Математика (стр. 3 )

Подставив получим

Дисперсию случайной величины найдем по следующей формуле:

Подставляем известные нам данные и получаем

г) Определим вероятность того, что X примет значение, заключенное в интервале

Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу , определяется равенством

Таким образом

Задача 11. Дано статистическое распределение выборки

	12	14,5	17	19,5	22	24,5	27
	4	17	33	60	55	24	7

Требуется:

1. Найти методом произведений выборочные: среднюю, дисперсию и среднее квадратическое отклонение, асимметрию и эксцесс.

2. Построить нормальную кривую.

3. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания M(X), полагая, что X имеет нормальное распределение, среднее квадратическое отклонение и доверительная вероятность .

Решение. 1. Составим расчетную табл. 1. Для этого:

запишем варианты в первый столбец; запишем частоты во второй столбец; сумму частот (200) по­местим в нижнюю клетку столбца; в качестве ложного нуля С выберем варианту (19,5), которая имеет наибольшую частоту (в качестве С можно взять любую варианту, расположенную примерно в середине столбца); в клетке третьего столбца, которая принадлежит строке, содержащей ложный нуль, пишем 0; над нулем последовательно записываем -1, -2, -3, а под нулем 1, 2, 3; произведения частот на условные варианты запишем в четвертый столбец; сложив эти числа, их сумму (45) помещаем в нижнюю клетку четвертого столбца; произведения частот на квадраты условных вариант, т. е. запишем в пятый столбец (удобнее перемножить числа каждой строки третьего и четвертого столбцов: ∙=); сумму чисел столбца (351) помещаем в нижнюю клетку пятого столбца; Для заполнения столбца 6 удобно перемножить числа каждой строки третьего и пятого столбцов. Для заполнения столбца 7 удобно перемножигь числа каждой строки третьего и шестого столбцов. Произведения запишем в восьмой контрольный столбец; сумму чисел столбца (4757) помещаем в нижнюю клетку восьмого столбца. Столбец 8 служит для контроля вычислений с помощью тождества

∑=∑+4∑+6∑+4∑+.

В итоге получим расчетную табл. 1.

Таблица 1.

1	2	3	4	5	6	7	8
12	4	-3	-12	36	-108	324	64
14,5	17	-2	-34	68	-136	272	17
17	33	-1	-33	33	-33	33	0
19,5	60	0	0	0	0	0	60
22	55	1	55	55	55	55	880
24,5	24	2	48	96	192	384	1944
27	7	3	21	63	189	567	1792
∑	200		45	351	159	1635	4757

Контроль: ∑=4757,

∑+4∑+6∑+4∑+=1635+4∙159+6∙351+4∙45+200=4757.

Совпадение контрольных сумм свидетельствует о правильности вычислений.

Вычислим условные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков:

===0,225; ===1,755;

===0,795; ===8,175.

Найдем шаг (разность между любыми двумя соседними вариантами):

h = 14,5-12 = 2,5.

Вычислим искомые выборочные среднюю и дисперсию, учитывая что ложный нуль (варианта, которая имеет наибольшую частоту) С = 19,5:

.

.

Найдем центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков:

,

Найдем асимметрию и эксцесс:

;

.

2. Для построения нормальной кривой найдем ординаты (выравнивающие частоты) теоретической кривой по формуле , где - сумма наблюдаемых частот (объем выборки), - разность между двумя соседними вариантами, и . Затем строим точки в прямоугольной системе координат и соединяем их плавной кривой. Все вычисления запишем в табл. 2.

Таблица 2

12	4	-8,0625	-2,470	0,019	3
14,5	17	-5,5625	-1,704	0,094	15
17	33	-3,0625	-0,938	0,257	40
19,5	60	-0,5625	-0,172	0,3932	60
22	55	1,9375	0,594	0,3352	52
24,5	24	4,4375	1,360	0,1582	24
27	7	6,9375	2,126	0,042	6

3. Требуется найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания M(X):

.

Все величины, кроме , известны. Найдем из соотношения

.

По таблице значений функции находим. Подставляя =20,0625, =3,264, =200, вычислим =19,61 , =20,51. Окончательно получим искомый доверительный интервал 19,61<<20,51.

