Обзор страны Геометрия

Обзор страны Геометрия

Страна Геометрия огромна и прекрасна. Никогда не знала она рабства и войн. Потому что всё в ней подчинено одному закону – гармонии. Множество веков существует эта страна, и множество веков её жители свято соблюдают этот закон.

Как это им удаётся? Вот, например: Три сестры (стороны одного треугольника). Они всегда живут в согласии друг с другом, но иногда и у них случаются ссоры. И тогда каждая из сестёр вспоминает, что она меньше суммы двух других сестёр, но больше их разности. Значит, она будет сильнее, если и две другие сёстры поссорятся между собой. Но тогда треугольнику конец. Семья развалится и гармония исчезнет. Поэтому сёстры не ссорятся и решают все споры мирно.

Точки в Геометрии пользуются особым почётом. Каждая фигура следит и ухаживает за своими точками. Так же как каждое тело ухаживает за своей фигурой.

Вот, например, прямой L ухаживает за точкой M (x0; y0), Ax + By + C = 0. И строго следит, что бы это расстояние всегда определялось формулой:

Благодаря этому точка M (x0; y0 ) чувствует себя отлично и время от времени расцветает пышным цветом на радость прямой и её соседям. Можно привести множество примеров, как жители Геометрии служат Гармонии. Но пока остановимся на этом. И будем ждать новостей из этой волшебной страны – Геометрии.

Сказка

Однажды 3/7 и 4/7 пошли на тренировку по боксу. Начали они спорить, кто из них самый сильный. И вот 3/7 говорит: “Я самая сильная, я сильней всех!” А 4/7 ей отвечает: “ Нет, это я самая сильная!”

Вышли они на ринг. Дерутся, дерутся, и никто не хочет уступать.

Судья разнял их, и они пошли домой обиженные друг на друга. На следующий день приходит на тренировку и 4/7, говорит: “ Я была не права, когда сказала, что я самая сильная”. “Я тоже”, – произнесла тихо 3/7. “ Только вместе мы – сила”, – закричали 3/7 и 4/7.

После этого случая они обе не спорили, а жили дружно.

Сказка про свет и его составные части

Жили-были на белом свете 1/7 – красная, 1/7 оранжевая, 1/7 желтая, 1/7 зелёная, 1/7 синяя, 1/7 голубая, 1/7 фиолетовая.

Жили они порознь и враждебно. Они не знали: кто они и откуда. Каждая из них гордилась своим цветом и пыталась доказать, что именно её цвет самый красивый. Эти споры зашли так далеко, что в воздухе запахло большой войной. Цвета перестали разговаривать между собой и начали готовиться к сражению.

И вот в такое неспокойное время появился волшебник по имени Ньютон. Он созвал всех и сказал:

– Как вы можете враждовать между собой? Ведь вы не просто дробные цвета, а составные части. Вы все дети одной целой семьи.

Отец ваш Белый солнечный свет.

– Этого не может быть! Мы все сами по себе!

– Вы не появились ниоткуда. Я сейчас покажу один фокус, и вы сами всё поймете.

Он подвел их к зашторенному окну. Сквозь маленькую щель пробивался солнечный луч. Одной рукой волшебник поставил на его пути стеклянную призму, и на противоположной стене появилась радуга. Она состояла из семи знакомых цветов. Затем другой рукой волшебник подставил еще и собирающую лупу. Радуга исчезла, появился снова белый солнечный луч.

Обрадовались наши цветные дробные части.

Теперь они знали: кто они и откуда.

– Но если у нас есть отец, то кто же мать? – спросили цвета.

– А мать у всех нас одна – Природа! – ответил волшебник. – Открою вам еще один секрет. Как составные части, вы – обыкновенные дроби (1/7), а если вас представить как волны, то вы станете десятичными дробями. Каждая волна имеет свой цвет и длину: красная – 0,75 микрон; оранжевая -0, 62, желтая – 0,59;зеленая – 0,57, синяя – 0,53; голубая – 0,5; фиолетовая – 0, 45. Вот такие пироги, мои милые цвета. Жить вам отныне в мире и согласии!

