Рабочая учебная программа дисциплины Аналитическая геометрия и линейная алгебра

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ и НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

"МАТИ" - РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ имени

______________________________________________________________________

Кафедра «Высшая математика»

"УТВЕРЖДАЮ"

Проректор по учебно-методической

работе — зам. председателя УМО

________________

" " __________ 20___ г.

РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

Направление подготовки: 011200.62 «Физика»

Квалификация (степень) выпускника: Бакалавр

Форма обучения: Очная

Выпускающая кафедра: Физика

Цикл дисциплин: МиЕН

Трудоемкость дисциплины (з. е.): 6

Распределение трудоемкости дисциплины по семестрам и видам учебной работы

Вид учебной работы	Семестр
1	2
Общий объем аудиторных занятий (АЗ) (всего), час. в том числе:	52	48
Лекции (ЛК)	24	24
Практические занятия (ПЗ) или семинарские занятия (СЗ)	24	20
Контроль самостоятельной работы (тестирование, коллоквиум, контрольные работы и др.) (КСР)	4	4
Общий объем самостоятельной работы (СР): час. /количество в том числе:	20	24
Подготовка к контрольным работам (к сеансам тестирования)	8/2	8/2
Подготовка к практическим занятиям	12	16
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен):	Д. З./36	Э./36

Содержание дисциплины «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» охватывает круг вопросов, связанных с изучением следующих разделов: Матрицы и системы линейных уравнений, Векторная алгебра, Аналитическая геометрия, Кривые второго порядка, Линейные пространства и линейные операторы, Евклидовы пространства и квадратичные формы.

Эта математическая дисциплина предназначена для подготовки бакалавров. Это накладывает на нее определенные требования, заключающиеся в том, что выпускник должен получить базовое, общее, широкое высшее образование, способствующее дальнейшему развитию личности.

Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую фундаментальной подготовки бакалавра.

Цели и задачи освоения дисциплины

Целью освоения дисциплины «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» является развитие интеллекта студентов, способности к логическому и алгоритмическому мышлению; обучение основным математическим методам, необходимым для анализа и моделирования процессов и явлений, при поиске оптимальных решений задач, возникающих в процессе профессиональной деятельности.

Для достижения поставленной цели при изучении дисциплины решаются следующие задачи:

1. Создание у студентов достаточно широкой подготовки в области математики.

2. Воспитание достаточно высокой математической культуры.

3. Привитие навыков современных видов математического мышления.

4. Привитие навыков использования математических методов и основ математического моделирования в практической деятельности.

5. Привитие навыков самостоятельной работы с литературой по математике и ее приложениям.

Место дисциплины в структуре ООП ВПО

Дисциплина «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» является важной частью профессиональной подготовки бакалавра по направлению 011200.62 «Физика» и относится к математическому и естественнонаучному циклу (циклу МиЕН). Изучение данной дисциплины базируется на знании школьного курса элементарной математики.

Освоение курса «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» лежит в основе дальнейшего обучения профессиональной деятельности для решения практических задач в различных областях.

Требования к результатам освоения дисциплины:

Изучение дисциплины направлено на формирование следующих общекультурных компетенций:

Владение культурой мышления, способности к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения; Стремление к саморазвитию, повышению своей квалификации и мастерства к устранению пробелов в знаниях и к обучению на протяжении всей жизни; Владение основными методами, способами и средствами получения, хранения, переработки информации, приобретению навыков работы с компьютером как средством управления информацией.

Изучение дисциплины направлено на формирование следующих профессиональных компетенций:

Способность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применение методов математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования; Способность собирать и анализировать научно-техническую информацию, учитывать современные тенденции развития и использовать достижения отечественной и зарубежной науки, техники и технологии в профессиональной деятельности; Способность работать с информацией в глобальных компьютерных сетях; Способность проводить исследования, обрабатывать и представлять экспериментальные данные.

В результате освоения дисциплины «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» обучающийся должен:

3.1. Знать:

— основные понятия и методы векторной и линейной алгебры, основные понятия и методы аналитической геометрии.

3.2. Уметь:

— применять математические методы, модели и законы для решения практических задач.

3.3. Владеть:

— математическим аппаратом и навыками использования современных подходов и методов математики к описанию, анализу, теоретическому и экспериментальному исследованию, моделированию природных явлений и процессов в объеме, необходимом для использования в обучении и профессиональной деятельности.

