Краткий конспект лекций с индивидуальными домашними заданиями по теме “Функции нескольких переменных” (стр. 3 )

Вторые частные производные обозначаются так:

¶2z/¶x2 =fxx²(x, y)

(дэ два зэт по дэ икс дважды)дважды дифференцируется по х;

¶2z/¶x¶у =fxу²(x, y)

(дэ два зэт по дэ х, дэ у) дифференцируется по х, а потом по у;

¶2z/¶у¶х =fух²(x, y)

(дэ два зэт по дэ у, дэ х)дифференцируется по у, а потом по х;

¶2z/¶у2 =fуу²(x, y)

(дэ два зэт по дэ у дважды) дифференцируется по у дважды.

Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по х, так и по у. Получим частные производные третьего порядка. Их будет уже восемь. И т. д.

Пример. Найти второго порядка частные производные функции

z=y2 ех+х2 у2 +1.

Решение. Последовательно находим

¶z/¶x=y2ех+2х у2;

¶z/¶y=2yех+2х2у;

¶2z/¶x2 =у2ех+2у2;

¶2z/¶x¶у =2уех+4ху;

¶2z/¶у¶х =2уех+4ху;

¶2z/¶у2 =2ех+2х2..

Естественно поставить вопрос, зависит ли результат дифференцирования функции нескольких переменных от порядка дифференцирования по разным переменным, т. е. будут ли равны производные

¶2z/¶x¶y=¶2z/¶y¶x.

Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Если функция z=f(x, y) и ее частные производные fx¢, fy¢, fxy², fyx² определены и непрерывны в точке M(x, y) и в некоторой ее окрестности, то в этой точке

fxy² =fyx².

11 ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть функция двух переменных z=f(x, y) непрерывна со всеми своими частными производными до третьего порядка включительно в некоторой окрестности точки М(хо, уо), тогда для этой функции формула Тейлора имеет вид

f(x, y)=f(хо, уо)+fx¢(хо, уо)Dх+fy¢(хо, уо)Dу+

+(fxx²(хо, уо)Dх2+2fxy²(xо, уо)DхDу+fyy²(хо, уо)Dу2) +аоDr2,

где коэффициент ао - ограничен.

12 МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Определение. Функция z=f(x, y) имеет максимум в точке Мо(хо, уо), если

f(хо, уо)>f(х, у)

для всех точек М(х, у) достаточно близких к точке Мо(хо, уо) и отличных от нее.

Определение. Функция z=f(x, y) имеет минимум в точке Мо(хо, уо), если

f(хо, уо)<f(х, у)

для всех точек М(х, у) достаточно близких к точке Мо(хо, уо) и отличных от нее.

Максимум и минимум функции называются экстремумами функции, т. е. функция имеет экстремум в точке, если в этой точке она имеет либо максимум, либо минимум.

Точки, в которых функция достигает экстремума, называются точками экстремума.

Теорема. (Необходимое условие экстремума)

Если функция z=f(х, у) достигает экстремума при х=хо, у=уо, то каждая частная производная первого порядка от z или обращается в нуль при этих значениях, или не существует.

Доказательство.

Дадим переменному у определенное значение (у=уо). Тогда функция f(х, у) будет функцией одного переменного х. Так как при х=хо она имеет экстремум, то zx¢ в этой точке или равна нулю или не существует. Аналогичными рассуждениями можно доказать, что и zy¢ в этой точке равна нулю или не существует.

Определение. Точки, в которых частные производные функции первого порядка равны нулю или не существуют, называтся критическими, или стационарными.

Замечание. Условия приведенной выше теоремы не являются достаточными, но согласно этой теореме можно утверждать, что если функция достигает экстремума в какой-нибудь точке, то это может случиться только в критической точке.

Для исследования функции в критических точках установим достаточные условия экстремума функции двух переменных.

Теорема. Пусть в некоторой области, содержащей точку Мо(хо, уо), функция f(х, у) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно; пусть, кроме того, точка Мо(хо, уо) является критической точкой функции f(х, у) и А=¶2f/¶x2, C=¶2f/¶y2, B=¶2f/¶x¶y, тогда при х=хо, у=уо:

1) Функция f имеет максимум, если D=АС-В2>0 и А<0 ( либо С<0).

2) Функция f имеет минимум, если D=АС-В2>0 и А>0 (либо С>).

3) Функция f не имеет ни максимума ни минимума, если D=АС-В2<0.

4) Если D=АС-В2 =0, то экстремум может быть и может не быть. В этом случае требуются дополнительные специальные исследования: например, с помощью формулы Тейлора третьего или более высокого порядка или каким-либо иным способом.

Пример. Исследовать на экстремум функцию

z=x2-xy+y2+3x-2y+1.

Решение. Находим критические точки. Для этого найдем частные производные

¶z/¶x=2x-y+3,

¶z/¶y=-x+2y-2.

Решая систему уравнений

¶z/¶x=0,

¶z/¶y=0,

т. е.

2х-у+3=0

-х+2у-2=0,

получим

х=-4/3; у=1/3.

