.
Події 
називаються незалежними в сукупності чи просто незалежними, якщо будь-яка їх комбінація незалежна.
Теорема. Ймовірність появи хоч би однієї з подій , незалежних у сукупності, дорівнює різниці між одиницею і добутком ймовірностей подій, протилежних даним.
Приклади.
1. Ймовірності появи кожного з двох незалежних подій 
і 
відповідно дорівнюють 
та 
. Знайти ймовірність появи тільки одного з цих подій.
Розв‘язання.
Введемо означення подій.:
- з‘явилась тільки подія ;
- з‘явилась тільки подія ;
Появлення події означає, що з‘явилась подія і не з‘явилась подія одночасно, тобто = 
.
Появлення події означає, що з‘явилась подія і не з‘явилась подія одночасно, тобто = 
.
Таким чином, щоб знайти ймовірність події тільки однієї з подій і , достатньо знайти ймовірність появи однієї, нема різниці якої, з подій 
і 
.
Події і несумісні, тому можна застосувати теорему додавання
.
А так же як події і незалежні, незалежні і події і 
, а також 
і . Тому якщо
то 
то 
Застосуємо теорему множення:
і тоді
.
2. Для сигналізації про аварію застосовані два незалежно працюючих сигналізатора. Ймовірність того, що при аварії сигналізатор спрацює, дорівнює 0,95 для першого сигналізатора і 0,9 для другого. Знайти ймовірність того, що при аварії спрацює тільки один сигналізатор.
За умовою:
; 
;
; 
;
=0.95
0.1+0.90.05=0.14.
3. Студент розшукує потрібну йому формулу у трьох довідниках. Ймовірність того, що форм-ому та 3-ому довідниках, відповідно дорівнюють 0,6; 0,7; 0,8. Знайти ймовірність того, що формула знаходиться:
а)тільки в одному довіднику;
б)тільки у двох довідниках;
в)в усіх трьох довідниках;
г)хоча б в одному довіднику.
За умовою:
а) 
б) 
в) 
г) 
=
4. У читальній залі є 6 підручників з теорії ймовірності, з яких 3 переплетені. Бібліотекар взяв наудачу 2 підручника. Найти ймовірність того, що обидва підручники переплетені.
Введемо означення подій:
А - перший відібраний підручник непереплетений.
В - другий відібраний підручник переплетений.
Ймовірність події А
Ймовірність того, що другий підручник переплетений, при умові, що перший відібраний переплетений, тобто, умовна ймовірність події В дорівнює
Шукана ймовірності
.
3.6. Формула повної ймовірності.
Якщо В1, В2, …..Вn - попарно несумісні події (гіпотези), які утворюють повну групу подій, та А – випадкова подія, яка може відбутися лише при появі одного з Вi, то ймовірність події А дорівнює сумі добутків ймовірностей кожної з гіпотез на відповідну умовну ймовірність події А
Приклад. У гаражі С групуються машини для забору вантажів з місць, позначених на рисунку точками. Машини в рівних кількостях відправляються за вантажом по магістралях 
. Машина з фіксованим номером може потрапити на кожну з цих магістралей. Яка ймовірність того, що саме ця машина потрапить до місця 
.
Розв‘язок. Висунемо гіпотези:
– « машина потрапила на магістраль 
» ; 
– « машина потрапила на магістраль 
» ; 
– « машина потрапила на магістраль 
» ; 
За формулою повної ймовірності одержуємо
§ 4. Повторні незалежні іспити.
4.1. Формула Бернулі.
Ймовірність того, що в n незалежних іспитах, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює p, подія настане рівно k разів (не має значення в якій послідовності )
Ймовірність того, що подія настане:
a) 
b) 
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