Структура и содержание разделов дисциплины (модуля)

4.1. Лекции

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Содержание раздела	Трудо-емкость, час
	1 семестр		24
1	Матрицы и системы линейных уравнений	Определение матрицы. Определители второго и третьего порядков, их свойства. Миноры и алгебраические дополнения, разложение определителя по строке или по столбцу. Методы вычисления определителей. Определители n-го порядка. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Правило Крамера. Операции над матрицами, их свойства. Обратная матрица, ее вычисление. Матричная запись системы линейных уравнений, решение систем с помощью обратной матрицы. Ранг матрицы. Методы вычисления ранга матрицы. Совместность систем линейных уравнений. Теорема Кронекера–Капелли. Структура общего решения однородной системы линейных уравнений. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.	12
2	Векторная алгебра	Векторы в пространстве, линейные операции над векторами. Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость и независимость векторов. Необходимое и достаточное условие коллинеарности и компланарности векторов. Модуль вектора. Проекция вектора. Направляющие углы. Декартовы координаты векторов и точек. Скалярное произведение векторов, его свойства. Выражение скалярного произведения в координатах. Приложения скалярного произведения. Векторное и смешанное произведения векторов, их свойства и приложения. Координатное выражение векторного и смешанного произведения. Условия коллинеарности и компланарности векторов.	6
3	Аналитическая геометрия	Линии на плоскости и их уравнения. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой. Поверхности и их уравнения. Плоскость в пространстве. Общее уравнение плоскости, его исследование. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Уравнение плоскости в отрезках. Угол между двумя плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Нормальное уравнение плоскости. Взаимное расположение двух и трех плоскостей в пространстве. Прямая в пространстве. Канонические и параметрические уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Общие уравнения прямой, приведение к каноническому виду. Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямой и плоскостью, между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых (прямой и плоскости) в пространстве. Расстояние от точки до прямой.	6
	2 семестр		24
4	Кривые второго порядка	Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола и парабола, их свойства и канонические уравнения. Преобразование прямоугольных декартовых координат плоскости: параллельный перенос и поворот координатных осей. Уравнение кривой второго порядка и его преобразование. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Классификация кривых второго порядка на плоскости.	6
5	Линейные пространства и линейные операторы	Линейные пространства: определение и примеры. Линейная зависимость и независимость векторов. Размерность пространства и базис. Координаты вектора в заданном базисе и их свойства. Изменение координат при переходе к новому базису. Подпространства. Линейные операторы в линейном пространстве. Матрица линейного оператора. Линейное пространство линейных операторов и его связь с пространством матриц. Произведение линейных операторов и его матрица. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Подобные матрицы. Проблема приведения матрицы к диагональному виду. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, примеры. Собственное подпространство. Ядро и образ линейного оператора. Обратный оператор. Характеристический многочлен матрицы и линейного оператора. Условие существования собственных векторов линейного оператора. Нахождение собственных векторов.	10
6	Евклидовы пространства и квадратичные формы	Евклидово пространство: определение и примеры. Неравенство Коши–Буняковского. Некоторые метрические понятия в евклидовом пространстве: норма вектора, угол между векторами. Неравенство треугольника в евклидовом пространстве. Ортогональность векторов. Ортогональные и ортонормированные системы векторов. Ортонормированный базис. Выражение скалярного произведения через координаты в ортонормированном базисе. Существование ортонормированного базиса. Процесс ортогонализации. Линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженный оператор, его свойства. Матрица сопряженного оператора (в ортонормированном базисе). Самосопряженные линейные операторы, их свойства, приведение к каноническому виду. Квадратичные формы от нескольких переменных и их связь с симметричными матрицами. Приведение квадратичной формы к каноническому виду (к главным осям). Поверхности второго порядка. Канонические уравнения основных поверхностей второго порядка: эллипсоиды, гиперболоиды и параболоиды. Классификация поверхностей второго порядка.	8
Итого:	48

4.2. Лабораторный практикум – нет

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Наименование лабораторных работ	Трудо-емкость, час
1
2
3
Итого:

