Тема « Метод координат и основы аналитической геометрии плоскости (Перпендикулярность прямых на плоскости: формулировка критерия в зависимости от способа задания прямых. Построение прямой, перпендикулярной данной и проходящей через заданную точку)»

МОУ Дмитровская средняя общеобразовательная школа №3

с углубленным изучением отдельных предметов

Тема « Метод координат и основы аналитической геометрии плоскости (Перпендикулярность прямых на плоскости: формулировка критерия в зависимости от способа задания прямых. Построение прямой, перпендикулярной данной и проходящей через заданную точку)»

Исполнитель: учитель математики ДСОШ №3 с УИОП

	Руководители:Кондидат физ.-мат. Наук, СНС, специалист в области прикладной математики и математического моделирования, соавтор курса «Моделирование для основной школы. Соросовский Учитель, Лауреат МГОФ «Знание» в области просвещения. Доцент Университета «Дубна».
Доктор физ.-мат. Наук, ведущий сотрудник Лаборатории Информационных Технологий ОИЯИ. Заведующий кафедрой высшей математики Университета «Дубна»	Кандидат физ.-мат. Наук, доцент кафедры «Высшей математики» Университета Дубна, кафедры Математика» МИОО, член федеральной группы по составлению задач, проверки и проведению апелляций ЕГЭ по математике. В.

Дмитров, 2013

Актуальность обусловлена тем, что используемые в основной школе содержание и методы преподавания математики в некоторой части не соответствуют современным потребностям подготовки специалистов в технических направлениях.

Цель: Приблизить содержание и методы преподавания математики в основной школе к современным потребностям технологического общества.

Задачи:

1. Проанализировать потребности современного технологического общества и сопоставить аппарат математики, используемый при решении прикладных задач с содержанием математики в основной школе.

2. Создание проекта программы по курсу «Метод координат и основы аналитической геометрии на плоскости»

3. Разработка фрагмента (или серия уроков) Раздела курса «Метод координат и основы аналитической геометрии на плоскости»

Введение

Математические знания и навыки необходимы практически во всех профессиях, прежде всего, конечно, в тех, что связаны с естественными науками, техникой и экономикой. Математика является языком естествознания и техники и потому профессия естествоиспытателя и инженера требует серьезного овладения многими профессиональными сведениями, основанными на математике. Но ныне несомненна необходимость применения математических знаний и математического мышления врачу, лингвисту, историку, и трудно оборвать этот список, настолько важно математическое образование для профессиональной деятельности в наше время. Следовательно, математика и математическое образование нужны для подготовки к будущей профессии. Для этого необходимы знания из алгебры, математического анализа, теории вероятности и статистики.

Проект программы по курсу

«Метод координат и основы аналитической геометрии плоскости»

для учащихся 7-8 классов основной школы

1.  Идея курса, цели и задачи – систематическое изучение свойств геометрических фигур на плоскости, формирование пространственных представлений, развитие логического мышления и подготовка аппарата, необходимого для изучения смеж­ных дисциплин (физика, черчение и т. д.) и курса стереометрии в старших классах.

2. Место в программе общеобразовательной школы – 7-9 класс. Объем – 1 урок в неделю, параллельно с основным курсом традиционной геометрии, преподаваемой, например, по учебнику Атанасяна (с соавторами). Общий объём – 70 часов, что составляет 1/3 от общего объема курса по геометрии для 7-9 класса. Рекомендуемые сроки прохождения курса: начало – второе полугодие 7-го класса, окончание – 1-е полугодие 9-го класса. Однако в зависимости от конкретных условий освоения программы в каждой конкретной школе (учебные планы, рабочие программы, базовые учебники, наличие дополнительных часов в учебной сетке на геометрию) возможны другие сроки её освоения. Например, при наличии дополнительных часов срок освоения может быть сокращен за счет увеличения числа часов в неделю

3. Основные разделы и содержание.