Задача 12. Найти максимальное значение линейной функции при ограничениях

Решение. Построим многоугольник решений. Для этого в системе координат на плоскости изобразим граничные прямые

Взяв какую-нибудь, например, начало координат, установим, какую полуплоскость определяет соответствующее неравенство (эти полуплоскости на рисунке показаны стрелками). Многоугольником решений данной задачи является ограниченный пятиугольник ОАВСD.

Для построения прямой строим радиус-вектор

= (50;40)=10 (5;4) и через точку О проводим прямую, перпендикулярную ему. Построенную прямую Z=0 перемещаем параллельно самой себе в направлении вектора . Из рис. 1.3 следует, что опорной по отношению к многоугольнику решении эта прямая становится в точке С, где функция Z принимает максимальное значение. Точка С лежит на пересечении прямых . Для определения её координат решим систему уравнении

Оптимальный план задачи: Подставляя значения в линейную функцию, получаем

 

8

А

4

0 D 5

Таким образом, для того чтобы получить максимальную прибыль в размере 260,3 руб., необходимо запланировать производство 3,9 ед. продукции и 1,7 ед. продукции

Задача 13. Для изготовления различных изделий А, В и С пред­приятие использует три различных вида сырья. При этом на изготовление единицы изделия вида А расходуется 18 кг материала первого вида, 6 кг материала второго вида и 5 кг материала третьего вида. На изготовление единицы изделия вида расходуется 15 кг материала первого вида, 4 кг материала второго вида, 3 кг материала третьего вида. На изготовление единицы изделия вида C расходуется 12 кг материала первого вида, 8 кг материала второго вида, 3 кг материала третьего вида. На складе фабрики имеется всего материала первого вида 360 кг, материала второго вида 192 кг, материала третьего вида 180 кг. От реализации единицы готовой продукции вида А фабрика имеет прибыль 9 руб., продукции вида В прибыль составляет 10 руб., продукции вида С прибыль составляет 16 руб.

Определить максимальную прибыль от реализации всей продукции видов А, В и С. Решить задачу симплекс-методом.

Решение. Запишем данные задачи в таблицу.

Вид сырья	Нормы затрат сырья (кг) на одно изделие вида	Общее количество сырья (кг)
А	В	С
I	18	15	12	360
II	6	4	8	192
III	5	3	3	180
Прибыль от реализации единицы продукции	9	10	16

Составим математическую модель задачи. Введем новые переменные:

количество выпускаемых изделий вида А;

количество выпускаемых изделий вида В;

количество выпускаемых изделий вида С.

Так как на 1 изделие вида А предприятие расходует 18 кг сырья первого вида, то на производство общего количества продукции вида А предприятию потребуется кг того же материала. Соответственно для производства всей продукции вида В и С предприятию потребуется кг и сырья первого вида соответственно. Поскольку расходы на производство не должны превышать общего количества сырья имеющегося на складе, то при изготовлении единиц изделий вида А, единиц изделий вида В и единиц изделий вида С должно быть израсходовано не более 360 кг сырья первого вида. Таким образом, все выше сказанное можем записать в виде неравенства:

Аналогично, при затратах, на производство продукции вида А, В и С, сырья второго и третьего сорта предприятие должно учитывать количество данного сырья, имеющегося на складе. Т. е. необходимо выполнение следующих неравенств:

При этом так как количество изготовляемых изделий не может быть отрицательным, то

Далее, если будет изготовлено единиц изделий вида А, единиц изделий вида В и единиц изделий вида С, то прибыль от их реализации составит

Таким образом, приходим к следующей математической задаче:

(1)

(2)

среди всех неотрицательных решений системы нера­венств (2) требуется найти такое, при котором функция (1) принимает максимальное значение.

Запишем эту задачу в форме основной задачи линейного программирования. Для этого перейдем от ограничений-нера­венств к ограничениям-равенствам. Введем три дополнительные переменные, в результате чего ограничения запишутся в виде системы уравнений

Эти дополнительные переменные означают не используемое при данном плане производства количество сырья того или иного сорта (например, - неиспользуемое количество материала I вида).

Преобразованную систему уравнений запишем в векторной форме:

где ; ; ; ; ; .

Поскольку среди векторов имеются три единичных вектора, для данной задачи можно непосредственно записать опорный план. Таковым является план Х=(0; 0; 0; 360; 192; 180), определяемый системой трехмерных единичных векторов , которые образуют базис трехмерного век­торного пространства.

