Функция относительной плотности распределения простых чисел (стр. 5 )

Доказательство:

Примеры:

Связь функции с дельта-функцией Дирака:

Обратная функция:

Если постоянная комплекснозначная функция вещественной переменной, область значения которой представляется комплексной проективной формой бесконечности на всей области определения, то обратной ей функцией называется обобщённая функция, неопределённая на области значения функции для аргумента представленного комплексной проективной формой бесконечности и эквивалентная пустому множеству для любого вещественного аргумента.

Определение лямбда-функции:

- Лямбда-функцией будем называть обобщённую обратную функцию к постоянной комплекснозначной функции вещественной переменной, область значения которой представляется комплексной проективной формой бесконечности на всей области определения функции. Лямбда-функция не определена на области значения функции для аргумента, представленного комплексной проективной формой бесконечности и равнозначна пустому множеству для любого вещественного аргумента.

Свойства лямбда-функции:

Графическое представление лямбда-функции:

Обратная лямбда-функция:

Связь лямбда-функции с дельта-функцией Дирака:

Гипотеза:

Формулировка 1

Если правый и левый односторонние пределы вещественной функции равны соответственно либо при стремлении аргумента к некоторому вещественному , то область значения , для любых функций, удовлетворяющих данному условию, вырождается в комплексную проективную форму бесконечности.

Формулировка 1

Если правый и левый односторонние пределы вещественной функции равны соответственно либо при стремлении аргумента к некоторому вещественному , то прямая является вертикальной асимптотой графика функции , и существует предел , при этом область значения функции в точке с абсциссой вырождается в комплексную проективную форму бесконечности, если рассматривать в данной окрестности как комплекснозначную функцию.

Примеры:

Симметричные интервалы с предельным приближением

на множестве натуральных чисел

Определение (1)

Симметричным интервалом с предельным приближением относительно элемента на множестве натуральных чисел будем называть такой интервал , для которого ,

где определяются, как

- осевой элемент

- нижний замыкающий элемент

- верхний замыкающий элемент

Теорема (1)

Для любого натурального числа больше единицы существует единственный симметричный интервал с предельным приближением на множестве натуральных чисел.

Доказательство:

Рассмотрим систему, удовлетворяющую условиям теоремы (1), с некоторой переменной , ставящей в соответствие элементу границы интервала

Рассмотрим ту же самую систему с двумя переменными , задающими относительно элемента границы интервала

Следствие (1)

Теорема (2)

Среднее арифметическое замыкающих элементов симметричного интервала с предельным приближением, заданного относительно некоторого осевого элемента на множестве натуральных чисел, равно этому элементу.

Из следствия (1) и условий теоремы (2) вытекает тривиальное доказательство:

Утверждение(1)

Любой осевой элемент симметричного интервала с предельным приближением на множестве натуральных чисел можно представить в виде суммы единицы и удвоенной суммы бесконечного степенного ряда по частному его замыкающих элементов.

Действительно:

Теорема (3)

Два заданных симметричных интервала с предельным приближением на множестве натуральных чисел равны, если хотя бы один из осевых элементов или соответствующих замыкающих элементов одного интервала равен осевому элементу или соответствующему замыкающему элементу другого интервала

Доказательство:

Определим операции сравнения, сложения, вычитания и умножения для симметричных интервалов с предельным приближением на множестве натуральных чисел.

Свойства

- коммутативность сложения

- коммутативность умножения

- ассоциативность сложения

- ассоциативность умножения

- дистрибутивность умножения относительно сложения

Утверждение (2)

-й член последовательности

замыкающих элементов симметричных интервалов с предельным приближением, заданных относительно множества натуральных чисел за вычетом единицы, равен

Рекуррентная формула для

Графическое представление последовательности с доопределением функции

Утверждение(2.1)

Если один из замыкающих элементов симметричного интервала с предельным приближением на множестве натуральных чётное число, то вероятность того, что осевой элемент данного интервала простоё число равна , и если нечётный – ноль.

Определение (2)

Характеристическим многочленом симметричного интервала с предельным приближением относительно элемента на множестве натуральных чисел будем называть кубический многочлен вида , корни которого являются элементами данного интервала.

Коэффициенты характеристического многочлена выражаются через элементы интервала следующим образом

Коэффициенты -го характеристического многочлена через -е элементы интервала находятся по следующим формулам

где

Тогда общая формула для -го характеристического многочлена симметричного интервала с предельным приближением относительно элемента на множестве натуральных чисел будет

Представления семейства кривых графиков функций первых 12-ти характеристических многочленов симметричного интервала с предельным приближением

Утверждение (3)

Каждому симметричному интервалу с предельным приближением относительно элемента на множестве натуральных чисел можно сопоставить кубический многочлен вида с целыми коэффициентами, корни которого образуют элементы .

Теорема (4)

Дискриминант любого характеристического многочлена симметричного интервала с предельным приближением относительно элемента на множестве натуральных чисел равен 4.

Доказательство:

Свойства симметричного интервала с предельным приближением относительно осевого элемента на множестве натуральных чисел:

Утверждение (4.1)

Регуляризация по Дирихле суммы бесконечного ряда осевых элементов, определённых через нижние замыкающие элементы симметричного интервала с предельным приближением на множестве натуральных чисел, даёт

Утверждение(4.2)

Регуляризация по Дирихле суммы бесконечного ряда осевых элементов, определённых через верхние замыкающие элементы симметричного интервала с предельным приближением на множестве натуральных чисел, даёт

Утверждение(4.3)

Разность регуляризованной по Дирихле суммы бесконечного ряда осевых элементов, определённых через верхние замыкающие элементы и регуляризованной по Дирихле суммы бесконечного ряда осевых элементов, определённых через нижние замыкающие элементы симметричного интервала с предельным приближением на множестве натуральных чисел, равна единице.

Утверждение(4.4)

Из утверждения (1) и (2.3) следует, что любой осевой элемент симметричного интервала с предельным приближением на множестве натуральных чисел можно представить в виде суммы удвоенной суммы бесконечного степенного ряда по частному замыкающих элементов и разности регуляризованной по Дирихле суммы бесконечного ряда осевых элементов, определённых через верхние замыкающие элементы и регуляризованной по Дирихле суммы бесконечного ряда осевых элементов, определённых через нижние замыкающие элементы.