Следовательно, критической точкой будет точка А(-4/3,1/3). Находим производные второго порядка в этой критической точке и вычисляем

D=АС-В2.

Имеем

А=¶2z/¶x2=2, C=¶2z/¶y2=2, B=¶2z/¶x¶y=-1.

Тогда

D=АС-В2=2·2-(-1)2=4-1=3>0.

Так как D>0 и А>0, то критическая точка будет точкой минимума и zmin=-4/3.

13 УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ

Во многих задачах на разыскание наибольших и наименьших значений функции задача сводится к разысканию максимумов и минимумов нескольких переменных, которые не являются независимыми, а связаны друг с другом некоторыми добавочными условиями. Например, они должны удовлетворять заданным уравнениям. Такие задачи называются задачами на условный экстремум.

Рассмотрим задачу об условном экстремуме функции двух переменных, если эти переменные связаны одним условием.

Пусть требуется найти максимумы или минимумы функции z=f(х, у) при условии, что х и у связаны уравнением

g(х, у)=0.

При наличии одного условия из двух переменных х и у независимым будет только одно, так как второе определяется из данного уравнения. Если бы мы разрешили уравнение условия относительно у, то подставляя вместо у в уравнение z=f(х, у) его выражение через х, получили бы функцию одного переменного и свели бы задачу к задаче об исследовании на максимум или минимум функции одного независимого переменного.

Но можно решить поставленную задачу, не разрешая уравнения условия относительно х или у. Учитывая, что при тех значениях х, при которых функция z может иметь максимум или минимум, производная от z по х должна обращаться в нуль, получим:

dz/dx=¶f/¶x+¶f/¶y dy/dx=0. ( 1 )

Дифференцируя уравнение условия

g(х, у)=0

по х, получим

¶g/¶x+¶g/¶y dy/dx=0. ( 2 )

Умножим члены равенства (2) на пока неопределенный коэффициент l и сложим их с соответствующими членами уравнения (1), получим

¶f/¶x+¶f/¶y dy/dx)+l( ¶g/¶x+¶g/¶y dy/dx)=0

или

(¶f/¶x+l ¶g/¶x)+(¶f/¶y +l¶g/¶y) dy/dx=0. ( 3 )

Последнее равенство выполняется во всех точках экстремума независимо от параметра l. Подберем l так, чтобы для значений х и у, соответствующих экстремуму функции z, вторая скобка последнего уравнения обратилась в нуль, т. е. чтобы

¶f/¶y +l¶g/¶y =0.

Но тогда из (3) следует, что и

¶f/¶x+l ¶g/¶x=0.

Таким образом, получается, что в точках экстремума функции удовлетворяются три уравнения с тремя неизвестными х, у, l :

¶f/¶x+l ¶g/¶x=0;

¶f/¶y +l¶g/¶y=0; ( 4 )

g(х, у)=0.

Заметим, что левые части этих уравнений есть частные производные по переменным х, у,l функции

F(х, у,l)=f(х, у,)+lg(х, у). ( 5 )

Таким образом, для того чтобы найти значения х и у, при которых может иметь место условный экстремум, нужно составить вспомогательную функцию (5), приравнять нулю ее частные производные по х, у и l и из полученных трех уравнений (4) найти искомые х, у и вспомогательный множитель l.

Рассмотренный метод распространяется на исследование условного экстремума функции любого числа переменных.

Пример Определить наибольшее значение квадратного корня из произведений двух положительных чисел х и у при условии, что:

х+у=а.

Решение. 1-й способ. Рассмотрим функцию

z= .

Из уравнения

х+у=а

выражаем у через х и подставляем в z, получим

z=.

Функция z становится функцией одной переменной. Найдем критические точки для этой функции:

dz/dx=.

Из уравнения

dz/dx=0

получим

а-2х=0,

тогда х=а/2.

Отметим, что при переходе через точку х=а/2 производная меняет знак с (-) на (+), тогда при х=а/2 функция z принимает максимальное значение. При этом

у =а-а/2=а/2.

Поскольку имеется только одна критическая точка, то максимальное значение будет наибольшим. Следовательно, наибольшее значение данной функции будет при

х=у=а/2 и zmax=a/2.

2-й способ. Построим вспомогательную функцию

F(х, у,l)= +l(х+у-а).

Находим частные производные:

Fx¢=у+l;

Fy¢=х+l;

Fl¢=х+у-а.

Приравняем частные производные к нулю:

у+l=0;

х+l=0;

х+у-а=0

или

у+2l=0;

х+2l=0;

х+у-а=0.

Из первых двух уравнений находим, что х=у. Тогда из третьего уравнения получим

х+х-а=0,

откуда х=а/2.

Следовательно, и у=а/2.

По смыслу задачи эти значения дают максимум функции, таким образом, при х=у=а/2 функция принимает наибольшее значение и zmax=а/2.

14 НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ В ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ

Определение Функция z=f(x, y) имеет наибольшее значение в точке Мо(хо, уо) некоторой замкнутой области, если f(хо, уо)>f(х, у) для всех отличных от нее точек М(х, у) этой области.