Составляем симплексную таблицу для I итерации (табл. 1.1). В столбец записываем коэффициенты при базисных векторах в целевой функции. Коэффициенты 4-й строки вычисляются по формулам: и проверяем исходный опорный план на оптимальность:

Таблица 1.1

	Базис			9	10	16	0	0	0
1		0	360	18	15	12	1	0	0
2		0	192	6	4	8	0	1	0
3		0	180	5	3	3	0	0	1
4			0	-9	-10	-16	0	0	0

Как видно из табл. 1.1, значения всех основных переменных равны нулю, а дополнительные переменные принимают свои значения в соответствии с ограничениями задачи. Эти значения переменных отвечают такому «плану», при котором ничего не производится, сырье не используется и значение це­левой функции равно нулю (т. е. стоимость произведенной про­дукции отсутствует). Этот план, конечно, не является оптималь­ным.

Это видно и из 4-й строки табл. 1.1, так как в ней имеется три отрицательных числа: . Отрицательные числа не только свидетельствуют о воз­можности увеличения общей стоимости производимой продук­ции, но и показывают, на сколько увеличится эта сумма при введении в план единицы того или другого вида продукции. Так, число -9 означает, что при включении в план произ­водства одного изделия А обеспечивается увеличение выпуска продукции на 9 руб. Если включить в план производства по од­ному изделию В и С, то общая стоимость изготовляемой про­дукции возрастет соответственно на 10 и 16 руб. Поэтому с экономической точки зрения наиболее целесообразным является включение в план производства изделий С. Это же необходимо сделать и на основании формального признака симплексного метода, поскольку максимальное по абсолютной величине отри­цательное число стоит в 4-й строке столбца вектора Р3. Сле­довательно, в базис введем вектор . Определяем вектор, под­лежащий исключению из базиса. Для этого находим для т. е.

Найдя число 192/8 = 24, мы тем самым с экономической точки зрения определили, какое количество изделий С пред­приятие может изготовлять с учетом норм расхода и имеющих­ся объемов сырья каждого вида. Так как сырья данного вида соответственно имеется 360, 192 и 180 кг, а на одно изделие С требуется затратить сырья каждого вида соответственно 12, 8 и 3 кг, то максимальное число изделий С, которое может быть изготовлено предприятием, равно , т. е. ограничивающим фактором для производства изделий С является имеющийся объем сырья II вида. С учетом его наличия предприятие может изготовить 24 изделия С. При этом сырье II вида будет полностью использовано.

Следовательно, вектор подлежит исключению из базиса. Столбец вектора и 2-я строка являются направляющими. Элемент, стоящий на пересечении столбца и 2-й строки, называется разрешающим элементом. Составляем таблицу для II итерации (табл. 1.2).

Таблица 1.2

	Базис			9	10	16	0	0	0
1		0	72	9	9	0	1		0
2		16	24			1	0		0
3		0	108			0	0		1
4			384	3	-2	0	0	2	0

Сначала заполняем строку вектора, вновь введенного в ба­зис, т. е. строку, номер которой совпадает с номером направ­ляющей строки. Здесь направляющей является 2-я строка. Эле­менты этой строки табл.1.2 получаются из соответствующих элементов табл. 1.1 делением их на разрешающий элемент (т. е. на 8). При этом в столбце записываем коэффициент , стоящий в столбце вводимого в базис вектора . Затем запол­няем элементы столбцов для векторов, входящих в новый базис. В этих столбцах на пересечении строк и столбцов одноимен­ных векторов проставляем единицы, а все остальные элементы полагаем равными нулю.

Для определения остальных элементов табл. 1.2 применяем правило прямоугольника:

a c

d

b, где - пересчитанный коэффициент новой таблицы,

d – разрешающий элемент,

b, c – элементы, стоящие на диагонали прямоугольника.

Вычислим элементы табл. 1.2, стоящие в столбце вектора Первый из них находится в 1-й строке этого столбца. Получаем:

; записываем его в 1-й строке столбца вектора табл. 1.2.

Второй элемент столбца вектора табл. 1.2 был уже вычис­лен ранее. Вычисляем третий элемент столбца вектора : . Число 108 записываем в 3-й строке столбца вектора табл. 1.2.