Краткий конспект лекций с индивидуальными домашними заданиями по теме “Функции нескольких переменных” (стр. 2 )

3 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Определение. Функция z=f(х, у) называется непрерывной в точке Мо(хо, уо), если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, т. е.

. ( 1 )

Определение. Функция непрерывная в каждой точке некоторой области называется непрерывной в этой области.

Определение. Окрестностью радиуса r точки Мо(хо, уо) называется совокупность всех точек М(х, у), координаты которых удовлетворяют неравенству

.

Запищем условие непрерывности функции в другом виде. Для этого преобразуем (1). Имеем

.

Введя обозначение

Dz=f(х, у)-f(хо, уо) =f(хо+Dх, уо+Dу)-f(хо, уо)

- полное приращение функции в точке Мо(хо, уо), получим условие непрерывнсти функции в таком виде:

D z =0. ( 2 )

Если в некоторой точке N(хо, уо) не выполняется условие непрерывности (1), то точка N(хо, уо) называется точкой разрыва функции z=f(х, у).

Данное условие может не выполняться в следующих случаях:

а) функция определена во всех точках некоторой окрестности точки N, за исключением самой точки N;

б) функция определена во всех точках окрестности точки N, но не существует предела функции в этой точке;

в) функция определена во всех точках окрестности точки N, существует предел функции в этой точке, но предел не равен значению функции в этой точке.

4 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ

Рассмотрим функцию z=f(х, у).

Определение. Частным приращением функции z по аргументу х называется приращение вида

Dх z = f(х+Dх, у) - f(х, у).

Определение. Частным приращением функции z по аргументу у называется приращение вида

Dy z = f(х, у+Dу) - f(х, у).

Определение. Полным приращением функции z называется приращение

Dz = f(х+Dх, у+Dу) - f(х, у).

Определение. Частной производной функции z по х называется предел отношения частного приращения Dx z по х к приращению Dх при стремлении Dх к нулю.

Частная производная по х от функции z=f(х, у) обозначается одним из символов:

zx¢, fx¢; ¶z/¶x; ¶f/¶x.

Следовательно, по определению

Dx z/Dx=lim(f(х+Dх;у)-f(х;у))/Dx.

Аналогично, частная производная по у от функции z=f(х, у) определяется как

¶z/¶y= Lim (f(x, у+Dу)- f(х, у))/Dy.

Частная производная по у обозначается одним из символов:

zy¢, fy¢(х, у), ¶z/¶y, ¶f/¶y.

Заметим, что частная производная по х от функции вычисляется в предположении, что у - постоянная величина, а частная производная по у от функции z вычисляется в предположении, что х - постоянная. Следовательно, правила вычисления частных производных совпадают с правилами вычисления производной для функции одного переменного и только требуется каждый раз помнить - по какому переменному ищется производная.

Пример. Найти частные производные

z = х2 sin(у).

Решение.

¶z/¶x = 2х sin(у); ¶z/¶y= х2 cos(у).

Пример. Найти частные производыне

z= хy ­.

Решение.

¶z/¶x= y xy-1 ;

¶z/¶y = xy Ln x.

5 ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ

Введем обозначение :

Dr =Ö(Dх2 +Dу2) .

Определение. Функция z=f(х, у), полное приращение Dz которой в точке М(х, у) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых: выражения линейного относительно Dх и Dу и величины бесконечно малой относительно Dr, называется дифференцируемой в данной точке, а линейная часть приращения называется полным дифференциалом и обозначается через dz или df.

Теорема. Если функция f(х, у) имеет непрерывные частные производные в точке М(х, у) , то она дифференцируемая в этой точке и имеет полный дифференциал

dz=¶z/¶x dx+ ¶z/¶y dу.

Доказательство.

По определению полного приращения функции z=f(х, у) имеем

Dz= f(х+Dх, у+Dу) - f(х, у).