4.3. Практические занятия

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Наименование практических занятий	Трудо- емкость, час
	1 семестр		24
1	Матрицы и системы линейных уравнений	Определители, их свойства и вычисление.	2
2	Матрицы и системы линейных уравнений	Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.	4
3	Матрицы и системы линейных уравнений	Операции над матрицами. Обратная матрица.	2
4	Матрицы и системы линейных уравнений	Решение матричных уравнений и линейных систем с помощью обратной матрицы. Нахождение ранга матрицы.	2
5	Матрицы и системы линейных уравнений	Нахождение общих решений однородных и неоднородных систем.	2
6	Векторная алгебра	Векторы. Действия над векторами. Координаты вектора. Координаты точки.	2
7	Векторная алгебра	Скалярное произведение векторов.	2
8	Векторная алгебра	Векторное и смешанное произведения векторов.	2
9	Аналитическая геометрия	Прямая на плоскости.	2
10	Аналитическая геометрия	Плоскость в пространстве.	2
11	Аналитическая геометрия	Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямых и плоскостей пространстве.	2
	2 семестр		20
12	Кривые второго порядка	Кривые второго порядка. Окружность, эллипс, гипербола и парабола.	2
13	Кривые второго порядка	Преобразование координат и упрощение уравнений кривых второго порядка.	4
14	Линейные пространства и линейные операторы	Линейные пространства. Линейная зависимость. Базис и координаты вектора. Изменение координат при переходе к новому базису.	2
15	Линейные пространства и линейные операторы	Линейные операторы в линейном пространстве. Матрица линейного оператора и ее преобразование при переходе к новому базису.	2
16	Линейные пространства и линейные операторы	Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.	2
17	Евклидовы пространства и квадратичные формы	Евклидовы пространства. Ортогональ­ный базис. Процесс ортогонализации.	2
18	Евклидовы пространства и квадратичные формы	Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженный оператор. Приведение матрицы самосопряжен­ного оператора к диагональному виду.	2
19	Евклидовы пространства и квадратичные формы	Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом собственных векторов.	2
20	Евклидовы пространства и квадратичные формы	Приведение к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей второго порядка.	2
Итого:	44

4.4. Контроль самостоятельной работы

№ п/п	Наименование раздела дисциплины (модуля)	Форма контроля	Трудо-емкость, час
	1 семестр		4
1	Матрицы и системы линейных уравнений. Векторная алгебра	Контрольная работа (или тестирование) «Системы линейных уравнений и векторная алгебра»	2
2	Аналитическая геометрия	Контрольная работа (или тестирование) «Прямая на плоскости. Прямая и плоскость в пространстве»	2
	2 семестр		4
3	Кривые второго порядка	Контрольная работа (или тестирование) «Кривые второго порядка»	2
4	Линейные пространства и линейные операторы. Евклидовы пространства и квадратичные формы	Контрольная работа (или тестирование) «Линейная алгебра»	2
Итого:	8

5.  Самостоятельная работа

№ п/п	Наименование раздела дисциплины	Вид работы	Трудоемкость, часы
	1 семестр		20
1	Матрицы и системы линейных уравнений	Подготовка к практическим занятиям. Подготовка к контрольной работе (или тестированию) «Системы линейных уравнений и векторная алгебра»	8
2	Векторная алгебра	Подготовка к практическим занятиям. Подготовка к контрольной работе (или тестированию) «Системы линейных уравнений и векторная алгебра»	4
3	Аналитическая геометрия	Подготовка к практическим занятиям. Подготовка к контрольной работе (или тестированию) «Прямая на плоскости. Прямая и плоскость в пространстве»	8
	2 семестр		24
4	Кривые второго порядка	Подготовка к практическим занятиям. Подготовка к контрольной работе (или тестированию) «Кривые второго порядка»	8
5	Линейные пространства и линейные операторы	Подготовка к практическим занятиям. Подготовка к контрольной работе (или тестированию) «Линейная алгебра»	8
6	Евклидовы пространства и квадратичные формы	Подготовка к практическим занятиям. Подготовка к контрольной работе (или тестированию) «Линейная алгебра»	8
Итого:	44

6.  Образовательные технологии

В рамках освоения дисциплины «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» с целью формирования и развития профессиональных навыков обучающихся используются следующие образовательные технологии при реализации различных видов учебной работы:

1.  Чтение лекций по курсу «Аналитическая геометрия и линейная алгебра».

2.  Проведение практических занятий и контрольных работ. Цель таких занятий – закрепить знания теоретических основ математики и привить навыки работы с математическими методами для нахождения численного решения поставленных задач.

3.  Для самостоятельной работы студентам раздаются индивидуальные многовариантные задания, которые включают задачи по всем изучаемым разделам математики. Студент должен не только знать основные понятия, определения и формулы, но и уметь их применять для решения конкретных задач с привлечением данных из справочной литературы. Решение задач позволяет глубже понимать теоретические положения курса.

4.  Теоретические знания по математике контролируются на экзамене. Практические знания контролируются на контрольных работах и на защите курсовой работы.

