Уравнения математической физики (стр. 3 )

Задача № 4. Закрепленная на концах струна в точке х = с оттянута силой F0 Найти колебания струны, если в начальный момент сила перестает действовать, а начальная скорость равна нулю.

Модуль 2

Лабораторная работа № 3. Уравнения параболического типа в теории нестационарной теплопроводности и диффузии. Теплопроводность в бесконечном стержне. Теплопроводность в конечном стержне с однородными краевыми условиями. Теплопроводность в полубесконечном стержне. Диффузия в бесконечной и полубесконечной непроницаемой трубке.

Задача № 1. Дать физическое истолкование следующих граничных условий в задачах теплопроводности и диффузии:

а) u (0, t) = 0.

б) ux (0, t) = 0

в) ux (0, t) – hu (0, t) = 0,

(h > 0)

ux (l, t) + hu (l, t) = 0

Задача № 2. Начальная температура стержня u(х, 0) = u0 = const при 0 < х < l. Температура концов поддерживается постоянной u(0, t) = u1; u(l, t) = u2 при 0 < t < ∞. Найти температуру стержня, если теплообмен на боковой поверхности отсутствует. Найти стационарную температуру.

Задача № 3. Цилиндр длины l, заполненный воздухом при давлении и температуре окружающей среды, открывают с одного конца в начальный момент времени, и из окружающей атмосферы, где концентрация некоторого газа равна u0 начинается диффузия газа в цилиндр. Найти количество газа, диффундировавшего в цилиндр за время t, если начальная концентрация газа в цилиндре равна нулю.

Задача № 4. Найти функцию влияния мгновенного точечного источника тепла для:

a) полуограниченного стержня при граничных условиях 1-го и 2-го рода и при отсутствии теплообмена на боковой поверхности;

б) неограниченного стержня при наличии теплообмена на боковой поверхности.

в) полуограниченного стержня при наличии теплообмена на боковой поверхности и при граничных условиях первых двух типов.

Модуль 3

Лабораторная работа № 4. Уравнения эллиптического типа в теории стационарной пространственно-неодномерной теплопроводности и массопереноса. Решение задачи Лапласа методом Фурье для круга.

Задача № 1. Найти функцию u, гармоническую внутри круга радиуса а и принимающую на окружности С значения

а) u|с = A cos φ;

б) u|с = А + В sin φ.

Задача № 2. Решить уравнение ru= А + В(х2 - у2) в кольце a ≤ p ≤ b, если

u|p=a = A1, |p=b = 0

Начало координат находится в центре кольца.

Задача № 3. Найти гармоническую функцию внутри кольца a ≤ p ≤ b, удовлетворяющую следующим граничным условиям:

u|p=a = f1 (φ), u|p=b = f2 (φ)

Задача № 4. Определить распространение начального отклонения, заданного в виде равнобедренного треугольника, получающегося если оттянуть струну в середине отрезка [х1, х2] в момент времени rt= (х2 – x1) / 8a.

7. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов

7.1 Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля)

Данной рабочей программой предусмотрена самостоятельная работа в объеме 36 часа. В соответствии с Положением о самостоятельной работе студентов в ГОУ ВПО «Тюменский государственный университет», под самостоятельной работой студентов (далее СРС) понимается «учебная, научно-исследовательская и общественно-значимая деятельность студентов, направленная на развитие общих и профессиональных компетенций, которая осуществляется без непосредственного участия преподавателя, хотя и направляется им».

СРС проводится с целью формирования общекультурных и профессиональных компетенций, понимаемых как способность применять знания, умения и личностные качества для успешной деятельности в определенной области, в том числе:

·  формирования умений по поиску и использованию справочной и специальной литературы, а также других источников информации;

·  качественного освоения и систематизации полученных теоретических знаний, их углубления и расширения по применению на уровне межпредметных связей;

·  формирования умения применять полученные знания на практике (в профессиональной деятельности) и закрепления практических умений студентов;

·  развития познавательных способностей студентов, формирования самостоятельности мышления;

·  развития активности студентов, творческой инициативы, самостоятельности, ответственности и организованности;

·  формирования способностей к саморазвитию (самопознанию, самоопределению, самообразованию, самосовершенствованию, самореализации, саморегуляции);

·  развития научно-исследовательских навыков;

·  развития навыков межличностных отношений.