Запишем полное приращение в виде

Dz =(f(х+Dх, у+Dу) - f(х, у+Dу)) + (f(х, у+Dу)- f(х, у))

и, учитывая что функция имеет непрерывные частные производные, применим теорему Лагранжа, получим

Dz = Dx fx¢(х1;у+Dу) + Dy fy¢(х, у1),

где х<х1 <x+Dx; y< у1 <y +Dy.

Так как частные производные непрерывны, то при

Dх®0 и Dу® 0

получим

Lim fx¢(х1,у+Dу) =fx¢(х, у);

Lim fy¢(х;у1)= fy¢(x, у),

так как при Dх®0; и Dу®0 х1 ®х и у1 ®у.

Учитывая свойство пределов, запишем

fx¢(х1; у+Dу)= fx¢(х;у) +g1,

fy¢(х;у1) = fy¢(x;у) +g2,

где величины g1,g2 стремятся к нулю, когда Dх и Dу стремятся к нулю. Имеем

Dz= fx ¢(х;у) Dx+ fy¢(х;у) Dy + g1 Dх + g2 Dy.

Сумма двух последних слагаемых правой части является бесконечно малой величиной высшего порядка малости относительно Dr. Приращения независимых переменных х и у будем называть дифференциалами независимых переменных х и у и обозначать соответственно через dx, dy. Тогда выражение полного дифференциала принимает вид

  dz= fx¢(х;у) dx + fy¢(х;у) dx.

Таким образом, согласно определению, данная функция дифференцируемая и имеет полный дифференциал.

Замечание. Предыдущие рассуждения и определения соответствующим образом обобщаются на функции любого числа аргументов.

Пример. Найти полный дифференциал и полное приращение функции z=xy в точке А(2;3) при Dх=0,1 и Dу=0,2.

Решение. Находим

Dz= (х+Dх)(у+Dу)-ху=у Dх+хDу + DхDу.

Учитывая, что zx ¢ =y; zy¢ =x, а также исходные данные, получим

Dz=3·0,1+2·0,2 + 0,1·0,2 = 0,72;

dz=3·0,1+2·0,2 =0,7.

Видно, что Dz »dz.

6 ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА В ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ

Пусть функция z=f(х, у) дифференцируемая в точке (х, у). Учитывая, что полное приращение этой функции

D z=f(х+ Dх, у+Dу)-f(х, у),

получим

f(х+Dх, у+Dу)=f(х, у)+D z.

Поскольку D z »dz можно записать

f(х+Dх, у+Dу) » f(х, у)+fx¢(x, y) Dх+fy¢(x, y) Dу.

Покажем на примере, как используется данная формула при приближенных вычислениях.

Пример. Вычислить приближенно 0,971,04.

Решение. Рассмотрим вспомогательную функцию

z=xу

и воспользуемся формулой

f(х, у)»f(хо, уо)+fx¢(хо, уо) Dх+fy¢(хо, уо) Dу,

где fx¢ =у ху-1;

fy¢=ху Lnx. Учитывая, что

хо=1; уо=1; Dх=-0,03; Dу=0,04

и

fx¢(1;1)=1; fy¢(1;1)=1; Ln1=0,

получим

0,971,04 » 1+1 (-0,03) +0·0,04 =0,97

7 ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Предположим, что в уравнении z=F(u, v) переменные u, v являются функциями независимых переменных х и у, т. е.

u=u(х;у) и v=v(х;у).

В этом случае z есть сложная функция от аргументов х и у. Пусть функции F(u;v), u(х), v(х) имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам.

Дадим аргументу х приращение Dх, сохраняя значение у неизменным. Тогда u и v получат частные приращения по х: Dxu и Dхv. Полное приращение функции z будет

Dz=Fu¢ Dxu+Fv¢ Dxv +g1 Dxu+g2 Dxv,

где

g1®0 и g2 ®0 при u Dxu®0 , Dyv®0

в силу непрерывности функций u и v. Разделим все члены последнего равенства на Dх, получим

Dz/Dx=Fu¢ Dxu/Dx+Fu¢ Dxv/Dx+g1 Dxu/Dx+g2 Dxv/Dx.

