Частичная сумма кубов натуральных чётных чисел, стоящая в знаменателе неравенства может быть представлена как
Откуда
Соответственно из двух решений неравенства 
выбираем результат, удовлетворяющий исходным данным теоремы, а именно 
и 
---------------------------
Для совершенного числа 
, 
, существует такое натуральное число 
, 
, что 
, где 
,
- простое
---------------------------
Значение функции распределения простых чисел, аргумент которой представляет собой сумму последовательности простых чисел по модулю соседних простых, ближайших к нулю, равно верхней границе данной частичной суммы ряда, при всех .
Доказательство:
(из определения простого числа) 
Соответственно:
---------------------------
Функциональное уравнение для 
-го простого числа:
---------------------------
---------------------------
Частичная сумма последовательности простых чисел по модулю соседних простых, ближайших к нулю, равна разности между произведением последнего члена на его модуль и модулем первого члена, при верхней границе суммы больше единице.
---------------------------
Любое натуральное число больше единицы можно представить в виде значения функции распределения простых чисел, аргумент которой равен сумме последовательности простых чисел по модулю соседних простых, ближайших к нулю, причём верхняя граница суммы и будет полностью определять данное число.
---------------------------
-е совершенное чётное число равно частичной сумме натурального ряда, верхний предел которой ограничен -ым простым число Мерсенна.
Доказательство:
---------------------------
Если 
- чётное совершенное число и 
, то существуют такие натуральные 
и 
, что 
, причём 
, где 
- показатель соответствующего простого числа Мерсенна (последовательность A000043) и 
Доказательство:
откуда
или
---------------------------
, 
---------------------------
Каждой бесконечной тетрации иррационального непериодического числа из интервала 
можно сопоставить бесконечное количество конечных числовых интервалов, модуль разности граничных значений которых в пределе (при бесконечном приближении) стремится к нулю.
, 
, 
---------------------------
Пусть среднее арифметическое бесконечных тетраций чисел обратных числу Пи и числу Фидия равно , среднее геометрическое - и среднее гармоническое - 
, тогда имеют место следующие неравенства:
где
---------------------------
где,
---------------------------
где,
---------------------------
где
- частное значение дзета-функции
- частное значение дзета-функции по всем простым
- серебряное сечение
---------------------------
Утверждение 4
Доказательство:
-----------------------
Пусть 
и 
- простые числа близнецы
Имеем следующую систему предпосылок:
Откуда функциональные признаки простых чисел близнецов:
---------------------------
Если и простые числа и выполняется хотя бы одно из условий 
, то и - простые числа близнецы.
Доказательство:
По определению:
Откуда:
---------------------------
Функцией Мерсенна называется функция 
задающая порядковый номер 
простого числа 
в показателе простого числа Мерсенна 
, соответствующего -му совершенному числу
- простое число Мерсенна
- совершенное число
Отображение в цепную дробь последовательности, составленной из значений функции Мерсенна по модулю соседних, ближайших к нулю, значений
---------------------------
Представление - го совершенного числа посредством произведения сумм бесконечных сходящихся рядов
,
где
- показатель простого числа Мерсенна, соответствующего -му совершенному числу
---------------------------
Интегральное представление расходящейся бесконечной суммы натурального ряда, регуляризованной дзета-функцией Римана.
Сумма расходящегося бесконечного ряда натуральных чисел, регуляризованная дзета-функцией Римана 
, равна определённому интегралу, с пределами интегрирования от нуля до 
(где - мнимая единица, 
), от частичной суммы натурального ряда 
; и равна произведению суммы определённых интегралов, с пределами интегрирования от нуля до , от частичных сумм рядов чётных и нечётных натуральных чисел на их разность 
; и равна разности квадратов определённых интегралов, с пределами интегрирования от нуля до , от частичных сумм рядов чётных и нечётных натуральных чисел соответственно 
Следствие:
---------------------------
Доказательство:
---------------------------
Если 
, 
, 
, то 
: последовательность рациональных приближений 
.
Обратная формулировка:
Пусть дана последовательность рациональных приближений некоторого числа , тогда
---------------------------
Для любой последовательности рациональных приближений некоторого числа из области вещественных чисел, существует рациональная функция с целыми коэффициентами, область значений которойсодержит элементы данной последовательности.
Пример:
, 
: рациональная функция, область значений которой представляет собой множество рациональных приближений числа Пи.
Табуляция
---------------------------
Численное значение бесконечной тетрации числа 
в виде цепной дроби
---------------------------
Численное значение бесконечной тетрации числа 
в виде цепной дроби
---------------------------
через 
, с точностью до 22-го знака после запятой
через сумму бесконечного ряда, с точностью до 38-го знака после запятой
,
где
через сумму бесконечного ряда и постоянные
- золотое сечение, 
- серебряное сечение
где
---------------------------
---------------------------
---------------------------
---------------------------
---------------------------
---------------------------
,
где 
- постоянная Эйлера-Маскерони
Специальные постоянные функции
Лемма:
Если
постоянная комплекснозначная функция вещественной переменной, область значения которой представляется комплексной проективной формой бесконечности на всей области определения, то область значения функции 
на всей области определения постоянна и равна нулю, как верно и обратное.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
