Краткий конспект лекций с индивидуальными домашними заданиями по теме “Функции нескольких переменных” (стр. 1 )

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ

СУМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КРАТКИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

с индивидуальными домашними заданиями

по теме “Функции нескольких переменных”

по курсу “Высшая математика”

для студентов специальности “Прикладная экология” дневной формы обучения

Утверждено

редакционно-издательским

советом университета.

Протокол N2 от 18.04.97

Сумы СумГУ 1997

Учебное издание

КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ

с индивидуальными домашними заданиями

по теме “Функции нескольких переменных”

по курсу “Высшая математика”

для студентов специальности “Прикладная экология” дневной формы обучения

Составитель

Рецензент

ПРЕДИСЛОВИЕ

Во многих высших учебных заведениях, в том числе и в СумГУ, курс высшей математики для студентов специальности “Прикладная экология” излагается по сокращенной программе. При такой программе целесообразно иметь краткое учебное издание, в котором содержался бы основной как теоретический, так и практический материал изучаемой дисциплины.

Настоящий конспект лекций, написанный в соответствии с программой для указанной выше специальности, имеет целью помочь студентам в усвоении учебного материала, а также организовать и активизировать их самостоятельную работу при изучении темы “Функции нескольких переменных”. Здесь приведены основные теоретические сведения: основные определения, формулировки теорем, доказательства основных теорем. Изложение этих сведений иллюстрируется решенными примерами. Однако число их невелико и они несложны, поскольку имеется в виду, что студенты параллельно с изучением теоретического материала посещают практические занятия, на которых приобретают навыки и в решении более сложных задач.

По каждому разделу темы предложены индивидуальные домашние задания, что позволяет закрепить как теоретический материал, так и методы решения задач практического плана.

1 ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Определение. Если каждой паре (x, у) значений двух независимых друг от друга переменных величин х и у из некоторой области их изменения соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных х и у, определенная в этой области.

Символически функция двух переменных обозначается так: “ z=f(x,y) “ или “z=z(x,y) “ и читается “зет равно эф от икс, игрэк” или “зет равно зет от икс, игрэк “

Функция двух переменных может быть задана:

1 Аналитически - с помощью формулы. Например, площадь прямоугольника S со сторонами, длины которых х и у, выражается формулой

S = ху.

2 С помощью таблицы. Например, температуру воздуха в различных районах и в разное время можно задать таблицей:

Время суток 9 12 15 18

район, N

1 0 3 4 1

2 -3 0 2 1

3 -6 -3 0 -2

3 Функция может быть представлена пространственной моделью (пространственным графиком), рис. 1. Однако для функции трех и большего числа аргументов этот способ не применим.

4 Функцию двух переменных можно представить на плоскости линиями уровня: точки, для которых функция имеет одно и то же значение, соединяют линией, рис. 2. Этот способ применяется в картографии.

Рисунок 1 Рисунок 2

Как и в случае одного независимого переменного, функция двух переменных существует, вообще говоря, не при любых значениях х и у.

Определение. Совокупность пар (х, у) значений х и у, при которых определяется функция z, называется областью определения или областью существования этой функции, а совокупность значений z называется областью значений функции.

Область определения функции наглядно иллюстрируется геометрически. Если каждую пару значений x и у мы будем изображать точкой М(х, у) в плоскости Оху, то область определения функции изобразится в виде некоторой совокупности точек на плоскости. Линию, ограничивающую данную область, будем называть границей области. Точки области, не лежащие на границе, называются внутренними точками области. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой или незамкнутой. Если же к области относятся и точки границы, то область называется замкнутой, рис. 3.

Рисунок 3

D1 - замкнутая область; L­1 - граница области;

D2 - открытая область; L2 - граница области

Определение. Область называется ограниченной, если существует такое постоянное число С, что расстояние любой точки М области от начала координат О меньше С, т. е.

| ОМ |< С.

Пример. Найти область определения функции

z= Ln(х + у).

Решение. Так как логарифмы определены только для положительных чисел, то должно удовлетворяться неравенство

х + у > 0 ( 1 )

Для нахождения этой области найдем уравнение границы области:

х+у = 0.

Это уравнение прямой. Поскольку граница области не принадлежит области определения, то ее покажем прерывистой, рис. 4.

Граница области (прямая у+х=0) делит всю плоскость на две части.

Рисунок 4

Проверим, удовлетворяют ли точки каждой части исходному неравенству. Рассмотрим точку А(-1,0). Подставляя ее координаты в (1), получим

-1 +0 <0.

Неравенство не выполняется, следовательно, полуплоскость с точкой А не принадлежит области определения.

Рассмотрим точку В(1,0). Подставляя ее координаты в (1), получим

1+0>0

Неравенство выполняется, следовательно, часть плоскости с тоской В принадлежит области определения. Заштрихуем область определения на рисунке.

Замечание. Определение функции двух переменных легко обобщить на случай трех или более переменных. Например, если каждой рассматриваемой совокупности значений переменных x, y,z,...,u, t соответствует определенное значение переменной w, то будем называть w функцией независимых переменных x, y,z,...,u, t и писать

w =f(x, y,z,...,u, t).

2 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Определение. Число А называется пределом функции z=f(х, у) в точке М0(х0,у0), если для любого положительного числа e можно указать d>0 такое, что для всех точек М(х, у), координаты которых удовлетворяют неравенству

d

выполняется неравенство

| f(х, у) - А | < e.

Если А - предел функции z = f(х, у) в точке Мо(хо, уо), то это записывают так:

или .

Правила нахождения пределов функции двух переменных такие же, как и для функции одной переменной. Например, найдем предел

.

Решение. В точке О(0;0) имеем неопределенность вида {0/0}. Преобразуя выражение, стоящее под знаком предела, получим

= =

==1/2 .

В случае, когда раскрытие неопределенности затруднено, можно воспользоваться следующим утверждением: предел функции f(х, у) в точке M0(х0,у0) не существует, если в окрестности данной точки найдутся точки, в которых знаменатель функции обращается в нуль.

Пример. Найти предел в точке О(0;0) функции

z =.

Решение. Так как в точке О(о;о) имеем неопределенность {0/0} и невозможно избавиться от неопределенности преобразованием функции, рассмотрим ее знаменатель и рещим уравнение х+у=0. Видно, что в окрестности т. О(0;0) при у=-х знаменатель обращается в нуль. Следовательно, в данной точке предел не существует.

Такой вывод можно получить, рассмотрев предел при таких случаях:

а) при х=0 получим

;

б) при у=0 получим

.

Так как пределы не равны, следовательно, данный предел не существует.

Пример. Найти предел в точке О(0;0) функции

z=.

Решение. В т. О(0;0) имеем неопределенность {0/0}. Упростить выражение невозможно. Рассмотрим случаи: а) пусть переменная у является величиной более высокого порядка малости по отношению к х, тогда у2 и у3 будут величинами более высокого порядка малости по отношению к х2 и х3. Получим

;

б) пусть переменная х является величиной более высокого порядка малости по отношению к у, тогда х2 и х3 будут величинами более высокого порядка малости по отношению к у2 и у3. Получим

;

в) пусть переменная у является величиной одного порядка малости по отношению к х, т. е. у=kx. Имеем

=0.

Так как пределы существуют и равны нулю, то в точке О(0;0)

.