Определение Функция z=f(x, y) имеет наименьшее значение в точке Мо(хо, уо) некоторой замкнутой области, если f(хо, уо)<f(х, у) для всех отличных от нее точек М(х, у) этой области.
Теорема. Дифференцируемая в ограниченной и замкнутой области функция z=f(х, у) принимает в ней наибольшее и наименьшее значения в критических точках или в граничных точках этой области.
На практике для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в ограниченной и замкнутой области необходимо найти критические точки внутри области и учесть поведение функции на границе области. Для решения задач можно рекомендовать следующий план:
1 Найти критические точки и оставить только те, которые принадлежат области.
2 Рассмотреть границу области (если граница состоит из нескольких участков, то следует отдельно рассмотреть каждый ее участок ). На границе области функция будет функцией только одной переменной и для нее надо найти критические точки.
3 Указать точки, которые расположены на стыке участков границы, описываемых разными уравнениями.
4 Вычислить значение функции в найденных точках и среди этих значений выбрать наибольшее и наименьшее значения.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z=ху(6-х-у)
в области: х ³1; у³1; х+у£ 8.
Решение. Данная область представляет собой треугольник АВС, ограниченный линиями
х=1; у=1; х+у= 8.
Решаем задачу по указанному плану.
Найдем критические точки. Для этого найдем частные производные:
zx¢=6у-2ху-у2;
zy¢=6х-х2 -2ху
и рассмотрим систему
zx¢=0;
zy¢=0,
т. е.
é 6у-2ху-у2=0; é у(6-2х-у)=0;
ë 6х-х2 -2ху=0 или ë х(6-х-2у)=0.
Решением будет х=0 и у=0. Однако точка О(0;0) не принадлежит нашей области. Поэтому ее не рассматриваем.
Система преобразуется к виду
é 6-2х-у=0;
ë 6-х-2у=0 .
Решением системы будет х=2; у=2.
Точка А1(2;2) принадлежит области.
Рассмотрим границу области. Она состоит из участков АВ, ВС, АС. Исследуем поведение функции на каждом участке границы.
Рассмотрим участок АВ. Здесь х=1 и данная функция принимает вид
z=5у-у2.
Находим критические точки:
dz/dy=5-2y,
тогда
5-2у=0
и у=2,5.
Точка А2(1;2,5) принадлежит участку АВ.
Рассмотрим участок ВС. Здесь
х+у=8,
т. е.
у=8-х
и функция z принимает вид
z=2х2-16х.
Имеем
zx¢=4х-16
и из уравнения
z¢x=0 т. е. 4х-16=0
находим х=4.
При этом у=8-4=4. Точка А3(4;4) принадлежит участку ВС.
Рассмотрим участок АС. Здесь у=1 и функция принимает вид
z=5х-х2.
Имеем
zx¢=5-2x,
из уравнения
zx=0 т. е. 5-2х=0
получим х=2,5. Точка А4(2,5;1) принадлежит участку АС.
К точкам А1(2;2); А2(1;2,5); А3(4;4); А4(2,5;1) присоединяем лежащие на стыке участков границы точки А(1;1); В(1;7); С(7;1) и вычисляем значения функции в этих точках. Получим:
в точке А1 z=2·2(6-2-2)=8;
в т. А2 z=1·2,5(6-1-2,5)=6,25;
в т. А3 z=4·4(6-4-4)=-32;
в т. А4 z=2,5·1(6-1-2,5)=6,25;
в т. А z=1·1(6-1-1)=4;
в т. В z=1·7(6-1-7)=-14; в т. С z=7·1(6-7-1)=-14.
Видно, что наибольшее значение функция принимает в т. А1(2;2) и zнаиб=8, а наименьшее - в т. А3(4;4) и zнаим=-32.
15 МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Пусть в результате эксперимента получено n значений функции у. Результаты записаны в таблицу:
Х х1 х2 х3 ... хn
Y y1 y2 y3 ... yn.
