Для случая колебательной неустойчивости равновесия при зависимость характера возбуждения конвекции от параметра иная. Для значений , меньших , при любых и имеет место мягкое возбуждение конвекции. В интервале возможны как мягкое, так и жесткое возбуждение. При конвекция возбуждается жестко при любых значениях и .

Рис.1. Диаграмма режимов для , , , . Штрихпунктирная линия соответствует устойчивому стационарному режиму, штриховая – неустойчивому стационарному режиму, сплошная – устойчивому колебательному с нулевым средним. Врезка – вилочная бифуркация колебательных режимов с ненулевым средним

Рис.2. Бифуркационные кривые для , , : штриховая линия соответствует гомоклинической бифуркации, штрихпунктирная – касательной бифуркации, сплошная ‘1’ – вилочной бифуркации, сплошная ‘2’ – бифуркации Хопфа

Изучены также нелинейные режимы конвекции. На рис. 1, 2 представлены диаграммы режимов конвекции при . В этой области параметров, как было отмечено ранее, колебательный режим возбуждается мягко; стационарный режим может возбуждаться мягко или жестко в зависимости от значений и . При значении числа Грасгофа, которому соответствует точка A на рис. 1, где сливаются штриховая и штрихпунктирная линии, через касательную бифуркацию рождаются две пары конечно-амплитудных стационарных решений. Два из этих решений являются устойчивыми и два неустойчивыми (на рис. 1 представлены только решения, соответствующие одному направлению циркуляции жидкости в полости). При достижении числом Грасгофа порога монотонной неустойчивости (точка B) неустойчивые стационарные решения умирают через обратную вилочную бифуркацию. Колебательное решение, ответвляющееся от равновесия в точке C (сплошная линия на рис. 1), представляет собой симметричный в фазовом пространстве цикл. Как показали численные расчеты, уже при небольших надкритичностях симметричный цикл теряет устойчивость и от него ответвляются два несимметричных цикла с отличным от нуля средним. Вилочной бифуркации рождения несимметричных циклов соответствует точка E (врезка на рис. 1). С дальнейшим увеличением числа Грасгофа, при встрече с неустойчивыми стационарными режимами (точка D), эти циклы исчезают через гомоклиническую бифуркацию. Таким образом, на рис. 1 можно видеть, как в рассматриваемой системе реализуются бифуркационные переходы пяти типов.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

На рис. 2 на плоскости параметров приведены кривые, соответствующие описанным выше бифуркационным переходам. Штрихпунктирная линия соответствует касательной бифуркации рождения стационарных режимов, штриховая линия – гомоклинической бифуркации смерти колебательных режимов, сплошная линия 1 – вилочной бифуркации, сплошная линия 2 – бифуркации Хопфа. Ниже штрихпунктирной кривой равновесие устойчиво как по отношению к малым, так и по отношению к конечно-амплитудным возмущениям. Между штрихпунктирной линией и линией 2 жестким образом возбуждаются стационарные решения, по отношению к колебательным возмущениям равновесие устойчиво. В области между линией 2 и штриховой линией сосуществуют устойчивые стационарные режимы и устойчивые периодические режимы, выбор режима определяется начальными условиями. Выше штриховой линии остаются только устойчивые стационарные режимы.

Для колебательные режимы конвекции возбуждаются жестко, стационарные – мягко. Таким образом, в области монотонной неустойчивости имеется прямая вилочная бифуркация стационарных режимов; в области колебательной неустойчивости через касательную бифуркацию рождаются два симметричных цикла: один устойчивый, другой неустойчивый. Как показали расчеты, проведенные вплоть до значений, соответствующих десятикратной надкритичности, решением при для данных значений параметра являются стационарные колебания симметричной формы.

В случае твердых границ для изучения поведения жидкости вблизи порога неустойчивости использовались методы слабонелинейного анализа. Для исследования установившихся нелинейных режимов полные нелинейные уравнения решались также методом конечных разностей.

Найдено, что границы, разделяющие области мягкого и жесткого возбуждения монотонной конвекции, качественно подобны случаю свободных границ. При , близких к единице, конвекция возбуждается мягко при любых значениях реологических параметров и , при меньших имеются области мягкого и жесткого возбуждения (рис. 3). В области колебательной неустойчивости наблюдается аналогичное поведение.

Результаты численного исследования нелинейных режимов стационарной конвекции хорошо согласуются с результатами, полученными в ходе слабонелинейного анализа (рис. 3). Обнаружено, что в узкой области значений параметра амплитудная поверхность является неоднозначной, так что на плоскости параметров имеются две линии складок, образующих сборку (рис. 4). Плоскость параметров разделяется на области с четырьмя разными типами амплитудной кривой. При увеличении надкритичности стационарные режимы конвекции сменяются малоамплитудными колебаниями с ненулевым средним.

Рис.3. Области мягкого и жесткого возбуждения конвекции для , . Штриховая линия – граница колебательной неустойчивости. В точках, обозначенных треугольниками для монотонной моды и кружками для колебательной моды, проводился численный счет. Черный цвет соответствует мягкому возбуждению конвекции, белый – жесткому

Рис. 4. Четыре области параметров с разным типом нелинейных режимов в области монотонной неустойчивости для , , . и – точки срыва с нижней ветви мягкого возбуждения конвекции и с верхней ветви жесткого возбуждения соответственно

В третьей главе численно исследуются возникновение и нелинейные режимы конвективного движения вязкоупругой жидкости Олдройда в квадратной полости, подогреваемой снизу, при наличии гармонически меняющейся силы тяжести. Рассматривается случай твердых границ полости. Аналогичная задача исследована для жидкости Максвелла[5], однако изучение нелинейных режимов было ограничено значениями числа Деборы, при которых в отсутствие модуляции силы тяжести реализуется монотонная неустойчивость.

Численное моделирование проводилось с использованием метода конечных разностей. Использовалась неявная конечно-разностная схема. Для обеспечения устойчивости счета конвективные члены в нелинейных уравнениях аппроксимировались разностями против потока. Решение линейной задачи производилось путем численного решения нестационарных линеаризованных уравнений, описывающих эволюцию малых возмущений. Изучение нелинейных режимов конвекции осуществлялось путем численного решения полной нелинейной задачи.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4