Тема: Сумма п-первых членов геометрической прогрессии».

Цели: 1.Вывести формулы п-членов геометрической прогрессии.

2. Закрепление знаний, полученных при изучении арифметических и геометрических

прогрессий.

3. Решение задач на нахождение суммы геом. прогрессии.

Ход урока.

Актуализация знаний.

-Ребята! На последних уроках мы с вами занимались арифметической и геометрической прогрессиями. Повторим знания по пройденным темам. В этом нам с вами поможет таблица.

	Прогрессии
Арифметическая	Геометрическая
1. Определение
2.Формула п-членов
3. Свойства
4.Сумма п-первых членов

Ребята отвечают на вопросы из таблицы и заполняют её.

Перед нами 10 последовательностей. Найдите ариф. и геометрич. прогрессии и назовите разность и знаменатель.

(an): 1,3,5,7,9….. (bn)): 2,22,23,24,25….. (cn): -2,-4,-6,-8,-10……

(dn): 7,7,7,7,7…. (pn): 1,1/2,1/3,1/4,1/5… (mn): 1;0,1;0,01;0,001…

(xn):1,-1/2,1/4,-1/8,1/16…. (yn): -10,10,-10,10,-10… (zn): 1,1/2,0,-1/2,-1…..

(fn): 1,4,9,16,25…..

Какие последовательности не являются ар. и геом. прогрессиями? Назовите формулы

п-го члена этих последовательностей.

Объяснение нового материала.

Вернёмся к таблице. У нас осталась незаполненной одна ячейка таблицы, поэтому тема нашего с вами урока «Формула п-первых членов геом. прогрессии», а цель урока - вывод формул по этой теме.

Помочь в выводе формул нам поможет древняя индийская легенда. Послушайте её.

По преданию индийский принц Сирам, восхищённый остроумием игры и разнообразием шахматных фигур, призвал к себе её изобретателя, учёного Сету и сказал ему:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

- Я желаю достойно вознаградить тебя за прекрасную игру, которую ты придумал.

Я достаточно богат, чтобы выполнить любое твоё желание. Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь её.

- Повелитель, прикажи мне выдать за 1 клетку шахматной доски - 1 пшеничное зерно, за 2 клетку – 2 зерна, за 3 клетку – 4 зерна, и т. д.

Сирам рассмеялся. Ребята, давайте решим, стоило ли принцу смеяться и смог ли он выполнить желание Сету?

Перед нами сумма геометрической прогрессии.

S=1+2+4+8+16+………+263

Сейчас мы с моей помощью найдём эту сумму, а вы внимательно следите за каждым шагом, который я буду делать при выводе этой суммы, т. к. этот же самый алгоритм нам понадобиться для вывода формул суммы п-членов геометрической прогрессии.

Умножим обе части равенства на знаменатель 2.

2S=2+22+23+…..+264

Почленно вычтем из второго равенства первое.

2S-S=264-1=18.446.744.073.709.551.615 (Результат был получен с помощью компьютера)

Масса такого количества пшеничных зёрен больше триллиона тонн. Это превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.

На вопрос, сможет ли принц рассчитаться с учёным, мы отвечаем: «Нет».

А сейчас, пользуясь тем же алгоритмом, найдём сумму произвольной геометрической прогрессии. Один из учеников выходит к доске для вывода формул.

Sn= b1+b2+b3+…….+bn-1+bn

qSn=b1q+b2q+……+bn-1q+bnq

qSn-Sn=bnq-b1

Sn(q-1)=bn-b1

Sn= ( bnq-b1)/(qформула