тарифы перевозок, а именно: на каждом шаге следует выбирать какую-нибудь клетку, отвечающую мини­мальному тарифу (если таких клеток несколько, то следует вы­брать любую из них), и рассмотреть пункты назначения и отправ­ления, соответствующие выбранной клетке. Сущность метода минимального элемента и состоит в выборе клетки с минималь­ным тарифом. Следует отметить, что этот метод, как правило, позволяет найти опорный план транспортной задачи, при котором общая стоимость перевозок груза меньше, чем общая стоимость перевозок при плане, найденном для данной задачи с помощью метода северо-западного угла. Поэтому наиболее целесообразно опорный план транспортной задачи находить методом минималь­ного элемента.

Исходные данные задачи запишем в виде табл. 3.1.

Таблица 3.1

Пункты отправления	Пункты назначения	Запасы
	7		8		1		2		160
					160
	4		5				8		140
	120						20
	9		2		3		6		170
			50		30		90
Потребности	120	50	190	110	470

Минимальный тариф, равный 1, находится в клетке для переменной . Положим запишем это значение в соот­ветствующую клетку табл. 3.1 и исключим временно из рассмо­трения строку . Потребности пункта назначения считаем равными 30 ед.

В оставшейся части таблицы с двумя строками и и че­тырьмя столбцами клетка с наименьшим значением тарифа находится на пересечении строки и столбца , где . Положим и внесем это значение в соответ­ствующую клетку табл. 3.1.

Временно исключим из рассмотрения столбец и будем счи­тать запасы пункта равными 120 ед. После этого рассмотрим оставшуюся часть таблицы с двумя строками и тремя столбцами . В ней минимальный тариф находится в клетке на пересечении строки и столбца и равен 3. Заполним описанным выше способом эту клетку и аналогично запол­ним (в определенной последовательности) клетки, находящиеся на пересечении строки и столбца , строки и столбца , строки и столбца . В результате получим опорный план

При данном плане перевозок общая стоимость перевозок со­ставляет

3). Имеются три пункта поставки однородного груза и четыре пункта потребления этого груза. На пунктах находится груз соответственно в количестве 50, 30 и 10 т. В пункты требуется доставить соответственно 30, 30, 10, 20 т груза. Расстояние между пунктами потребления задано следующей матрицей:

Найти оптимальный план транспортной задачи.

Решение. Сначала, используя метод северо-западного угла, находим опорный план задачи. Этот план записан в табл. 4.1

Таблица 4.1

Пункты отправления	Пункты назначения	Запасы
	1		2		4		1		50
	30		20
	2		3		1		5		30
			10		10		10
	3		2		4		4		10
							10
Потребности	30	30	10	20	90

Найденный опорный план проверяем на оптимальность. В свя­зи с этим находим потенциалы пунктов отправления и назначения. Для определения потенциалов получаем систему

содержащую шесть уравнений с семью неизвестными. Полагая находим Для каждой свободной клетки вычисляем число :

Заключаем найденные числа в рамки и записываем их в каж­дую из свободных клеток табл. 4.2.

Так как среди чисел имеются положительные, то по­строенный план перевозок не является оптимальным и надо пе­рейти к новому опорному плану. Наибольшим среди положитель­ных чисел являются поэтому для данной свободной клетки строим цикл пересчета (табл. 4.2) и производим сдвиг по этому циклу.

Таблица 4.2

Пункты отправления	Пункты назначения	Запасы
	1		2	–	4		1	+	50
	30		20		-4		3
	2		3	+	1		5	–	30
	0		10		10		10
	3		2		4		4		10
	-2		0		-4		10
Потребности	30	30	10	20	90

Наименьшее из чисел в минусовых клетках рав­но 10. Клетка, в которой находится это число, становится свобод­ной в новой табл., 4.3. Другие числа в табл. 4.3 получаются так: к числу 10, стоящему в плюсовой клетке табл. 4.2, добавим 10 и вычтем 10 из числа 20, находящегося в минусовой клетке табл. 4.2. Клетка на пересечении строки и столбца стано­вится свободной.

После этих преобразований получаем новый опорный план (табл. 4.3).

Таблица 4.3

Пункты отправления	Пункты назначения	Запасы
	1		2	–	4		1	+	50
	30		10		-2		10
	2		3		1		5		30
	0		20		10		-3
	3		2	+	4		4	–	10
	+1		+3		-1		10
Потребности	30	30	10	20	90

Этот план проверяем на оптимальность. Снова находим по­тенциалы пунктов отправления и назначения. Для этого состав­ляем следующую систему уравнений:

Полагаем получаем Для каждой свободной клетки вычисляем число ; имеем,

Таким образом, видим, что данный план перевозок не являет­ся оптимальным. Поэтому переходим к новому опорному плану (табл. 4.4).

Таблица 4.4

Пункты отправления	Пункты назначения	Запасы
	1		2		4		1		50
	30		0		-4		20
	2		3		1		5		30
	0		20		10		-3
	3		2		4		4		10
	-2		10		-4		-3
Потребности	30	30	10	20	90

Сравнивая разности новых потенциалов, отвечающих свободным клеткам табл. 4.4, с соответствующими числами , видим, что указанные разности потенциалов для всех свобод­ных клеток не превосходят соответствующих чисел . Следова­тельно, полученный план

является оптимальным. При данном плане стоимость перевозок

Список литературы

1.  , Демидович курс высшей математики. 6-е изд. М., 1985.

2.  Венцель вероятностей. – М.: Высш. шк ; 1999.

3.  Бугров математика: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Ростов-на-Дону: Феникс, 1997.

4.  Бугров математика: Дифференциальное и интегральное исчисления. Ростов-на-Дону: Феникс, 1997.

5.  , , Холод математика: Математическое программирование. Минск: Высшая школа, 1994.

6.  Сборник задач и упражнений по высшей математике: Мат. программирование: Учеб. пособие / , , и др.; Под общей ред. , . – Мн. Высш. шк. 2002.

7.  Высшая математика для экономистов.: Учебник для вузов / , , Под ред. проф. . – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2003.

8.  Кремер вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2000. – 543 с.

9.  Шипачев математика. Учеб. для вузов. – М.: Высш. шк. 2003.

10.  Гмурман вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. – М.: Высш. шк., 2001. – 479 с.

11.  Гмурман к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Учеб. пособие для студентов вузов. – М.: Высш. шк., 2001. – 400с.

12.  , , Кожевникова математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч.1,2. Учеб. пособие для втузов. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век» Мир и образование, 2003.

13.  Акулич программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. Спец. Вузов. – М.: Высш. шк., 1986.

14.  Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под ред. . – М.:ИНФРА – М, 2001.

15.  Хазанова методы в экономике: Учебное пособие. М.: Издательство БЕК, 2002.

16.  Пинегина методы и модели в экономике / . – М.: Издательство «Экзамен»., 2002.

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО

Уфимская государственная академия экономики и сервиса

Кафедра «Высшая математика»

Корпус 1

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине: «Математика»

Выполнил: студент гр.____

Шифр: ____________

Проверил: ____________

Уфа-2006