5.  Существует доступ к лекциям в электронном виде (их можно скачать с сайта).

6.  При выполнении студентами курсовых заданий на этапе самостоятельной работы можно активно применять программный комплекс дистанционного образования и электронные учебные пособия.

7.  Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов

Задание 1.

1.  Вычислить определитель

2.  Для матриц и вычислить матричный многочлен В2 – ВА + 3А.

3.  Вычислить обратную матрицу для матрицы

4.  Найти ранг матрицы

5.  Решить систему уравнений

6.  Решить систему уравнений

Найти фундаментальную систему решений и общее решение системы однородных уравнений

8.  Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины «Аналитическая геометрия и линейная алгебра»

8.1. Основная литература:

1. , Никольский математика. В 3-х томах. Т. 1 : Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Дрофа, 2009.

2. , , Данко математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. Ч. 1. М., Оникс, 2012.

3. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х частях. Ч. 1. Под ред. , А. С. Поспелова. М., Физматлит, 2009.

8.2. Дополнительная литература:

1. , , Селиванов прямой (элементы аналитической геометрии на плоскости). Методические указания для студентов вечернего отделения. М., МАТИ, 2007, 1–54.

2. , Осипенко алгебра и аналитическая геометрия. Учебное пособие. М., МАТИ, Каф. "Высш. мат.", 2011, 1–205.

3. Беклемишев аналитической геометрии и линейной алгебры. М., Высшая школа, 2009.

4. Кузнецов заданий по высшей математике. Типовые расчеты. СПб., Лань, 2008.

5. Мышкис по высшей математике. СПб., Лань, 2009.

8.3. Программное обеспечение и Интернет-ресурсы:

http://www. rstu. ru/ – сайт кафедры «Высшая математика».

http://mati. ru/education/fakult5/kafedra4/site – сайт кафедры «Прикладная математика и информационные технологии».

http://www. rstu. ru/programs/ – программы кафедры «Высшая математика» для студентов всех направлений «МАТИ – РГТУ им. ».

http://www. rstu. ru/metods/ – конспекты лекций по математике, варианты курсовых и контрольных заданий, составленные коллективом кафедры «Высшая математика».

http://www2.mati. ru/library. html – библиотека МАТИ.

http://www. mathnet. ru/ – Общероссийский математический портал.

http://window. edu. ru/ – Информационная система «Единое окно доступа к образовательным ресурсам».

http://eqworld. ipmnet. ru/indexr. htm – Международный научно-образовательный сайт EqWorld.

9.  Материально-техническое обеспечение форм учебной работы по дисциплине «Аналитическая геометрия и линейная алгебра»

Кафедра «Высшая математика» МАТИ, реализующая образовательную программу по дисциплине «Аналитическая геометрия и линейная алгебра», располагает материально-технической базой, обеспечивающей проведение всех видов учебных занятий: лекционных, практических и научно-исследовательской работы обучающихся, предусмотренных учебным планом ВУЗа и соответствующей санитарным и противопожарным правилам и нормам.

Перечень материально-технического обеспечения, необходимого для реализации образовательной программы по дисциплине «Аналитическая геометрия и линейная алгебра» включает в себя:

а) лекционные и практические занятия проводятся на базе общеинститутского аудиторного фонда;

б) кафедра «Высшая математика» обладает компьютерной лабораторией, имеются методические и программные комплексы для получения знаний и приобретения навыков по всем видам подготовки и научно-исследовательской работы. Все компьютеры имеют выход в Интернет.

При использовании электронных изданий (см. п 8) – все методические разработки кафедры – каждый обучающийся во время аудиторных занятий и самостоятельной подготовки обеспечен рабочим местом в компьютерной лаборатории кафедры «Высшая математика» МАТИ с выходом в Интернет в соответствии с объемом изучаемых дисциплин. Одновременный доступ к сети Интернет имеет 100% студентов.

Рабочая учебная программа по дисциплине "Аналитическая геометрия и линейная алгебра” составлена в соответствии с требованиями Федерального Государственного образовательного стандарта ВПО с учетом рекомендаций ПрООП ВПО для направления 011200.62 "Физика".

Автор (проф., д. ф.-м. н.) ___________________ ()

Заведующий кафедрой ___________________ ()

Рабочая учебная программа рассмотрена на заседании учебно-методического совета университета протокол № ____ от “ “ ________ 20___ г. и признана соответствующей требованиям Федерального Государственного образовательного стандарта и учебного плана для направления 011200.62 "Физика".

Председатель УМС ______________