И волшебник исчез. А наши герои стали жить дружно одной ЦЕЛОЙ семьей. А когда им хотелось поиграть, они превращались в радугу и радовали людей своей красотой.

Сказка об отважном нуле, веселой единичке и их верных друзьях

Жили-были в маленькой избушке на лесной опушке Плюс и Минус. Плюс всегда радовался и говорил: “Да! Солнце светит! Хорошо!” Минус всегда грустил и ворчал: “Нет! Фу! Хоть бы дождь пошел!” У них были друзья Умножение и Деление.

Однажды Плюс, Минус, Умножение и Деление поехали в город за покупками. И там они узнали, что в город приехал волшебник Квадратный Корень. Жители веселого Городка Чисел не знали, что Квадратный Корень очень злой и коварный. Он пригласил все числа в цирк на веселое представление. И там все числа начал уменьшать, извлекать из них корни: 16 превратил в 4; 49 в 7. В цирке не было только маленькой Единички, она простыла и не смогла прийти на представление. Как только Единичка узнала, что Квадратный Корень злодействует, она позвонила своей бабушке, старой мудрой Единице. И та вспомнила, что, когда она была маленькой, ей рассказывала ее бабушка, что Квадратный Корень потеряет свою волшебную силу, как только он дважды не сможет уменьшить число, то есть извлечь квадратный корень. Бабушка сказала Единичке, что ей нужно искать Нуль. Единичка отправилась на поиски. По дороге она встретила Плюса, Минуса, Умножение и Деление и всё им рассказала. Они решили, не теряя времени, отправляться за помощью. Унылый Минус припомнил, что механиком на каруселях работает молодой веселый парень, по имени Нуль. Когда друзья разыскали Нуля и всё ему рассказали, он сразу же вызвался помочь числам.

Нуль был очень смелым и не боялся Квадратного Корня, потому что Квадратный корень не мог причинить ему вреда. Нуль сразу же подружился с Плюсом и Минусом, ведь если к нулю прибавить нуль или от нуля отнять нуль, будет Нуль. И только Делению Нуль не понравился, ведь на нуль делить нельзя!

Смелые друзья отправились на следующее представление в цирк. В цирке было очень шумно. Числа кричали и ругались друг на друга. И все они ужасно боялись, что Квадратный Корень уменьшит их еще раз. И вот, под гром оркестра, на арене появился Квадратный Корень, взмахнул своей длинной левой рукой, в цирке наступила тишина. “ Ну, продолжим! ” – сказал волшебник. “ А что если сегодня, мы опять позанимаемся с16? Вчера мы превратили ее в 4, сегодня в 2”.

Несчастная бывшая 16, как она испугалась! Но вдруг на арену выскочил парень и крикнул: “ Многоуважаемый маг и волшебник, многоуважаемый Квадратный Корень! Уменьши, пожалуйста, меня!” – это был Нуль. Квадратный корень решил расправиться со смельчаком, взмахнул левой рукой, но парень, как стоял на арене, так и стоял. И меньше ростом не стал, и улыбаться не перестал. Квадратный Корень удивился, затем рассердился, пробормотал самое сильное заклинание. Ничего не произошло. Ничего!

И, тут на арену вышла единичка: “ Я тоже хотела бы уменьшиться!”. “ Не получилось с парнем, уменьшу девчонку!” – подумал волшебник. Кружил вокруг нее Квадратный Корень, кружил, выкрикивал заклинания, призывал на помощь всю магию, и 3 и 4, и, даже n, всё без толку. Стоит Единичка, ничего ей не делается. Внезапно все зрители – числа увидели, что Квадратный Корень начал бледнеть и вдруг совсем исчез. А все уменьшенные числа стали превращаться сами в себя. К ним возвращался не только прежний облик, но и их доброта. И все в Городке чисел стали жить по-прежнему весело и радостно. Нуль кружил на каруселях маленькие числа. Единичка поехала в гости к своей бабушке. А Плюс и Минус, вернувшись в свой домик, реже спорили.

Спор цифр

Жили-были цифры 5 и 1.

Всю жизнь спорили они, кто из них важнее.

