Тому для кількісної характеристики розподілу неперервної величини розглядають не ймовірність події Х = х, а ймовірність події Х < х. Зрозуміло, що ймовірність цієї події залежить від значення х, тобто є функцією х. Ця функція називається функцією розподілу випадкової величини і позначається F(x)
F(x)=P (X <x).
Функція розподілу є універсальною формою закону розподілу і придатна для опису і неперервних і дискретних величин.
Властивості функції розподілу:
1.Всі значення інтегральної функції належать відрізку [0;1] (як ймовірності)
0 ≤ F(x) ≤ 1
2.F( x ) - неспадна функція свого аргументу, тобто,
якщо 
Із цієї властивості випливає наслідок:
Ймовірність того, що випадкова величина отримає значення, що належить до інтервалу (
),дорівює приросту функції на цьому інтервалі:
3.Якщо можливі значення випадкової величини належать інтервалу (а; в),то:
а) F(x)=0 при х ≤ а ( ймовірність події х=а, дорівнює нулю, оскільки ця подія неможлива);
б) F(x)=1 при x ≥ в (ймовірність події "Х> в", а отже, і значення функції в точці х=в, дорівнює одиниці, оскільки ця подія - достовірна).
Для дискретної випадкової величини графік інтегральної функції має східчастий вигляд. Побудуємо інтегральну функцію F(x) для задачі про вимикачі напруги.
Х | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
Р | 0.16 | 0.56 | 0.24 | 0.03 | 0.01 |
X ≤ 0 F (x) = 0
0 < x ≤ 1 F (x) = P (x < 1) = 0.16
1 < x ≤ 2 F (x) = P (x < 2) = 0.16 + 0.56 = 0.72
2 < x ≤ 3 F (x) = P (x < 3) = 0.16 + 0.56 + 0.24 = 0.96
3 < x ≤ 4 F (x) = P (x < 4) = 0.16 + 0.56 +0.24 + 0.33 = 0.99
X > 4 F (x) = 1
Коли змінна X проходить через дискретні значення 0; 1; 2; 3; 4, інтегральна функція змінюється стрибко подібно, причому величини стрибків дорівнюють ймовірностям цих значень ( відповідно 0,16; 0,56; 0,24; 0,03; 0,01 ). Сума всіх стрибків функції F (x) дорівнює одиниці.
Зі збільшенням можливих значень X кількість стрибків збільшується, а самі стрибки зменшуються. Східчаста лінія при цьому наближується до плавної кривої. Для неперервної випадкової величини графік інтегральної функції – неперервна лінія.
Приклад. Випадкова величина X задана функцією розподілу
F (x) = 
Знайти ймовірність того, що в результаті іспитів випадкова величина прийме значення
а) з інтервалу ( 2,5; 3,0 );
б) не менше 3.
Графік інтегральної функції має вигляд
P(x)
1
0,5
-2 0 2 4 6 x
а) 
б) Події X
- протилежні.
. Тоді 
5.3 Диференціальна функція розподілу випадкової величини
Розглянемо неперервну випадкову величину Х з функцією розподілу F(x). Обчислимо ймовірність влучення цієї випадкової величини на ділянку від 
до 
.
Розглянемо відношення цієї ймовірності до довжини ділянки, тобто середню ймовірність, що приходиться на одиницю довжини цієї ділянки, і будемо наближувати 
до нуля, тобто перейдемо до границі при 
Отримаємо похідну від функції розподілу
Позначимо f(
) = 
Функція f() показує, як щільно розподіляються значення випадкової величини в інтервалі від до . Звідки і її назва – щільність розподілу випадкової величини. Інша назва – диференціальна функція розподілу.
Ця функція існує тільки для неперервної випадкової величини.
Із наведених формул виходить, що ймовірність влучення значення випадкової величини на проміжок 
дорівнює
Величину 
називають елементом ймовірності. Геометрично це є площа елементарного прямокутника з висотою, що дорівнює 
і основою 
.
f(x)
 |
f(x)dx
 |
 |
0 x
X1 x x+dx x2
Ймовірність влучення випадкової величини в довільний інтервал від 
дорівнює сумі елементів ймовірності на цій ділянці, тобто інтегралу
.
Геометрично ймовірність влучення величини на ділянку (
) дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженою кривою і прямими 
.
Таким чином, неперервну випадкову величину одночасно характеризують дві взаємозалежні функції – диференціальна (щільність розподілу) та інтегральна. Знаючи хоча б одну з них, ми можемо відповісти на найбільш важливе практичне питання: з якою ймовірністю досліджувана випадкова величина набуває значення з того чи іншого інтервалу. Ця ймовірність дорівнює
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