Переходя к пределу при Dх ®0 и учитывая, что

Lim Dz/Dx=zx¢ , Lim Dxu/Dx= ux¢ ,

Lim Dxv/Dx= vx¢, Lim g1=0, Lim g2=0,

получим

zx¢ =Fu¢ Ux¢ +Fv¢ Vx¢ ;

Если мы дадим приращение Dу переменному у, а х оставили неизменным, то с помощью аналогичных рассуждений получим

zy¢ = Fu¢ Uy¢ +Fv¢ Vx¢ .

Следовательно, для функции z=F(u;v) имеем

zx¢ =Fu¢ Ux¢ +Fv¢ Vx¢ ;

zy¢ = Fu¢ Uy¢ +Fv¢ Vx¢ .

Замечание. Для случая большего числа переменных формулы для частных производных естественным образом обобщаются. Например, если z=F(u, v,s), где u=u(x, y), v=v(x, y), s=s(x, y), тогда

zx¢ =Fu¢ Ux¢ +Fv¢ Vx¢ +Fs¢ Sx¢ ;

zy¢ = Fu¢ Uy¢ +Fv¢ Vx¢ +Fs¢ Sx¢ .

8 ПОЛНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ

Пусть задана функция z=F(x;y;u;v), где y, u,v в свою очередь зависят от одного аргумента х, т. е.

у=у(х); u=u(х); v=v(х),

то z является функцией только одного переменного х и для нее можно найти производную по х, которая называется полной производной по х.

Используя формулу для производной сложной функции, получим

dz/dx=¶z/¶x+¶z/¶y·¶y/¶x+¶z/¶u·¶u/¶x+¶z/¶v·¶v/¶x.

Но так как у, u, v - функции только одного переменного, то частные производные обращаются в обыкновенные, поэтому

dz/dx=¶z/¶x+¶z/¶y·dy/dx+¶z/¶u·du/dx+¶z/¶v·dv/dx.

Эта формула называется формулой полной производной.

9 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ НЕЯВНО

Пусть задана функция z=f(х;у) в неявном виде

F(х;у;z(х;у))=0.

Тогда, используя формулу производной сложной функции, продифференцируем обе части уравнения по х и у. Получим

¶F/¶x ¶x/¶x+¶F/¶y ¶y/¶x+¶F/¶z ¶z/¶x=0,

¶F/¶x ¶x/¶y+¶F/¶y ¶y/¶y+¶F/¶z ¶z/¶y=0.

Поскольку переменные х и у независимые переменные, то

¶у/¶x=0, ¶x/¶y=0.

Имеем

¶F/¶x +¶F/¶z ¶z/¶x=0,

¶F/¶y+¶F/¶z ¶z/¶y=0.

Если

Fz¢ ¹0,

то

zx¢ =-Fx¢ / Fz¢ ; zy¢ =-Fy¢/Fz¢ .

Пример. Найти частные производные функции

x2+y2+z2-r2=0.

Решение. Полагаем

F( х;у;z(х;у))=x2+y2+z2-r2.

Тогда

¶F/¶x=2 x; ¶F/¶y=2 y; ¶F/¶z=2 z.

Откуда следует, что

¶z/¶x=-2x/2y=-x/y;

¶z/¶y=-2y/2z=-y/z.

10 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Пусть имеем функцию двух переменных z=f(x, y). Частные производные Zx¢ и Zy¢, вообще говоря, являются функциями переменных х и у. Поэтому от них можно снова находить частные производные. Следовательно, частных производных второго порядка от функции двух переменных четыре, так как каждую из функций Zx¢, Zy¢ можно дифференцировать как по х, так и по у.