– Я лучшая цифра в учёбе человека. Меня получают умные, хорошие, сильные ученики, а ты – кол, самая плохая оценка, тебя получить – ничего не стоит! Родители ругают детей из-за тебя, – спорила 5.

А единица говорила обратное:

– Я лучшая отметка в Германии.

Остальные цифры сильно устали от их споров. И тогда цифры позвали знаки “+”, “–”, “:”, “*”. И позвали 5 и 1. Но никто не смог их помирить. А вот дробная черта “/” поняла, что нужно сделать.

И вот что она сделала 5/5 =1

Сказка-загадка

Жила-была звезда 1 целая. Однажды она рассыпалась на 4 планеты. Это: 1/10, 2/10, 3/10, 4/10.

И одна планета улетела в другой галактический мир. Если бы оставшиеся три планеты соединились, то они составили бы звезду 8/10. Какая планета улетела в галактический мир?

Число пи (3,14…)

Целых частей в Пи,

Как у треугольника углов – три.

Следом идёт запятая,

После целых частей ставить её не забываю.

Затем стоит единица,

Ребятам, знающим на эту оценку,

В 165-ом лицее не стоит учиться.

Четыре океана всего на Земле,

Один из них, Тихий –

Самый большой по глубине!

Цифр много в числе Пи,

Сочинил я лишь про три!

Сказка

Жила была 1/5. Посадила она репку. Созрела репка, настала пора её тащить. Стала 1/5 тянуть репку, тянет, потянет, вытянуть не может. Позвала 1/5 на помощь 2/5. Тянут, потянут вместе, а вытащить репку не могут. Позвали 3/5. Пришла 3/5 дёргает репку, а та не вытаскивается из земли. Позвала 4/5. Пришла 4/5,тянет со всеми, а репка опять не вытаскивается из земли. Позвали 5/5. Тянут, потянут все и вместе вытащили репку из земли. Ведь у них силы-то вместе сколько: целое число 3.

Математическая ссора

Гуляли по тетради 1 и 2. Никто их не любил, не жаловал. А ученик Коля взял, да и возвёл их в квадрат. Превратилась тогда 2 в 4, а 1 осталась прежней. Возвёл Коля 1 в куб, а она снова без изменений. Обиделась, рассердилась 1,взяла палку и прыгнула на 4. И получилась 1/4. Эта дробь была всегда нужной и правильной.

Вот так из-за ссоры двух чисел образовались обыкновенные дроби.

Параллелепипед

В некотором царстве, некотором государстве жил: король по имени Параллелепипед со своею королевой – Площадью. И было у них три дочери, одна краше другой. Звали их Высота, Ширина и Длина.

Однажды вышли принцессы погулять в королевском лесу, да и заблудились. Начали они кликать свою матушку, но это было бесполезно. Далеко забрели девушки. Вдруг одна из сестер Высота, сказала: “ Вы – Ширина и Длина – должны найти произведение между своим ростом, и тогда посмотрим, что из этого получится”.

Так они и сделали. В тот же миг появилась рядом с ними их матушка – Площадь.

С тех пор люди умножают ширину на длину и получают площадь. А если площадь и на высоту умножить, то получится объём прямоугольного параллелепипеда.

Кто главнее?

Поспорили один раз 1/2 и 0,5 кто из них главнее в математике. 0,5 говорит: “ Я главнее тебя!”, а 1/2 говорит: “Нет, я главнее!”. Спорили они долго и пошли они к царице Математике во дворец, чтобы она решила, кто из них главнее. Пришли и говорят: “Царица Математика, мы поспорили, кто из нас главнее и не смогли решить, помогите нам”. Она им ответила: “Я вам помогу, но мне на помощь должен прийти координатный луч” . Координатный луч позвали, и царица сказала: “А теперь 1/2 и 0,5, встаньте на нем на свои места”. И обе они стали на одно место. “ Вот видите, значит вы равные, идите и живите мирно”, – сказала царица Математика.

И больше 1/2 с 0,5 не спорили, кто из них главнее.