Раздел	Содержание	Часы
Второе полугодие 7 класса
1. Введение	Примеры задач и приложений.	1
2. Вектора на плоскости	Понятие вектора. Равенство векторов. Основные свойства и операции над векторами (сложение и вычитание векторов, умножение на число). Нулевой вектор. Вектора и геометрические фигуры. Самостоятельная работа.	4
3. Метод координат	Декартова прямоугольная система координат. Задание точек. Расстояние между точками (теорема Пифагора). Алгебраическое описание вектора. Операции над векторами, заданными в алгебраической форме. Алгебраическое описание многоугольников. Самостоятельная работа.	5
4. Скалярное произведение векторов	Угол между векторами. Проекция вектора на вектор. Скалярное произведение (аксиомы). Алгебраическое правило вычисления скалярного произведения. Определение косинуса и синуса угла на круге. Синус и косинусы простейших углов. Косинус угла между векторами и скалярное произведение векторов. Алгебраическое определение вида треугольника. Контрольная работа.	8
Первое полугодие 8 класса	17
5. Уравнение прямой на плоскости	Параметрическое уравнение прямой (два способа задания). Деление отрезка в заданном отношении. Описание многоугольников. Частные случаи уравнения прямой: каноническое и явное. Общее уравнение прямой. Геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой. Уравнение прямой в отрезках. Направляющие косинусы. Самостоятельная работа.	8
6. Взаимное расположение прямых на плоскости	Параллельность прямых на плоскости: формулировка критерия в зависимости от способа задания прямых. Построение прямой, параллельной данной и проходящей через заданную точку. Описание многоугольников с параллельными сторонами. Перпендикулярность прямых на плоскости: формулировка критерия в зависимости от способа задания прямых. Построение прямой, перпендикулярной данной и проходящей через заданную точку. Контрольная работа.	9
Второе полугодие 8 класса	18
7. Взаимное расположение объектов плоскости	Определение вида четырехугольника по координатам. Нахождении точек пересечения прямых. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми. Самостоятельная работа.	7
8. Симметрии плоскости	Центральная симметрия. Определение и примеры симметрий в простейших многоугольниках. Построение точек и прямых, симметричных данным относительно заданного центра симметрии (геометрическое построение и алгебраическое описание). Осевая симметрия. Определение и примеры симметрий в простейших многоугольниках. Построение точек и прямых, симметричным данным относительно оси симметрии (геометрическое построение и алгебраическое описание). Контрольная работа.	11
1 полугодие 9 класса	17
9. Особые точки и отрезки в простейших многоугольниках	Геометрическое построение точки пересечения медиан и его алгебраическое нахождение. Вычисление координат точек пересечения биссектрис, высот и серединных перпендикуляров. Их особые свойства. Самостоятельная работа.	6
10. Решение многоугольников	Решение задач по геометрии с использованием метода координат. Теорема косинусов. Контрольная работа.	6
11. Движение*, Повторение	Параллельный перенос, поворот	5

Раздел «Перпендикулярность прямых на плоскости: формулировка критерия в зависимости от способа задания прямых. Построение прямой, перпендикулярной данной и проходящей через заданную точку»

Обучающий аспект

·  Формирование умений нахождения перпендикулярности прямых на плоскости в зависимости от способа задания прямых;

Развивающий аспект

·  Развитие умений сравнивать, классифицировать, выделять главное в изучаемом объекте, адаптировать полученные знания к практике;

·  Развитие таких качеств, как потребность в приобретении новых знаний, овладение способами познавательной деятельности.

Воспитывающий аспект

·  Помочь учащимся осознать социальную, практическую и личностную значимость учебного материала, ценность совместной деятельности;

·  Педагогическая поддержка и создание условий для творческого развития личности

Самообразовательный аспект

·  Обеспечить развитие у школьников умения ставить цель и планировать свою деятельность;

·  Создать условия для развития умения работать во времени;

·  Приобретение навыков самостоятельного, творческого поиска ответов на основе имеющегося опыта с одновременным обогащением его, а также последующего поиска истины;

·  Содействовать развитию у детей умений осуществлять самоконтроль, самооценку и самокоррекцию учебной деятельности.

Средства обучения

·  Компьютер, проектор, экран;

·  Рабочие листы.

Программные средства и цифровые ресурсы

·  Программы Microsoft Word, Microsoft Power Point, Nero, Windows Media

·  Открытая математика 2.6 “Функции и графики”

·  Интернет-ресурсы.

Перпендикулярные прямые – основные сведения.

Угол между пересекающимися прямыми на плоскости может быть равен девяноста градусам. В этом случае говорят, что прямые пересекаются под прямым углом, а прямые называют перпендикулярными.

Отметим, что фразы «прямые a и b перпендикулярны» и «прямые b и a перпендикулярны» равноправны. Поэтому можно слышать, что перпендикулярные прямые называют взаимно перпендикулярными.

Определение.

Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен .

Перпендикулярность прямых - условия перпендикулярности.

Перпендикулярные прямые фигурируют чуть ли не в каждой геометрической задаче. Иногда перпендикулярность прямых известна из условия, а в других случаях перпендикулярность прямых приходится доказывать. Для доказательства перпендикулярности двух прямых достаточно показать, используя любые геометрические методы, что угол между прямыми равен девяноста градусам.

А как ответить на вопрос «перпендикулярны ли прямые», если известны уравнения, задающие эти прямые в прямоугольной системе координат на плоскости или в трехмерном пространстве?

Для этого следует воспользоваться необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух прямых. Сформулируем его в виде теоремы.

Теорема.

Для перпендикулярности прямых a и b необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой a был перпендикулярен направляющему вектору прямой b.

Доказательство этого условия перпендикулярности прямых основано на определении направляющего вектора прямой и на определении перпендикулярных прямых.

Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Oxy и заданы уравнения прямой плоскости некоторого вида, определяющие прямые a и b. Обозначим направляющие векторы прямых а и b как соответственно. По уравнениям прямых a и b можно определить координаты направляющих векторов этих прямых – получаем и . Тогда, для перпендикулярности прямых a и b необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие перпендикулярности векторов и , то есть, чтобы скалярное произведение векторов и равнялось нулю: .

