Функция относительной плотности распределения простых чисел (стр. 3 )

Гипотеза:

, при

Вариации неравенств, включающих функцию распределения простых чисел

Неравенство Чебышева имеет вид:

Формулировка неравенства Чебышева через сумму ряда обратных к кубам целых чётных и нечётных положительных чисел.

где,

- сумма ряда обратных к кубам целых нечётных положительных чисел

- сумма ряда обратных к кубам целых чётных положительных чисел

- постоянная Апери, сумма обратных к кубам целых положительных чисел (частное значение дзета-функции Римана)

или

Словесная формулировка:

Произведение функции распределения простых чисел на логарифм её аргумента на число обратное аргументу и на сумму ряда обратных к кубам целых положительных чисел лежит в интервале, ограниченном снизу суммой ряда обратных к кубам целых нечётных положительных чисел и с верхней границей, равной произведению куба трёх на сумму ряда обратных к кубам целых чётных положительных чисел.

Отметим возможную неявную связь границ неравенства с совершенными числами, являющимися суммой кубов последовательности нечётных натуральных чисел т. е., а также факт о том, что нечётных совершенных чисел пока не найдено и гипотетически .

Также выделим неравенство ,

из которого следуют границы интервала для не сходящихся бесконечных рядов, т. е. следующая формулировка: бесконечная сумма последовательности кубов натуральных чётных чисел больше бесконечной суммы последовательности кубов натуральных нечётных чисел и больше бесконечной суммы последовательности кубов натуральных чисел.

А с учётом теоремы о распределении простых чисел, утверждающей, что приходим к следующему неравенству

откуда

Бесконечная сумма последовательности кубов натуральных чисел лежит в интервале верхняя граница которого определяется бесконечной суммой последовательности кубов натуральных нечётных чисел, а нижняя – произведением бесконечной суммы последовательности кубов натуральных чётных чисел на бесконечную периодическую дробь или .

Представление совершенных чисел через дзета-функцию

a) Асимптотика -го совершенного числа

что равносильно

где,

- совершенное число с индексом (последовательность A000396 в OEIS)

- количество собственных делителей (последовательность A133033 в OEIS)

- функция делителей

- дзета-функция от количества собственных делителей

b) Верхний и нижний предел -го совершенного числа, при

с) Пусть - совершенное число, , тогда существуют такие ииз множества натуральных чисел, включая ноль, что , причём - количество собственных делителей , и .

Таблица 1

1	6	3	5	-0.1666…
2	28	5	28	0
3	496	9	498	0.00403…
4	8 128	13	8 150	0.00269…
5	33	25	33	0.00008…
6	8	33	8 589	6.08443…∙10-6
7	137 438	37	137 438	1.60211…∙10-6
8	2	61	2 305 843 009 171	4.47529…∙10-10
9	2	121	2	4.33187…∙10-19
10		177		1.61551…∙10-27

Отношение массы протона к массе нейтрона

(алгебраические формулировки)

a)

b)

где,

,

, - дзета-функция по простым числам

с)

Гипотеза:

a)Приведённые (безразмерные) характеристики элементарных частиц имеют исключительно математическую природу

b) Безразмерные параметры элементарных частиц базируются на математических структурах

Постоянная тонкой структуры

(алгебраические формулировки)

В качестве эталона возьмём значение постоянной тонкой структуры рекомендованное CODATA

a)

(аппроксимирует экспериментальное значение постоянной тонкой структуры с точностью до 11-го знака после запятой)

где,

- дискриминант многочлена

корнями которого являются: - золотое сечение, - серебряное сечение, - константа Феодора

b)

(аппроксимирует экспериментальное значение постоянной тонкой структуры с точностью до 11-го знака после запятой, укладывается в рамки стандартного отклонения экспериментальных данных)

где,

- дискриминант многочлена

корнями которого являются: - золотое сечение, - серебряное сечение

Производные от (b) эмпирические формулы:

с)

(аппроксимирует экспериментальное значение постоянной тонкой структуры с точностью до 12-го знака после запятой, укладывается в рамки стандартного отклонения экспериментальных данных)

d)

Эмпирическая формула для второй постоянной Фегейнбаума

(последовательность A006891)

где

- n-е гармоническое число

Множество совершенных, простых чисел, чисел Фибоначчи.

Бесконечные тетрации. Последовательности рациональных приближений

Гипотезы, теоремы, утверждения

----------------------------

где,

- простое число

- совершенное число

----------------------------

---------------------------

где,

---------------------------

где,

- числа Фибоначчи

---------------------------

---------------------------

---------------------------

Асимптотика плотности распределения простых чисел относительно плотности распределения чисел Фибоначчи на некотором интервале, ограниченном каким-либо натуральным число, эквивалентна асимптотике плотности распределения простых пар чисел близнецов на данном интервале.

Отношение плотности распределения простых чисел к плотности распределения чисел Фибоначчи на некотором числовом интервале, эквивалентно плотности распределения простых чисел близнецов на данном интервале.

---------------------------

Цепная дробь, составленная из последовательности совершенных чисел, даёт в приближении разность частных значений дзета-функции в точках 3 и 5.

- множество совершенных чисел

---------------------------

---------------------------

---------------------------

---------------------------

Для любого иррационального непериодического числа , представленного в виде , где сумма последовательности знаков после запятой в пределе имеет асимптотику , где - количество знаков после запятой

---------------------------

Среднее геометрическое значения функции распределения простых чисел и простого числа, порядковый номер которого равен аргументу функции распределения простых чисел, при стремлении последнего к бесконечности асимптотически стремится к данному аргументу

Частное от деления простого числа на логарифм его порядкового номера, при стремлении последнего к бесконечности, асимптотически стремится к данному порядковому номеру

Квадратный корень из частного от деления простого числа на значение функции распределения простых чисел, аргумент которой равен порядковому номеру простого числа, стоящего в числителе, асимптотически стремится к логарифму данного аргумента

Среднее арифметическое частичной последовательности простых чисел, при стремлении количества элементов к бесконечности, асимптотически стремится к значению, эквивалентному половине наибольшего элемента данной последовательности.

---------------------------

Если количество совершенных чисел бесконечно, то должен существовать предел

, где , - простое, и такие натуральные и , для которых выполнялось бы следующее неравенство

при

---------------------------

Множество совершенных чисел бесконечно, если существует предел

---------------------------

Для любого совершенного числа , , существует такое натуральное число , , что имеет место неравенство

, где , - простое.

Доказательство:

Любое совершенное число (кроме ) можно представить в виде суммы кубов натуральных нечётных чисел.