Студентам предлагаются следующие формы СРС:

·  изучение обязательной и дополнительной литературы;

·  выполнение самостоятельных заданий;

·  самоконтроль и взаимоконтроль выполненных заданий;

·  выполнение самостоятельных заданий на лабораторных занятиях;

·  решение задач;

·  подготовка ко всем видам контрольных испытаний, в том числе к текущему контролю успеваемости (в течение семестра), промежуточной аттестации (по окончании семестра);

·  подготовка к итоговой государственной аттестации, в том числе подготовка к государственным экзаменам, выполнение выпускной квалификационной работы;

·  подготовка к сдаче зачета.

Результаты СРС могут быть представлены в форме реферата по теме.

7.2 Типы заданий для самостоятельной работы (примерные)

1.  Проработать лекции.

2.  Работа с учебной литературой.

3.  Решение задач.

4.  Выполнение лабораторных работ.

При необходимости обратиться за консультацией к преподавателю.

7.3 Формы текущего контроля и промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины

В качестве форм текущей аттестации используются такие формы, как проверка лабораторных работ, решение задач, устные опросы.

Промежуточный контроль имеет форму лабораторных работ, решение задач, в которых оцениваются уровень овладения обучающимися знаниями по предмету.

В соответствии с Положением о рейтинговой системе оценки успеваемости студентов в ГОУ ВПО «Тюменский государственный университет», во время последней контрольной недели семестра преподаватель подводит итоги работы каждого студента и объявляет результаты студентам. Однако если студент желает улучшить свой рейтинг по дисциплине, ему предоставляется право набрать дополнительные баллы – пересдать лабораторные работы, решить задачи, выполнить дополнительные задания и т. п.

Поскольку дисциплина преподается в течение одного семестра, для выставления итоговой оценки на зачете выводится средний балл по дисциплине. В случае если средний балл составляет менее 61, студенту предоставляется право сдавать зачет, и оценка выставляется непосредственно по его результатам.

Итоговый контроль (зачет) проводится в устно-письменной форме. Зачет включает письменную часть – решение задач по теме. Устная часть зачета оценивает полученные знания по дисциплине путем собеседования с преподавателем.

7.4. Задания для самостоятельной работы

Модуль 1

Тема 1. Введение в курс «Уравнения математической физики».

Задача 1. Привести к каноническому виду уравнение:

a) yuхx - хuуу + ux + yuy = 0

b) uxx + 2uxy + 4uyy + 2ux + 3uy = 0

Задача 2. Введя функцию ʋ = ueλx + µy и выбирая соответствующим образом параметры λ и µ, упростить следующие уравнения с постоянными коэффициентами:

uxx - uyy = aux + βuy + yu

Задача 3. Введя функцию ʋ = ueλx + µy и выбирая соответствующим образом параметры λ и µ, упростить следующие уравнения с постоянными коэффициентами:

uxy = aux + βuy

Тема 2. Уравнения гиперболического типа в теории колебаний и волновых процессов в сплошных средах.

Задача 1. Пружина, закрепленная одним концом в точке х = 0, растянута грузом массы М, подвешенным в точке х = l, Найти колебания пружины, если в момент t = 0 груз падает и в дальнейшем на конец х = l не действуют никакие силы.

Задача 2. Один конец стержня закреплен, а на второй действует сила F0. Найти колебания стержня, если в начальный момент сила перестает действовать.

Задача 3. К однородной струне с закрепленными концами x = 0 и х = l в точке х = с прикреплена масса М. Найти отклонение струны u(х, t), если:

а) в начальный момент в точке х = с струна оттянута на величину h от положения равновесия и отпущена без начальной скорости;

б) начальное отклонение и начальная скорость равны нулю.

Модуль 2

Тема 3. Уравнения параболического типа в теории нестационарной теплопроводности и диффузии.

Задача № 1. Начальная температура стержня u(х, 0) = u0 = const при 0 < х < l. Температура концов поддерживается постоянной u(0, t) = u1; u(l, t) = u2 при 0 < t < ∞. Найти температуру стержня, если на одном конце поддерживается постоянная температура, второй конец теплоизолирован. Найти стационарную температуру.