Нелинейные эффекты в тепловой конвекции вязкоупругих жидкостей в статическом и модулированном поле тяжести (стр. 2 )

,

,

.

Здесь – вектор скорости, – температура, – давление, – тензор избыточных напряжений (далее тензор напряжений), – плотность, – коэффициент теплового расширения, – коэффициент температуропроводности, – амплитуда модуляции, – частота модуляции, – вертикальный единичный вектор, – периодическая функция с частотой . Отметим, что в статическом поле тяжести .

При приведении управляющих уравнений к безразмерному виду в качестве единиц времени, скорости, температуры и тензора напряжений выбирались следующие величины: в первой главе – , , , , во второй и третьей главах – , , , ( – кинематическая вязкость, – характерный размер области, – разница температур на верхней и нижней границах). В результате, в безразмерном виде уравнения содержат следующие параметры: в первой главе – число Релея , число Прандтля , число Деборы , частоту модуляции ; во второй и третьей главах – число Грасгофа , число Прандтля , число Деборы , частоту модуляции . Параметр , равный отношению времени запаздывания деформаций ко времени релаксации напряжений и амплитуда модуляции вводятся одинаково во всех главах.

Известно[1][2], что при малых значениях (слабой упругости жидкости) неустойчивость равновесия вязкоупругой жидкости связана с развитием монотонных возмущений; граница монотонной неустойчивости не зависит от упругих свойств среды; критическое значение числа Релея совпадает со значением, получающимся в случае ньютоновской жидкости. При числах Деборы, превышающих некоторое значение , неустойчивость наступает в результате развития колебательных возмущений. Критическое число Релея, определяющее порог колебательной неустойчивости, уменьшается с увеличением .

В первой главе диссертации исследуется устойчивость равновесия подогреваемого снизу плоского горизонтального слоя жидкости Олдройда в модулированном поле тяжести. Рассматривается случай свободных границ слоя и ступенчатого закона модуляции силы тяжести, что позволяет решить задачу аналитически.

Анализируется устойчивость механического равновесия жидкости по отношению к бесконечно малым возмущениям. Исследование проводится в рамках теории Флоке методом характеристических показателей.

Расчеты показали, что в пространстве параметров имеются участки резонансного возбуждения неустойчивости – возмущения могут развиваться во времени синхронным или субгармоническим образом, при этом вдоль границы устойчивости мультипликатор принимает вещественное значение . Кроме того, существуют области параметров, где возмущения квазипериодичны, а мультипликатор является комплексным числом.

Для разных значений числа Деборы получены нейтральные кривые на плоскости параметров критическое число Релея – волновое число. Их сравнение с нейтральными кривыми для жидкости Максвелла[3], показало, что запаздывание деформаций оказывает стабилизирующее действие, особенно значительное в коротковолновой области.

Построены карты устойчивости механического равновесия на плоскости параметров число Релея – число Деборы для различных значений амплитуды модуляции и частоты модуляции . Найдено, что для малых модуляция силы тяжести при любых и оказывает стабилизирующее действие, как и в ньютоновской жидкости. С ростом в зависимости от значений и модуляция может оказывать как стабилизирующее, так и дестабилизирующее влияние. Увеличение амплитуды модуляции ведет к усилению эффектов стабилизации и дестабилизации

Для разных значений числа Деборы исследована зависимость минимального критического числа Релея от частоты модуляции. Найдено, что для низкочастотная модуляция оказывает дестабилизирующее воздействие. Напротив, при низкочастотная модуляция повышает порог неустойчивости. В области умеренных частот модуляции зависимость минимального критического числа Релея от частоты для всех значений имеет сложный немонотонный характер. Высокочастотная модуляция не влияет на порог конвекции.

Во второй главе рассматривается плоское конвективное движение жидкости Олдройда в подогреваемом снизу бесконечном горизонтальном цилиндре квадратного сечения, в статическом поле тяжести. Исследование проводится для случаев свободных и твердых границ, вертикальные границы полости полагаются теплоизолированными. Для случая твердых границ эта задача исследовалась ранее[4], однако, проведенные в этой работе расчеты были ограничены случаем , для которого всегда имеет место мягкое возбуждение конвекции.

Основное внимание во второй главе уделено изучению характера возбуждения и слабо-надкритических режимов конвекции. Для случая свободных границ полости исследование проводилось на основе построенной нелинейной конечномерной модели. Характер возбуждения конвекции определялся с помощью методов слабонелинейного анализа. Для исследования нелинейных режимов конвекции проводилось численное интегрирование уравнений конечномерной модели.

Получены аналитические выражения, дающие информацию о характере возбуждения конвекции при разных значениях реологических параметров. Для случая монотонной неустойчивости равновесия () найдено, что при в зависимости от значений параметров и возможны как мягкое, так и жесткое возбуждение конвекции, а для конвекция возбуждается мягко при любых и .