Функция относительной плотности распределения простых чисел (стр. 2 )

- суммирующая функция делителей

- функция числа делителей (число положительных делителей целого числа )

- золотое сечение.

Доказательство:

(из формулы Бине для чисел Фибоначчи)

(асимптотика, показанная Дирихле)

где,

- постоянная Эйлера –Маскерони

Откуда:

Расширенная асимптотическая формула, включающая функции распределения простых чисел, простых чисел близнецов, чисел Фибоначчи, произведение по простым числам и логарифм суммирующей функции делителей

Неявные неравенства, содержащие простые числа

a) ,

, при

Разброс значений верхней границы А

b) , ,

- суммирующая функция делителей

-простое число

Рабочая гипотеза:

или ,

где

- постоянная Апери

с) ,

Данное неравенство следует из графического анализа функции

Предел отношения суммирующей функции делителей к простому числу

с порядковым номером равным аргументу суммирующей функции делителей

где,

- суммирующая функция делителей

- простое число

Доказательство:

Из асимптотики суммирующая функция делителей, показанной Дирихле и эквивалентной формулировки теоремы о распределении простых чисел

где,

- постоянная Эйлера –Маскерони

Формулировка:

Предел отношения суммирующей функции делителей к простому числу с порядковым номером равным аргументу суммирующей функции делителей, при стремлении аргумента к бесконечности, равен 1.

Обобщённое неравенство, включающее: суммирующую функцию делителей,

функцию распределения простых чисел и функцию простых чисел

Формулировка

Для любого натурального числа выполняется:

где,

- функция делителей

- функция распределения простых чисел

- простое число с индексом

Многочлен, корнями которого являются все простые числа

Асимптотика функции распределения совершенных чисел

Гипотеза:

функция распределения совершенных чисел имеет асимптотику логарифмической производной гамма-функции.

Версия приближения:

,

где,

- количество совершенных чисел не превосходящих

- полигамма-функция

- гармоническое число

- постоянная Эйлера-Маскерони

в расширенном представлении

Модифицированная функции распределения простых чисел

Предлагается следующий вариант модифицированной асимптотической функции распределения простых чисел

а также её редуцированная форма, дающая наилучшее приближения для количества простых чисел при

где,

- пи-функция: количество простых чисел не превышающих

- константа Фидия (золотое сечение)

(в показателе степени) – число Пи

- константа Хайтина: вещественное число в алгоритмической теории информации (вероятность того, что произвольно выбранная программа остановится)

- обратная тригонометрическая функция тангенса

- натуральный логарифм

Расширенное представление некоторых элементов формулы

Численно обнаружено, что функция даёт более точное приближение распределения простых чисел, при , в сравнении с функцией интегрального логарифма .

Ниже приводятся сравнительная таблица по степеням 10 для разности функций, теоретически описывающих распределение простых чисел и расчётных значений , а так же их графическое представление

	4.12	4.12	2.2
	3.40	3.41	5.1
	3.71	3.80	10
	1.13	2.01	17
	-9.36	-0.83	38
	-20	62.29	130
	-123	676.46	339
	-387	7 380	754
	680	76 237	1 701
	3074		3 104
	-	6	11 588
		-	38 263

Цветом выделяется область наилучшего приближения расчёта количества простых чисел функциями и относительной функции интегрального логарифма. Как видим оптимальная асимптотика и лежит в начале натурального ряда, соответственно в интервалах десяти миллиардов и миллиона. Причём разница является знакопеременной, а растущей относительно начиная с . Гипотеза о том, что проверена численно вплоть до . С учётом того, что гипотеза Римана эквивалента более точной границе ошибки приближения интегральным логарифмом, и как следствие , можно предполагать более истинную асимптотику редуцированной функции в районе больших чисел.

Асимптотика и

Асимптотика и

Известно, что наилучшее приближение для распределение простых чисел даёт- функция, определяемая, как Приведём ниже сравнительную характеристику разности , , и в окрестности скачка функции .

Присоединение к функции множителя даёт приближение для распределения простых чисел близнецов, характеризуя нижний асимптотический предел последних.

где,

По гипотезе Харди-Литтлвуда количество пар простых чисел близнецов приближается к

.

Расчёты демонстрирует при меньшем или равным справедливо следующее неравенство , где - известное численное значение простых-близнецов. Предполагается, что и при превосходящем границу данное неравенство стабильно: .

В таблице ниже зафиксирована степень отклонение функции относительно расчётного значения до . Однако отметим, что приближение показывает гораздо лучшую асимптотику, чем .

Легко заметить, что функция имеет нисходящую тенденцию относительно , а также