Требуется на основании эксперимента установить функциональную зависимость величины у от величины х, т. е. подобрать функцию у=у(х).
Данную задачу рекомендуется решать в два этапа. На первом этапе устанавливается вид функции. Это делается либо из теоретических соображений, либо на основании характера расположения на координатной плоскости точек, соответствующих экспериментальным данным. На втором этапе определяются параметры функции, чтобы искомая функция в каком-то смысле наилучшим образом описывала рассматриваемый процесс. Такие задачи, как правило, решаются методом наименьших квадратов.
Рассмотрим идею этого метода на примере линейной функции вида у=ах+b, т. е. как по экспериментальным данным подбирают параметры а и в.
Рассмотрим сумму квадратов разностей значений уi, полученных при эксперименте, и функции у=ах+b в соответствующих точках :
S(а, b)=
Подбираем параметры а и b так, чтобы эта сумма имела наименьшее значение, поскольку представляет собой погрешность при такой замене. Таким образом, задача сводится к нахождению значений параметров а и в, при которых функция S(а, b) имеет минимум, Следовательно, частные производные при искомых параметрах обращаются в нуль. Получим
¶S/¶а=0;
¶S/¶b=0
или в развернутом виде
é ¶S/¶а=2å(уi-ахi-b)(-хi)=0; é аåхi 2 +båх I =å yixi ;
ë¶S/¶b=2å(уi-ахi-b)(-1)=0 Или ë аåxi+bn=åyi.
Получена система двух линейных уравнений с двумя неизвестными а и b. Очевидно, что система имеет определенное решение и что при полученных значениях а и b функция S(а, b) имеет минимум. Доказательство этого утверждения провести самостоятельно ( это легко устанавливается на основании достаточного условия существования минимума для функции двух переменных).
16 ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ
ЗАДАЧА 1 Найти область определения функций.
1 z=
. 2 z=
.
3 z=
. 4 z=
5 z=аrccos(y/x). 6 z=arcsin(x/y).
7 z=Ln(x-y). 8 z=Ln(1+x+2y).
9 z=Ln((1+x)/y). 10 z=arccos(x+y).
11 z=Ln(1-x)(1+y). 12 z=arcsin((1+x)/y).
13 z=
. 14 z=
.
15 z=
. 16 z=
.
17 z=
. 18 z=Ln(x2+y2-1).
19 z=arccos(Ln(x)). 20 z= Ln((1+x)/y).
21 z=Ln(yx/(1+x)). 22 z=Lnx+Lncosy.
23 z=Lny+Lnsinx. 24 z=
.
25 z=Ln(y2-e-x ). 26 z=sin
.
Задача 2 Найти частные производные следующих функций.
1 z=
. 2 z= .
3 z=
. 4 z=.
5 z=аrccos(y/x). 6 z=arcsin(x/y).
7 z=Ln(x-y). 8 z=Ln(1+x+2y).
9 z=Ln((1+x)/y). 10 z=atccos(x+y).
11 z=Ln(1-x)(1+y). 12 z=arcsin((1+x)/y).
13 z= . 14 z= .
15 z= . 16 z= .
17 z=. 18 z=Ln(x2+y2-1).
19 z=arccos(Ln(x)). 20 z= Ln((1+x)/y).
21 z=Ln(yx/(1+x)). 22 z=Lnx+Lncosy.
23 z=Lny+Lnsinx. 24 z=.
25 z=Ln(y2-e-x ). 26 z=sin.
27 f(x, y,z)=Lnsin(x-2y+z/4).
Задача 3 Вычислить приближенно
1 3,122,97 . 2 
.
3 2,962,80 . 4 
.
5 1,123+0,982 . 6 sin 29° tg46°.
7 Ln(1,04) sin31° . 8 cos59° tg44° .
9 Ln1,1 cos62°. 10 cos5°sin28° .
11 tg46°sin 98°. 12 2,053,97 .
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