Сказка

Однажды Коле приснился сон, как будто он попал в страну, где правила прямо и обратно пропорциональных зависимостей поменялись.

В этой стране был беспорядок и хаос. Он заметил, что в магазинах люди, чем меньше заплатят, тем больше им дадут товара. В этой стране машины ездили почему-то очень быстро, но всегда куда-нибудь опаздывали. На футбольном матче играли две команды “Спартак” и “Динамо”. “ Спартак” забил “Динамо” три гола, а “Динамо” им ни одного. Но победила команда “Динамо”…

Когда Коля проснулся, он посмотрел на часы. Они показывали половину восьмого. Коля испугался, что опоздает в лицей. Он оделся и быстро побежал. Когда он прибежал в лицей, увидел, что вовремя.

Хорошо, что на земле действуют правила прямой и обратной пропорциональных зависимостей!

Сказка

Жила-была запятая и не было у нее друзей.

Однажды два числа ноль и пять узнали про запятую, что у нее нет друзей, они подружились с ней. Однажды запятая пришла к ним и увидела, как два этих числа не могут поделить яблоко, она встала между ними и яблоко разделилось на две части. И они все были рады.

Вот так запятая помогла своим новым друзьям.

Рассуждения

3 белые и 2 черные шляпы. Как-то три учителя на практикуме решили продемонстрировать ученикам свое умение размышлять. Они взяли 5 шляп (если кто-то не может представить древнегреческих учителей в шляпах, пусть представит их в разноцветных венках или повязках на голове) - 3 белые и 2 черные - и попросили одного из учеников надеть каждому из них по шляпе. Ученик мог выбрать каждому произвольный цвет шляпы и надеть ее так, чтобы ни один мудрец не видел цвет своей шляпы. Ученик надел каждому по белой шляпе, решив, что так сделает выбор учителей труднее. Учителя договорились о том, что, если кто-либо из них догадается, какого цвета у него шляпа, он сразу же должен заявить об этом. Вскоре один из них догадался, что у него белая шляпа.

а) Как он рассуждал?

б) Действительно ли ученик выбрал для мудрецов самый трудный вариант?

Решение

Построение в ряд. В другой раз учителя решили провести иную практическую демонстрацию умения рассуждать. Они стали в ряд (в затылок друг другу) так, что лишь последний в ряду по-прежнему видел шляпы двух других, средний видел только шляпу переднего. Первый в ряду не видел ни одной шляпы. Учителя, догадавшиеся о цвете своей шляпы, должны были немедленно и громогласно заявить об этом. Ученик опять выбрал самый трудный для учителей вариант и надел каждому по белой шляпе, и вскоре один из учителей правильно назвал цвет своей шляпы. Кто это был?

Решение

Утренний прогноз погоды.

1. Если сегодня дождя не будет, то завтра будет ветреная погода.

2. Если же сегодня дождь пройдет, то завтра осадков не будет.

3. Если сегодня будет холодно, то и влажность сегодня будет высокой.

4. Если сегодня будет тепло, то завтра будет безветренно.

5. Если сегодня ветра не будет, то завтра будет тепло.

6. Если же сегодня будет ветрено, то завтра будет дождь, хотя влажность воздуха будет низкой.

7. Если завтра осадков не будет, то завтра будет холодно, а влажность останется такой же, как сегодня.

Какой будет погода сегодня и завтра, без всяких «если»?

Решение

Игра в шахматы. В финале турнира шахматистов Белорусской Армии встретились представители 6 воинских званий: майор, капитан, лейтенант, старшина, сержант и ефрейтор, разных специальностей: летчик, танкист, артиллерист, минометчик, сапер и связист. Определите специальность каждого из шахматистов по следующим данным.

В первом туре лейтенант выиграл у летчика, майор у танкиста, а сержант у минометчика. Во втором туре капитан выиграл у танкиста. В третьем и четвертом турах минометчик из-за болезни не участвовал в турнире, поэтому свободными от игры оказались капитан и ефрейтор. В четвертом туре майор выиграл у связиста.

Победителями турнира оказались лейтенант и майор. Хуже всех выступил сапер.