Итак, необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых a и b в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости имеет вид , где и - направляющие векторы прямых a и b соответственно.

Это условие удобно использовать, когда легко находятся координаты направляющих векторов прямых, а также когда прямым a и b соответствуют канонические уравнения прямой на плоскости или параметрические уравнения прямой на плоскости.

Пример.

В прямоугольной системе координат Oxy заданы три точки А(8;6), В(6;3), С(2;10). Перпендикулярны ли прямые АВ и АС?

Решение.

Векторы и являются направляющими векторами прямых АВ и АС. вычисляем . Векторы и перпендикулярны, так как . Таким образом, выполняется необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых АВ и АС. Следовательно, прямые АВ и АС перпендикулярны.

Ответ:

да, прямые перпендикулярны.

Пример.

Являются ли прямые и перпендикулярными?

Решение.

- направляющий вектор прямой , а - направляющий вектор прямой . Вычислим скалярное произведение векторов и : . Оно отлично от нуля, следовательно, направляющие векторы прямых не перпендикулярны. То есть, не выполняется условие перпендикулярности прямых, поэтому, исходные прямые не перпендикулярны.

Ответ:

нет, прямые не перпендикулярны.

Аналогично, необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых a и b в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве имеет вид , где и - направляющие векторы прямых a и b соответственно.

Пример.

Перпендикулярны ли прямые, заданные в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве уравнениями и ?

Решение.

Числа, стоящие в знаменателях канонических уравнений прямой в пространстве, являются соответствующими координатами направляющего вектора прямой. А координатами направляющего вектора прямой, которая задана параметрическими параметрическими уравнениями прямой в пространстве, являются коэффициенты при параметре. Таким образом, и - направляющие векторы заданных прямых. Выясним, перпендикулярны ли они: . Так как скалярное произведение равно нулю, то эти векторы перпендикулярны. Значит, выполняется условие перпендикулярности заданных прямых.

Ответ:

прямые перпендикулярны.

Для проверки перпендикулярности двух прямых на плоскости существуют другие необходимые и достаточные условия перпендикулярности.

Теорема.

Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимо и достаточно, чтобы нормальный вектор прямой a был перпендикулярен нормальному вектору прямой b.

Озвученное условие перпендикулярности прямых удобно использовать, если по заданным уравнениям прямых легко находятся координаты нормальных векторов прямых. Этому утверждению отвечает общее уровнение прямой вида Ах+ВУ+С=0, уравнение прямой в отрезках и уравнение прямой с угловым коэффициентом у=kx+b.

Пример.

Убедитесь, что прямые 3x-y+2=0 и перпендикулярны.

Решение.

По заданным уравнениям прямых легко найти координаты нормальных векторов этих прямых. – нормальный вектор прямой 3x-y+2=0. Перепишем уравнение в виде , откуда видны координаты нормального вектора этой прямой: .

Векторы и перпендикулярны, так как их скалярное произведение равно нулю: . Таким образом, выполняется необходимое и достаточное условие перпендикулярности заданных прямых, то есть, они действительно перпендикулярны.

В частности, если прямую a на плоскости определяет уравнение прямой с угловым коэффициентом вида у=k1+1, а прямую b – вида у=kx2+b2, то нормальные векторы этих прямых имеют координаты (k1,-1) и (k2,-1) соответственно, а условие перпендикулярности этих прямых сводится к следующему соотношению между угловыми коэффициентами k1·k2+(-1)·(-1)=0k1·k2=-1.

Пример.

Перпендикулярны ли прямые и ?

Решение.

Угловой коэффициент прямой равен , а угловой коэффициент прямой равен . Произведение угловых коэффициентов равно минус единице , следовательно, прямые перпендикулярны.

Ответ:

заданные прямые перпендикулярны.

Можно озвучить еще одно условие перпендикулярности прямых на плоскости.

Теорема.

Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор одной прямой и нормальный вектор второй прямой были коллинеарны.

Этим условием, очевидно, удобно пользоваться, когда легко находятся координаты направляющего вектора одной прямой и координаты нормального вектора второй прямой, то есть, когда одна прямая задана каноническим уравнением или параметрическими уравнениями прямой на плоскости, а вторая – или общим уравнением прямой, или уравнением прямой в отрезках, или уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Пример.

Являются ли прямые x-y-1=0 и перпендикулярными?

Решение.

Очевидно, - нормальный вектор прямой x-y-1=0, а - направляющий вектор прямой . Векторы и не коллинеарны, так как для них не выполняется условие коллинеарности двух векторов (не существует такого действительного числа t, при котором ). Следовательно, заданные прямые не перпендикулярны.

Ответ:

прямые не перпендикулярны.

Список использованной литературы.

·  , , Юдина . 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.

·  , Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.

·  , Никольский математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

·  , Позняк геометрия.