Предмет « Теорія ймовірностей і математична статистика» (стр. 3 )

c) 

d) 

e)  .

Приклад. З партії деталей відбирають деталі вищого ґатунку. Ймовірність того, що навмання вибрана деталь буде вищого ґатунку, дорівнює 0,8. Яка ймовірність того, що серед трьох перевірених деталей тільки дві будуть вищого ґатунку.

Розв‘язок. Введемо позначення:

p – ймовірність того, що навмання вибрана деталь буде першого ґатунку, p=0,8;

n – загальне число перевірених деталей, n=3;

k – кількість деталей вищого ґатунку веред перевірених, k=2.

Ймовірність того, що деталь буде нижчого ґатунку, визначається з теореми про суму двох протилежних подій:

Шукана ймовірність знаходиться за формулою Бернулі:

4.2. Локальна та інтегральна теореми Муавра - Лапласа.

Ці теореми застосовуються, якщо число незалежних іспитів достатньо велике, а ймовірність появи події в одному іспиті відмінна від 0 та1.

Локальна теорема

де .

Функція - парна, тобто . Значення задаються в таблиці.

Інтегральна теорема

, .

Функція Лапласа

Ця функція непарна . Значення задаються таблицею.

Приклади.

1. Ймовірність відмови кожного приладу під час іспиту дорівнює 0,2. Що ймовірніше: при 20 іспитах відмова 4 приладів чи при 30 іспитах відмова 6 приладів? Прилади досліджують незалежно один від одного.

Розв‘язок. Використовуємо локальну теорему Лапласа. За умовою Визначимо ймовірність відмови 4 приладів, якщо досліджують 20.

тоді

Визначимо ймовірність відмови 6 приладів, якщо досліджують 30.

Бачимо, що . Тобто, відмовлення 4 приладів з 20 більш ймовірно, ніж 6 приладів з 30.

2. Електростанція обслуговує мережу з 6000 лампочок, ймовірність включення кожної з яких за час t дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що одночасно ( за цей час ) буде ввімкнено не менше 4750 лампочок.

Розв‘язок. Подія тут складається з того, що одночасно ввімкнено від 4750 до 6000 лампочок. Застосуємо інтегральну теорему Лапласа:

, .

За умовою задачі n=6000; = 4750; = 6000; p=0,8; q = 0,2. Тоді

Значення функції Лапласа знаходимо за таблицею:

§ 5. Випадкові величини.

5.1. Дискретні та неперервні випадкові величини.

Випадкову величину задають областю можливих значень та ймовірністю появи їх. Випадкові величини позначаємо буквами X, Y, Z, а їхні можливі значення - x, y, z.

Випадковою називається величина, значення якої наперед невідомі і які можуть бути визначені лише внаслідок досліду. Випадкові величини поділяються дискретні та неперервні.

Дискретною випадковою величиною називається величина, можливі значення якої можуть бути пронумеровані в якомусь порядку і записані у вигляді послідовності. Тобто, усі значення випадкові величини можна перелічити.

Приклад - кількість відбійних молотків, що виходять з ладу протягом зміни.

Якщо випадкова величина в ході досліду приймає будь-яке значення з деякого інтервалу, вона називається неперервною.

Приклад - тиск рідини, яка тече в трубі, похибки вимірювань.

Розглянемо дискретну випадкову величину Х з її можливими значеннями Кожного з них величина Х набуває з деякою ймовірністю, а саме: значення - з ймовірністю ; значення - з ймовірністю ; значення - з ймовірністю.

Події несумісні і утворюють повну групу. Отже, сума ймовірностей цих подій дорівнює одиниці:

.

Ця сумарна ймовірність певним чином розподілена між окремими значеннями випадкової величини Х.

Визначення. Усяка відповідність між значеннями випадкової величини й ймовірностями, з якими ці значення з’являються, називається законом розподілу.

Найпростішою формулою завдання закону є таблиця, яка містить значення випадкової величини і відповідні їм ймовірності. Така таблиця називається рядом розподілу

Х			……………………
Р			……………………

Приклад. На шахті протягом 100 змін фіксувалася кількість вимикачів_напруги, що виходять з ладу з різних причин. Результати спостережень наведено в таблиці, що являє собою ряд розподілу для випадкової величини Х - вимикачів напруги, що вийшли з ладу протягом робочого часу.

Таблиця.

Кількість що вийшли з ладу протягом робочого часу	Кількість спостережень m	Відносні частоти w
0 1 2 3 4	16 56 24 3 1	0.16 0.56 0.24 0.03 0.01

Щоб додати ряду розподілу наочність будують так звану полігональну криву: по осі абсцис відкладають значення випадкової величини, по осі ординат - ймовірність цих значень(у нас відносні частоти.

Із наведеного приклада видно, що в умовах даної шахти найбільш ймовірним є вихід з ладу одного вимикача протягом робочого часу.

5.2.Інтегральна функція розподілу.

Ряд розподілу вичерпно характеризує дискретну випадкову величину. Але для неперервної випадкової величини побудувати такий графік ми не можемо, оскільки ми не можемо перелічити всі її можливі значення. Для неперервної випадкової величини має сенс говорити тільки про ймовірність того, що вона приймає значення з деякого, нехай навіть дуже малого інтервалу.