Решение

О профессиях, городах и товарищах. Три товарища – Иван, Дмитрий и Степан – преподают различные предметы (химию, биологию, физику) в школах Москвы, Ленинграда и Киева. Известно, что:

1. Иван работает не в Москве, а Дмитрий не в Ленинграде;

2. Москвич преподает не физику;

3. Тот, кто работает в Ленинграде, преподает химию;

4. Дмитрий преподает не биологию.

Какой предмет и в каком городе преподает каждый из товарищей?

Решение

Решения

1. а) Пусть первым догадался мудрец А. Он мог рассуждать следующим образом: «Предположим, что у меня шляпа черная. Тогда Б видит мою черную шляпу и белую шляпу В и думает, какого цвета его шляпа. «Если бы моя (Б) шляпа была черной, то В, видя 2 черные шляпы, сразу же заявил бы о белом цвете своей шляпы». Однако В молчит. Следовательно, Б должен сделать вывод о том, что его шляпа не черная, а белая, и заявить об этом. Однако и Б молчит. Следовательно, мое исходное предположение о том, что у меня шляпа черная, ложно. Таким образом, у меня шляпа белая».

б) Если у одного мудреца, например Б, черная шляпа, то А, предположив, что и у него шляпа тоже черная, ожидал бы, что В сразу же догадается, что у него белая шляпа, так как черных шляпы всего 2. Следовательно, А еще быстрее догадался бы о цвете своей шляпы, чем в случае, когда у всех белые шляпы. Если же у двух мудрецов черные шляпы, а у третьего белая, то он моментально об этом догадался бы.

2. Пусть А – передний мудрец, Б – второй и В – последний. Догадался передний мудрец. Он мог рассуждать, например, так: «Поскольку последний в ряду мудрец В, который видит 2 шляпы, молчит, то у нас с Б не могут быть одновременно черные шляпы. Рассуждая аналогично, мудрец Б догадался бы, что у него белая шляпа, если бы у меня была шляпа черная. Но Б пока молчит, следовательно, у меня шляпа белая».

Если в предыдущих задачах про мудрецов их положение было симметрично и они догадывались о своих лбах и шляпах практически одновременно, то в этой задаче положение первого мудреца, который не видит ни одной шляпы, на первый взгляд самое трудное. В действительности только он и может догадаться, если все три шляпы белые.

3. Из п. 5 и 6 следует, что завтра не может быть одновременно и холодно, и без осадков, и высокая влажность. Тогда из п. 2 следует, что сегодня дождя не будет.

Тогда из п. 1 следует, что завтра будет ветрено.

Тогда из п. 4 следует, что сегодня будет холодно.

Тогда из п. 3 следует, что сегодня и влажность будет высокой.

Тогда из п. 7 следует, что и завтра влажность будет высокой.

Тогда из п. 6 следует, что сегодня будет безветренно.

Тогда из п. 5 следует, что завтра будет тепло.

Итак, сегодня будет безветренно, холодно, дождь не ожидается, но влажность будет высокой. Завтра потеплеет и при высокой влажности будет ветрено и дождливо.

4. Будем решать задачу, исключая те случаи, которые противоречат какому-либо из условий задачи. Для удобства решения составим прямоугольную таблицу, в которой по вертикали запишем воинские звания шахматистов, а по горизонтали – их специальности.

Рассмотрим, кто с кем играл первую партию. В условии сказано, что лейтенант выиграл у летчика, ясно, что лейтенант – не летчик. Но одновременно с лейтенантом и летчиком на другой доске играл майор с танкистом, значит, лейтенант и не танкист, а майор – не танкист и не летчик. Учитывая, что на третьей доске играл сержант с минометчиком, мы получаем, таким образом, следующий вывод: лейтенант – не летчик, не танкист и не минометчик. Ставим в таблице в соответствующих клеточках знак минус, то есть в строке «лейтенант» ставим минусы в 1, 2 и 4-й клеточках (считая слева направо).

В тех же трех столбцах ставим минусы и в строке «майор», ибо и майор – не летчик, не танкист и не минометчик. По той же причине вписываем минусы в 1, 2 и 4-ю клеточки строки «сержант».

