Функция относительной плотности распределения простых чисел (стр. 1 )

Функция относительной плотности распределения простых чисел

,

где,

- количество простых чисел не превосходящих или равных ,

- количество простых чисел близнецов не превосходящих или равных .

Отношение плотности распределения простых чисел к плотности распределения простых чисел близнецов относительно плотности распределения чисел Фибоначчи

Исходя из гипотезы о том, что плотность распределения чисел Фибоначчи пропорциональна отношению плотности распределения простых чисел к плотности распределения простых чисел близнецов и полученной асимптотической формулы функции относительной плотности распределения простых чисел, имеет место следующее соотношение:

,

где

- количество простых чисел не превосходящих или равных ,

- количество простых чисел близнецов не превосходящих или равных ,

- количество чисел Фибоначчи не превосходящих или равных .

- некоторая корректирующая функция.

- константа простых чисел близнецов.

Свойства :

, x

Комбинированная функция распределения простыx чисел,

простых чисел близнецов и чисел Фибоначчи

где,

- количество простых чисел не превосходящих или равных ,

- количество простых чисел близнецов не превосходящих или равных ,

- количество чисел Фибоначчи не превосходящих или равных .

- золотое сечение,

- константа простых чисел близнецов.

Доказательство:

Из формулы Бине для чисел Фибоначчи следует, что при справедлива асимптотика , откуда

В таблице отображено отклонение теоретического значения функции распределения чисел Фибоначчи от расчётного с шагом 1 по степени десятки.

где,

- n-е число Фибоначчи

Теорема о распределении простых чисел эквивалентна записи ,

где - интегральный логарифм.

Также, для асимптотики простых чисел близнецов имеет место следующее соотношение

Откуда получаем:

Соответственно:

как следствие

Приведём ещё одну эмпирическую формулу (не оперирующую функцией интегрального логарифма) для асимптотики

ции интегрального логарифма, и отклоняется от последнего на .

В таблице представлены расчётные данные для двух рассмотренных асимптотических функций (в скобках указана величина отклонения)

На основании расчётов можно утверждать справедливость следующих неравенств: ,

в более узких пределах

,

Неравенства, включающие

функцию распределения простых чисел, функцию делителей и

суммирующую функцию делителей

a)

где,

- функция распределения простых чисел

- суммирующая функция делителей

- функция числа делителей (число положительных делителей целого числа )

b)

где,

- простое число

с) ,

d)

Рабочая гипотеза:

Предел отношения функции распределения чисел Фибоначчи

к логарифму суммирующей функции делителей

где,

- количество чисел Фибоначчи не превосходящих или равных ,