Так как во втором туре капитан выиграл у танкиста, значит, капитан – не танкист, вносим в таблицу еще один минус в соответствующую клеточку (2-я строка, 2-й столбец).

В третьем туре минометчик должен был играть с капитаном, а в четвертом – с ефрейтором, следовательно, минометчик – не капитан и не ефрейтор. Вписываем в 4-й столбец два минуса в соответствующие клеточки (2 и 6-я, считая сверху вниз).

В четвертом туре майор выиграл у связиста, значит, майор – не связист. По результатам турнира можно судить, что сапер – не майор и не лейтенант. Вписав в таблицу и эти последние три минуса, мы получим следующую таблицу:

Летчик Танкист Артиллерист Минометчик Сапер Связист

Майор – – + – – –

Капитан + – – – – –

Лейтенант – – – – – +

Старшина – – – + – –

Сержант – – – – + –

Ефрейтор – + – – – –

По смыслу задачи в каждой строке и в каждом столбце должен быть плюс и только один, ибо каждую специальность имеет только один из шахматистов и каждое воинское звание имеет только один из шахматистов, так как всего шесть различных воинских званий и шести разных специальностей.

Рассмотрим четвертый столбец: в пяти клеточках стоят минусы, значит, минометчиком является старшина, что обозначим знаком плюс. Но тогда в. остальных пяти клеточках 4-й строки можно поставить минусы.

Рассмотрим теперь 2-й столбец. Легко сообразить, что танкистом является ефрейтор. Поставим плюс во 2-й клеточке последней строки, в остальных клеточках этой строки поставим минусы. Затем устанавливаем, что летчик – капитан, сапер – сержант, связист – лейтенант, майор – артиллерист.

Можно было рассматривать не столбцы, а строки. Иногда рассматривают попеременно и строки, и столбцы.

5. Выделим три множества: множество имен, множество предметов и множество городов. Элемент каждого из множеств на рисунке 1 задан своей точкой (буквы на этом рисунке — первые буквы соответствующих слов). Если две точки из разных множеств характеризуют признаки разных людей, то будем соединять такие точки штриховой линией. Если же две точки из разных множеств соответствуют признакам одного человека, то такие точки будем соединять попарно сплошными линиями. Существенно, что по условию задачи для каждой точки любого множества в каждом из остальных множеств найдется одна и только одна точка, ей соответствующая.

Таким образом, граф на рисунке 1 содержит все заданные в условии элементы множеств и отношения между ними. Задача на языке графов сводится к нахождению трех «сплошных» треугольников с вершинами в разных множествах.

Рассмотрим граф на рисунке 1. Напрашивается штриховой отрезок ХД, Действительно, Л соответствует X и, одновременно, Л не соответствует Д, т. е. X не может соответствовать Д. Итак, используется типичная для такого рода задач операция на графе: если у треугольника с вершинами в трех разных множествах одна сторона сплошная, вторая – штриховая, то третья должна быть штриховой. Из условия задачи следует равномерность еще одной операции на графе: если какая-то точка соединена штриховыми отрезками с двумя точками во втором множестве, то ее следует соединить с третьей точкой этого множества сплошным отрезком. Так проводится сплошной отрезок ДФ. Далее проводится штриховой отрезок ДМ (в треугольнике ДФМ сторона ДФ сплошная, а ФМ – штриховая), ДК сплошным (ДМ и ДЛ штриховые), теперь соединим точки Ф и К сплошным отрезком. Если в треугольнике с вершинами в разных множествах две стороны сплошные, то третья тоже будет сплошной. Найден первый «сплошной» треугольник ДФК. Так, не возвращаясь к тексту задачи, руководствуясь лишь естественными операциями на графе, описанными выше, мы находим решение (рис. 2).

Отметим последовательность, в которой проводились отрезки: ХД, ДФ, ДМ, ДК, ФК, МС, ИЛ, ХИ, БМ, БС. Вершины каждого из трех полученных «сплошных» треугольников определяют ответ задачи: Иван преподает химию в Ленинграде, Дмитрий – физику в Киеве и Степан – биологию в Москве.